Математический язык

Математические языки, почему в них входит язык математики, а также чем они отличаются от естественных языков.

Пора от общих языков начинать двигаться к математике. Важно понимать, что язык математики не такой уж и уникальный. Во многих различных научных областях пользуются знаковыми системами, которые похожи на язык математики.

Например, музыкальная нотация, язык формальной логики, язык химии и другие.

Все подобные языки, включая и сам язык математики, будем называть математическими языками.

Математический язык — искусственный язык, возникший из естественного под влиянием математики путем устранения громоздкости и двусмысленности, а также увеличения гибкости.

Устранение громоздкости

В математическиях языках один знак (число, буква, знак операции/отношения) обозначает конкретное понятие. В естественном языке для обозначения понятий используют слова (последовательность знаков).

Запишем простейший пример на языке математики:

4+8=124 + 8 = 12

Тот же самый пример на русском языке:

«Четыре плюс восемь равно двенадцать»

Итог: 6 знаков на языке математики против 31 знака на русском языке.

Но почему естественные языки так все усложняют? Можно же просто использовать отдельные знаки для отдельных понятий. Проблема в том, что таких знаков станет невероятно много. Запомнить даже малую их часть будет очень сложно.

Подобные естественные языки существуют. Например, китайский язык, считающийся самым сложным в мире. В нем порядка 87 тысяч иероглифов. Некоторые из них могут обозначать слова или даже предложения.

Математическим языкам в этом плане проще. В них не так много понятий (в сравнении с реальной жизнью), поэтому для каждого можно придумать свой знак.

Устранение двусмысленности

В естественных языках сущестуют омонимы, то есть одинаковые слова, имеющие разный смысл.

Например, «лист» может использоваться для обозначения бумажного листа и листа дерева.

Помимо двусмысленности, можно встретить самую настоящую многозначность. Сколько разных значений имеет слово «ключ»?

  • Ключ — информация, служащая для разгадки

  • Ключ — инструмент для открытия замков

  • Ключ — выход подземных вод на поверхность

  • Ключ — знак линейной нотации в музыке (например, скрипичный ключ)

Смысл слов можно понять из контекста, но никто не застрахован от возможных недоразумений.

В математических языках смысл знаков и терминов строго определяется. Никакая двусмысленность не допускается.

Омонимы встречаются только на уровне разных разделов. Например, можно говорить о «диагонали» квадрата или круга, но вы никогда не спутаете ее с «диагональю» матрицы, так как в первом случае речь идет о геометрии, а во втором о линейной алгебре.

Но не только омонимы создают проблемы.

Посмотрите на два предложения ниже:

«Человек — разумное существо»

«Человек — первый космонавт»

Предложения имеют одинаковую форму написания, но разную логику и смысл.

Первое предложение относится к любому человеку, то есть является общим высказыванием. Второе предложение относится к одному конкретному человеку (Ю. А. Гагарину), то есть является частным высказыванием.

В чем проблема? В том, что из этих двух предложений можно получить два вывода: один истиный, а другой ложный.

  • «Человек — разумное существо», «Катя — человек». Вывод: «Катя — разумное существо». Все нормально.

  • «Человек — первый космонавт», «Катя — человек». Вывод: «Катя — первый космонавт». Некорректный вывод!

В математике мы постоянно оперируем предложениями, преобразуем их и делаем выводы. Именно поэтому несоостветствие формы написания ее смыслу не допускается.

В частности, в математике всегда явно указывается, какие высказывания общие, а какие — частные. Это делается с помощью специальных знаков. На русском языке тоже множно вести ясность:

«Всякий человек — разумное существо»

«Существовал человек, который был первым космонавтом»

Гибкость

Математические языки очень гибки благодаря переменным. С их помощью можно в простом виде записывать выражения, имеющие отношение не к одному конкретному предмету, а к целому ряду предметов одной природы.

Простейший пример:

x+y=y+xx + y = y + x

где x и y — переменные для чисел. Эта запись с переменными выражает общий закон: «от перемены мест слагаемых сумма не меняется». Она справедлива для любых двух чисел.

Можно легко получить какой-нибудь частный случай. Достаточно вместо x и y подставить числа и получить конкретное выражение, например:

3+2=2+33 + 2 = 2 + 3

В естественных языках тоже есть что-то похожее на переменные. Например, слово «стол» в предложении «Стол имеет крышку» обозначает любой стол, также как x в примере выше означает любое число.

Однако само слово «стол» связано только со столами. Мы не можем использовать его для обозначения кресел или кроватей. Точнее можем, но это будет ощущаться как-то странно, неестественно. А переменную x можно связывать с чем угодно (числами, функциями, квадратами и так далее).

Превью