Комбинаторика

Бином Ньютона

Используем мощь комбинаторики для изучения самой математики: упростим умножение многочленов и выведем известную и очень полезную формулу!
Дополнение
Профиль
Зависимости
Статья
Конспект
Задачи

Умножение многочленов

Ликбез

Раскройте скобки в выражении

(a+b+c)(x+y+z)(n+m)(a+b+c)(x+y+z)(n+m)

Считаем слагаемые

Ликбез

Найдите количество слагаемых после раскрытия скобок в произведении:

(a+b)(a+c)(c+d)(n+m+e)(a+b)(a+c)(c+d)(n+m+e)

Слагаемые бинома Ньютона

Ликбез

Сколько слагаемых получается в сумме после использования бинома Ньютона?

Формулы бинома Ньютона

Ликбез

Напишите формулу бинома Ньютона для степеней биномов:

(1+x)7(1+x)^7

Номерной член разложения

Ликбез

Найдите шестой член разложения степени бинома:

(x2+4)10(x^2 + 4)^{10}

Независимый член разложения

Ликбез

Найти не зависящий от x член разложения степени бинома:

(2x−1x3)8\left(2x - \frac{1}{x^3}\right)^{8}

Зависимый член разложения

Ликбез

Найдите член разложения (x+2)13(x + \sqrt{2})^{13}, содержащий x8x^8

Целые члены разложения

Нормальный

Для каждого разложения найдите, сколько их членов являются целыми числами:

(2+33)5(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3})^5

В поисках коэффициента

Нормальный

Найдите коэффициент многочлена:

(x+y)16(x + y)^{16} при x3y13x^3y^{13}

Наибольший коэффициент

Нормальный

Найдите наибольший коэффициент многочлена после разложения:

(14+34x)4\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x \right)^4

Сумма коэффициентов

Красивая
Нормальный

Найдите сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок:

(4x−5)21(4x-5)^{21}

Биномиальная сумма

Прикладная
Нормальный

Найдите сумму всех биномиальных коэффициентов:

Cn0+Cn1+Cn2+…+CnnC_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n

Да будет свет!

Нормальный

Для освещения зала может быть включена каждая из имеющихся 10 ламп. Сколько существует различных способов освещения зала?

Игра с коэффициентами

Нормальный

Докажите равенство:

kCnk=nCn−1k−1k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}

Больше биномиальных сумм!

Продвинутый

Докажите равенства:

Cn0−Cn1+Cn2−…+(−1)nCnn=0C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots + (-1)^{n} C_n^n = 0

Квадратные коэффициенты

Продвинутый

Докажите следующее равенство про сумму квадратов биномиальных коэффициентов:

(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn3)2+…+(Cnn)2=C2nn(C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + (C_n^3)^2 + \ldots + (C_n^n)^2 = C_{2n}^n

Неравенство с биномами

Продвинутый

Докажите, что при n≥2n\geq 2 и ∣x∣≤1|x| \leq 1 выполняется неравенство

(1+x)n+(1−x)n≤2n(1+x)^n + (1-x)^n \leq 2^n

Правило Паскаля

Прикладная
Продвинутый

Докажите равенство:

Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}

Бином Ньютона по индукции

Продвинутый

Выведите формулу бинома Ньютона с помощью метода математической индукции.

Бином и размещения

Продвинутый

Пусть MrM_r — число размещений без повторений из m элементов по r, а NrN_r — число размещений без повторений из n элементов по r. Докажите, что число размещений из m + n элементов по r выражается формулой (M+N)r(M+N)^r, где в разложении надо заменить все показатели степени индексами.

Полиномиальная формула

Продвинутый

Биномиальная формула (бином Ньютона) позволяет находить разложение только степеней биномов. Докажите общую, полиномиальную формулу, которая позволяет напрямую раскладывать n-ую степень полинома:

(x1+x2+…+xm)n=∑a1+…+am=nn!a1! a2! … am! x1a1x2a2 … xmam(x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n = \sum\limits_{a_1 + \ldots + a_m = n} \frac{n!}{a_1! \ a_2! \ \ldots \ a_m!} \ x_1^{a_1}x_2^{a_2} \ \ldots \ x_m^{a_m}

Полиномиальные слагаемые

Продвинутый

Найдите количество слагаемых в разложении степени полинома:

(x1+x2+…+xm)n(x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n

Один раз это надо сделать!

Продвинутый

Возвести в третью степень сумму

a+b+c+da + b + c + d

Источники12

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Для более глубокого погружения в материал рекомендуются ознакомиться с ними подробнее, особенно с избранными источниками, которые отмечены звездочкой:

Комбинаторика
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А., 7-е издание, МЦНМО, 2019
Почти идеальная подача теории через жизненные примеры. Интересные задачи. Широчайший охват тем, в том числе и из высшей математики.
24. Бином Ньютона
Пособие по математике для поступающих в вузы
Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х., 3-е изд., 1988
§2. Формула Ньютона
Глава XI
Задачи к главе XI
ЯКласс
Цифровой образовательный ресурс для школ
Треугольник Паскаля. Бином Ньютона
Википедия
Свободная энциклопедия
Бином Ньютона
Биномиальный коэффициент
Правило Паскаля
Pascal's triangle
Знания
Вопросы и ответы по школьным предметам
Сумма коэффициентов многочлена
Brilliant
Образовательная платформа по математике и IT
Прекрасный сайт с наглядными пояснениями, хорошими примерами и упражнениями.
Binomial Theorem
Элементарная алгебра
Сергей Трофимович Завало, издательство «Просвещение», 1964
§4. Полиномиальная теорема
ЕГЭ? Ок!
Подготовка к ЕГЭ по математике от репетитора Инны Владимировны Фельдман
Задачи по комбинаторике. Часть 2
Альтернативное решение про сумму квадратов биномиальных коэффициентов