Элементарные уравнения

Научимся решать уравнения и преобразовывать равенства. Просто, наглядно, с примерами и без заучивания наизусть кучи странных правил. Это ключевой и необходимый навык в математике и всех остальных точных науках.

Статья

Конспект

Задачи

Равенство

Два выражения, между которыми стоит знак «равно» (=).

5 = 5

1 + 2 = 3

0 = 4

8x = \frac{1}{a}

Уравнение

Равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных (переменных).

x + 3 = 5

t^2 + 8t = 100

z = \frac{1}{x}

Решение уравнения

Решениями или корнями уравнения называют такие числа, которые при подстановке вместо неизвестных превращают его в истинное равенство.

«Решить уравнение» — значит найти все его корни и доказать, что других корней нет. Причем корней может не быть вовсе или быть бесконечно много.

Решение уравнений угадыванием

Решите три уравнения:

1) \enspace x + 3 = 5

2) \enspace y^2 = 16

3) \enspace 0\cdot z = 15

Правило одинакового действия

Если над обеими частями истинного равенства совершить одно и то же действие (прибавить, вычесть, умножить, разделить или любое другое), то полученное новое равенство тоже будет истинным.

\begin{array}{} 1 + 1 = 2 \ \text{\small (истинное)} \\[5px] {\footnotesize \brand{+6}} \ | \ 1 + 1 = 2 \ | \ {\footnotesize \brand{+6}} \\ 6 + 1 + 1 = 2 + 6 \\[5px] 8 = 8 \ \text{\small (истинное)} \end{array}

Есть и совсем простая формулировка.
Запомните её на всю жизнь:

ЧТО СДЕЛАЛИ СЛЕВА, ТО ЖЕ ДЕЛАЕМ И СПРАВА!

Доказательство. С утками и коммунистами!

Есть такой шуточный «утиный тест»:

«Если это выглядит как утка, плавает как утка и крякает как утка, то это и есть утка.»

Вот только оказалось, что это никакая не шутка. Раньше при помощи этого теста вполне реально выясняли, является ли человек коммунистом.

А математики пошли ещё дальше и буквально сделали тест основным принципом (или аксиомой) своей науки. Пусть у нас есть два объекта. Если эти два объекта ведут себя одинаково при любых действиях с ними, то это и означает, что это одинаковые или равные объекты.

Теперь отметём шутки, коммунистов и уток в сторону. Такое сравнение по «реакции» действительно весьма логичный способ определять равенство объектов. Если никаким способом, никаким действием нельзя от двух объектов получить различную реакцию, то эти объекты действительно можно считать одинаковыми.

Пользуясь этим принципом, мы можем доказать правило одинакового действия.

В истинном равенстве у нас по бокам от знака = лежат одинаковые объекты. Мы совершаем над обоими этими объектами одинаковое действие, и они одинаково реагируют на действие — превращаются в другую пару тоже одинаковых объектов. А значит, новое равенство тоже истинно.

$\blacksquare$

Примеры сохранения истинности

Придумайте четыре истинных равенства. Проведите с ними какое-нибудь действие согласно правилу одинакового действия. По одному равенству на каждое действие: сложение, вычитание, умножение и деление.

Решение уравнений

Решение почти всех уравнений сводится к последовательному упрощению исходного уравнения, раз за разом применяя правило одинакового действия. Упрощения производятся до тех пор, пока не станет понятно, каким числом является неизвестная. Обычно упрощениями удается свести уравнение к тривильному виду $x = \ldots$

Уравнения с цепочкой действий

Решите уравнения:

1) \enspace 4x - 4 = 5 + x

2) \enspace \frac{x + 10}{8} = -\frac{1}{8}

Решение уравнений по-разному

Решите оба уравнения из примера выше другими способами:

1) \enspace 4x - 4 = 5 + x

2) \enspace \frac{x + 10}{8} = -\frac{1}{8}

Действие всегда «глобально»

При преобразовании равенств всегда применяйте действие ко всей стороне равенства целиком как единому целому, и никогда к отдельным её частям!

\red{\cdot \ 3} \ | \ 2x + 5 = 8 + x \ | \red{\cdot 3} \\ 3 \cdot \red{(} 2x + 5 \red{)} = \red{(}8 + x \red{)} \cdot 3

Зачем решать уравнения?

Равенства и уравнения буквально повсюду! Бесчисленное количество жизненных ситуаций можно свести к уравнениям, то есть буквально перевести на язык математики. Поэтому преобразование равенств и решение уравнений — базовый и ключевой навык не только в математике, но и в любой точной науке. Уверенное владение этим навыком — всё равно что надёжный и универсальный верстак для работы с мыслями и идеями.

Новый телефон Алины

Алина хочет купить новый телефон, который стоит 10 000 рублей. Каждый день она откладывает по 100 рублей. Сколько дней ей нужно откладывать деньги, чтобы накопить нужную сумму?

Решение

В задаче есть неизвестная величина — количество дней, в течение которых Алина будет откладывать деньги. Обозначим её какой-нибудь буквой, например t.

Если количество дней t умножить на 100 рублей, то получится общая сумма, которую Алина отложит за это время. И эта сумма должна быть равна 10 000 рублей. Всё это можно записать в виде уравнения:

t \cdot 100 = 10 \ 000

Ну а дальше уже чисто дело техники. Нам нужно оставить t в одиночестве слева. Сейчас ему мешает умножение на 100. Чтобы избавиться от него, по правилу одинакового действия разделим обе части уравнения на 100. Тогда в левой части 100 и 100 сократятся (100 : 100 = 1), и там останется только t:

t \cdot 100 = 10 \ 000 \\ \brand{:100} \ | \ t \cdot 100 = 10 \ 000 \ | \brand{:100} \\ \frac{\cancel{100}t}{\cancel{100}} = \frac{10\ 000}{100} \\ \boxed{t = 100}

Итак, Алина должна откладывать деньги 100 дней, чтобы накопить на новый телефон.

Встречное движение

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 80 км, и встретились через 2 часа. Скорость второго велосипедиста на 2 км/ч больше, чем скорость первого. Какова скорость каждого из велосипедистов?

Решение

Казалось бы, в задаче есть две неизвестные величины — скорость первого велосипедиста и скорость второго. Но на самом деле скорость второго выражается через скорость первого. Если обозначить скорость первого велосипедиста через x, то скорость второго на 2 км/ч больше, то есть x + 2.

Расстояние равно скорости, умноженной на время. Первый за 2 часа со скоростью x прошёл расстояние $x \cdot 2$ . Второй за эти же 2 часа со скоростью x + 2 прошёл расстояние $(x + 2) \cdot 2$ . А в сумме они прошли 80 км. Поэтому можно записать уравнение:

\underbrace{x\cdot 2}_{\text{Путь 1-го велосипедиста}} + \underbrace{(x+2)\cdot 2}_{\text{Путь 2-го велосипедиста}} = 80

По правилу разделим обе части уравнения на 2. При этом не забываем, что слева деление происходит над всей частью!

x\cdot 2 + (x+2)\cdot 2 = 80 \\ \brand{:2} \ | \ x\cdot 2 + (x+2)\cdot 2 = 80 \ | \brand{:2} \\ \frac{x\cdot 2 + (x+2)\cdot 2}{2} = \frac{80}{2} \\ \frac{x\cdot \cancel{2}}{\cancel{2}} + \frac{(x+2)\cdot \cancel{2}}{\cancel{2}} = \frac{80}{2} \\ x + x+2 = 40 \\ 2x + 2 = 40

Теперь в левой части уравнения нам мешает сложение с числом 2 и умножение на 2. Опять поделим обе части уравнения на 2. Тогда в левой части в обоих слагаемых 2 и 2 сократятся (2 : 2 = 1), и там останется только x + 1:

2x + 2 = 40 \\ \brand{:2} \ | \ 2x + 2 = 40 \ | \brand{:2} \\ \frac{2x + 2}{2} = \frac{40}{2} \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} + \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}} = \frac{40}{2} \\ x + 1 = 20

Теперь нашей неизвестной величине x мешает сложение с числом 1. Чтобы избавиться от него, по правилу одинакового действия вычтем из обеих частей уравнения число 1. Тогда в левой части +1 и –1 уничтожат друг друга, и там останется только x:

x + 1 = 20 \\ \brand{-1} \ | \ x + 1 = 20 \ | \brand{-1} \\ x + \cancel{1} - \cancel{1} = 20 - 1 \\ \boxed{x = 19}

Итак, скорость первого велосипедиста 19 км/ч. Скорость второго велосипедиста на 2 км/ч больше, то есть 21 км/ч.

Прекрасный пример того, как задачу можно перевести с бытового языка на язык математики и уравнений. А уж с уравнениями можно разобраться преобразованиями по правилу одинакового действия!

Типовые ошибки

«Уравнение», это когда «равно 0»
Распространенное заблуждение, которое возникает из-за того, что многие уравнения на отработку в учебниках и задачниках записаны в виде $\text{что-то там} = 0$ . Как вы уже и сами убедились из примеров выше, слева и справа от знака равенства может быть все что угодно: числа, перменные, дроби и даже сложные выражения.
«Решить уравнение» — значит найти x
Полная чушь. К сожалению, такой безграмотный ответ вы в 90% случаев услышите от школьников и даже студентов. Начать стоит с того, что переменная не всегда обозначается буквой x. Переменную можно обозначить любыми буквами и значками, например y, z, t, $\alpha$ , $\beta$ и т.д.
Ну а вообще, как только услышите подобный ответ сразу ткните пальцем в x и уверенно заявите — «Найти x? Ну вот он! Все? Уравнение решено?»
После того как закончите смеяться не забудьте рассказать, что на самом деле значит «решить уравнение».
Строчки против столбиков
Обычно математические выражения можно преобразовывать (выполнять сокращения, раскрывать скобки, приводить подобные) в строчку через цепочку равенств. Например, упрощая выражение $\frac{6}{3} + 2 \cdot 4$ , мы можем записать:
$\frac{6}{3} + 2(4 + 1) = 2 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 2 + 8 + 2 = 12$
Очень частно новички пытаются применить точно такой же подход при решении уравнений. Выглядит каждый раз по-разному, но всегда до жути креативно, например:
$3 + x = 5 = 5 - 3 = 2 = x$
Это естественная ошибка, но ее надо присекать на месте. Делать так в корне неправильно! Каждое новое действие над обеими частями, каждое «внутреннее» преобразование, все должно быть на отдельной строчке друг под другом:
$3 + x = 5 \\ \brand{-3} \ | \ 3 + x = 5 \ | \brand{-3} \\ - \cancel{3} + 3 + x = 5 - 3 \\ x = 2$
Путаница при действиях с выражениями и уравнениями
Регулярно после изучения правила одинакового действия над уравнениями и равенствами учащиеся начинают путать его с обычными преобразованиями выражений. Рассмотрим вот такой пример:
$\frac{8}{4}x = 7$
В левой части дробь можно спокойно сократить на 4 и получить 2x = 7. Но учащиеся боятся это сделать, ведь если «если сокращу дробь слева, то по правилу одинакового действия сокращать придется и справа». А так как справа ничего ни с чем не сокращается, значит так делать нельзя.
Тут надо просто понимать, что сокращение дроби в сущности это просто замена одной записи, $\frac{8}{4}$ , на другую, 2. Обе эти записи обозначают одно и то же число, и поэтому их можно свободно заменять друг на друга. Такие действия еще называют эквивалентными преобразованиями — форма меняется, значение нет.
А раз сокращение дроби это просто замена одной записи на другую, имеющую то же значение, то не требуется никаких действий для «компенсации» этого преобразования в уравнении. К эвивалентным преобразованиям так же относится раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и прочие действия.

Источники8

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Если рядом с названием стоит звездочка, то это избранный источник и с ним стоит ознакомиться, если вы хотите глубже погрузиться в материал.

Википедия

Свободная энциклопедия

Robert Recorde

Английский математик и врач

«Утиный тест»

Не такой уж и безобидный «шуточный» тест на очевидность происходящего

Распечатай и реши

Материалы по математике для учителей и репетиторов. Елена Ширяева

ОГЭ 2025. Задача 9. Уравнения

ЕГЭ Базовый 2025. Задача 17. Уравнения

ЕГЭ 2020. Математика. Простейшие уравнения

Готовимся к ЕГЭ. МЦНМО. Шестаков С.А.