Математический язык
Пора от общих языков начинать двигаться к математике. Важно понимать, что язык математики не такой уж и уникальный. Во многих различных научных областях пользуются знаковыми системами, которые похожи на язык математики.
Например, музыкальная нотация, язык формальной логики, язык химии и другие.
Все подобные языки, включая и сам язык математики, будем называть математическими языками.
Устранение громоздкости
В математическиях языках один знак (число, буква, знак операции/отношения) обозначает конкретное понятие. В естественном языке для обозначения понятий используют слова (последовательность знаков).
Запишем простейший пример на языке математики:
Тот же самый пример на русском языке:
«Четыре плюс восемь равно двенадцать»
Итог: 6 знаков на языке математики против 31 знака на русском языке.
Но почему естественные языки так все усложняют? Можно же просто использовать отдельные знаки для отдельных понятий. Проблема в том, что таких знаков станет невероятно много. Запомнить даже малую их часть будет очень сложно.
Подобные естественные языки существуют. Например, китайский язык, считающийся самым сложным в мире. В нем порядка 87 тысяч иероглифов. Некоторые из них могут обозначать слова или даже предложения.
Математическим языкам в этом плане проще. В них не так много понятий (в сравнении с реальной жизнью), поэтому для каждого можно придумать свой знак.
Устранение двусмысленности
В естественных языках сущестуют омонимы, то есть одинаковые слова, имеющие разный смысл.
Например, «лист» может использоваться для обозначения бумажного листа и листа дерева.
Помимо двусмысленности, можно встретить самую настоящую многозначность. Сколько разных значений имеет слово «ключ»?
Ключ — информация, служащая для разгадки
Ключ — инструмент для открытия замков
Ключ — выход подземных вод на поверхность
Ключ — знак линейной нотации в музыке (например, скрипичный ключ)
Смысл слов можно понять из контекста, но никто не застрахован от возможных недоразумений.
В математических языках смысл знаков и терминов строго определяется. Никакая двусмысленность не допускается.
Омонимы встречаются только на уровне разных разделов. Например, можно говорить о «диагонали» квадрата или круга, но вы никогда не спутаете ее с «диагональю» матрицы, так как в первом случае речь идет о геометрии, а во втором о линейной алгебре.
Но не только омонимы создают проблемы.
Посмотрите на два предложения ниже:
«Человек — разумное существо»
«Человек — первый космонавт»
Предложения имеют одинаковую форму написания, но разную логику и смысл.
Первое предложение относится к любому человеку, то есть является общим высказыванием. Второе предложение относится к одному конкретному человеку (Ю. А. Гагарину), то есть является частным высказыванием.
В чем проблема? В том, что из этих двух предложений можно получить два вывода: один истиный, а другой ложный.
«Человек — разумное существо», «Катя — человек». Вывод: «Катя — разумное существо». Все нормально.
«Человек — первый космонавт», «Катя — человек». Вывод: «Катя — первый космонавт». Некорректный вывод!
В математике мы постоянно оперируем предложениями, преобразуем их и делаем выводы. Именно поэтому несоостветствие формы написания ее смыслу не допускается.
В частности, в математике всегда явно указывается, какие высказывания общие, а какие — частные. Это делается с помощью специальных знаков. На русском языке тоже множно вести ясность:
«Всякий человек — разумное существо»
«Существовал человек, который был первым космонавтом»
Гибкость
Математические языки очень гибки благодаря переменным. С их помощью можно в простом виде записывать выражения, имеющие отношение не к одному конкретному предмету, а к целому ряду предметов одной природы.
Простейший пример:
где x и y — переменные для чисел. Эта запись с переменными выражает общий закон: «от перемены мест слагаемых сумма не меняется». Она справедлива для любых двух чисел.
Можно легко получить какой-нибудь частный случай. Достаточно вместо x и y подставить числа и получить конкретное выражение, например:
В естественных языках тоже есть что-то похожее на переменные. Например, слово «стол» в предложении «Стол имеет крышку» обозначает любой стол, также как x в примере выше означает любое число.
Однако само слово «стол» связано только со столами. Мы не можем использовать его для обозначения кресел или кроватей. Точнее можем, но это будет ощущаться как-то странно, неестественно. А переменную x можно связывать с чем угодно (числами, функциями, квадратами и так далее).