Выражения

Вначале было слово

В прошлой статье мы составили базовый алфавит математики. Буквы и знаки алфавита можно комбинировать, получая слова.

Примеры слов:

Как видно из последних двух примеров, слова не обязательно должны быть осмысленными. Случайный набор знаков тоже считается словом. Получается, что все слова языка математики можно поделить на бессмысленные и осмысленные. Слова, имеющие смысл будем называть выражениями.

Отлично. Теперь у нас есть название для осмысленных слов (выражения). Но в математике очень много самых разных выражений:

Нужно построить классификацию выражений в математике.

Термы

Начнем с выражений, которые не содержат знака отношения (= и <).

Во-первых, мы можем составлять числа из цифр:

Во-вторых, можно записывать выражения с операциями, но без переменных/постоянных:

Наконец, существуют выражения и с операциями, и с переменными/постоянными:

Вроде все. Больше никаких типов выражений с имеющимися буквами алфавита (без знаков отношений) придумать не получается. Назовем все такие выражения термами.

Попробуем составить правила, по которым можно конструировать термы:

Определение выше отличается от определений в предыдущих статьях.

• Сначала мы задаем элементарные термы (цифры и буквы латинского алфавита)

• Потом задаем правило, как из этих элементарных термов получить все остальные (через сложение и произведение)

• В конце заявляем, что других термов, кроме элементарных и полученных по правилу, не существует

Такие определения называются индуктивными. Чем они удобны? А тем, что с их помощью можно взять любое слово в языке математике и выяснить, является ли оно термом или нет.

Пример:

1. 3 — терм (пункт 1 определения)

2. a — терм (п.1)

3. $(3+a)$ — терм (из 1,2 по п.2)

4. 2 — терм (п.1)

5. $((3+a)\cdot 2)$ — терм (из 3,4 по п.2)

6. x — терм (по п.1)

7. $(3\cdot x)$ — терм (из 1,6 по п.2)

8. $(((3+a)\cdot 2) + (3\cdot x))$ — терм (из 5,7 по п.2)

Разберем теперь вот это слово:

1. a — терм (п.1)

2. $4(\div$ — не терм, потому что скобка и знак деления не входят в допустимые для элементраных термов буквы

3. $a\cdot 4 (\div$ — не терм, так как $4(\div$ — не терм, поэтому применить п.2 определения не выйдет

Упрощения

Согласитесь, что запись термов выглядит немного загроможденной:

Такие выражения сложно воспринимать. Поэтому математики договорились и ввели ряд упрощений:

• Не писать внешние скобки, если все остальные буквы терма находятся внутри них:

• Считать, что знак умножения приоритетнее, чем знак сложения. Поэтому скобки вокруг произведения можно опустить:

• Не указывать знак умножения, кроме тех случаев, когда он не разделяет две цифры или два набора цифр. Можно упростить: $3\cdot x \rightarrow 3x$. Нельзя упростить: $9 \cdot 3 \rightarrow 93$.

Сравним запись до и после упрощений:

Запись чисел

Когда мы только разбирались с видами термов, мы использовали вот такой пример:

C 7 все отлично — это элементарный терм. А вот 89 и 1224 термами по определению не являются. Это просто набор цифр. На самом деле, это еще одно упрощение.

Разберем число 89. Его можно переписать так:

9 — элементарный терм, но с 80 все еще проблемы. Разложим 80 на $8\cdot 10$.

Осталось только разобраться с 10. Когда мы пишем 10, мы понимаем под ним 1 + 9.

8 — терм (п.1) 10 — «псевдоним» терма 1 + 9 $8\cdot 10$ — терм (из 1,2 по п.2) 9 — терм (п.1) $8\cdot 10 + 9$ — терм (из 3,4 по п.2) Также как 10 пишут, чтобы не писать 9 + 1, так и 89 пишут, чтобы не писать $8\cdot 10 + 9$.

Ситуация с 1224 аналогичная. Это число является краткой записью терма: