Элементарные уравнения
Навык преобразования равенств и решения уравнений — основной вообще во всей математике и точных науках. Постарайтесь решить как можно больше задач. Вне зависимости, получилось или нет решить задачу, всегда открывайте решение и проверяйте правильность рассуждений.
Если у вас нет опыта решения уравнений, не спешите сделать как можно больше за один раз. Разбейте решение задач этого практикума на несколько дней. День на задачи уровня «ликбез», день на «нормальный», день на «продвинутый». В начале нового дня перерешивайте те задачи, с которыми у вас возникли трудности в предыдущий раз.
Простые уравнения
Решите уравнение:
Первое печатное уравнение
Он умножил на ноль…
Матвей решает уравнение x + 3 = 5. Ему было лень думать, и он решил сделать ход конём. Он сказал, что решением уравнения является число 10.
Для обоснования своего решения он подставил 10 вместо x в уравнение, а потом умножил обе части уравнения на 0:
Раз в итоге получилось истинное равенство, то 10 является решением уравнения x + 3 = 5. Сегодня за Матвея думаете вы. Прав ли он? Если нет, конкретно объясните, что не так в его решении.
Некое число
Некое число умножили на 2, прибавили 10 и получили 100. Что это было за число?
Цена с подвохом
Бейсбольная бита и мяч вместе стоят 110 рублей. Бита стоит на 100 рублей больше, чем мяч. Сколько стоит мяч?
Сначала попытайтесь быстро решить задачу устно. Затем решите её через уравнение и сравните результаты.
Бетономешалка мешает бетон
Вы собираетесь построить свой дом! Для этого вам нужно много бетона. Бетон образуется при смешивании цемента и песка в пропорции 1:3, то есть на килограмм цемента нужно три килограмма песка. Сколько цемента и песка вам нужно, если вы хотите замешать 100 кг бетона?
Треугольник идиота
Волшебный треугольник мощности электрического тока:
Исходное равенство:
Выведите равенства для и R.
На вырост
Ваня старше Лизы в 2 раза. Если сложить их возраст, то получится число 24. Сколько лет Ване и Лизе?
Отцы и дети
Когда мне было 14, мой отец был втрое старше меня. Сейчас ему вдвое больше лет, чем мне. Сколько мне лет?
Средние уравнения
Решите уравнение:
Большое путешествие
Алина отправилась в поход на 3 дня. Длина всего маршрута составила 111 километров. За второй день она прошла на 5 километров больше, чем за первый. А за третий день она прошла на 10 километров меньше, чем за второй. Сколько километров прошла Алина за каждый день?
Нулевые множители
В результате преобразований уравнения часто сводятся к произведению множителей с одной стороны и нулю с другой. Такие уравнения решаются очень просто и сейчас вы научитесь это делать. Начнем с элементарного примера:
Дроби-перевертыши
Говоря о нестандартных действиях над равенствами, школьники и студенты любят пользоваться так называемым «переворотом дробей». Действие это заключается в том, что числитель и знаменатель дробей слева и справа от знака «равно» меняются местами. Например:
Решите это уравнение до конца и подстановкой убедитесь, что полученный корень действительно верный.
Тайна дробей-перевертышей
Еще одно действие над равенствами, которым любят пользоваться школьники и студенты, это так называемый «переворот дробей». Действие это заключается в том, что числитель и знаменатель дробей слева и справа от знака «равно» меняются местами.
Действительно ли это действие работает? Правильно ли оно применено в приведенном примере? Если нет, объясните, что пошло не так и примените это действие правильно.
Полная противоположность
При каком значении p выражения 3p – 1 и 5(p + 5) будут противоположными числами? Найдите эти противоположные числа.
Никогда не угадаешь!
Решите уравнение в статье, которое использовалось в качестве примера уравнения, которое нельзя решить угадыванием:
7 раз подумай, 1 раз действуй
Среди предложенных действий выберите такое, которое позволит решить уравнение за меньшее число шагов. Подробно объясните, почему выбранное действие лучше по сравнению с другим.
Если вы не знаете, какое действие выбрать, решите уравнение дважды с помощью обоих действий и тогда станет понятно, какое действие было эффективнее.
Действия:
- 1
Сгруппировать x в левой части уравнения.
- 2
Сгруппировать x в правой части уравнения.
Продвинутые уравнения
Решите уравнение:
Дробный переполох
Решите уравнение:
Сохранение ложности равенства
В правиле одинакового действия речь идёт про истинные равенства. А работает ли оно для ложных равенств? Правда ли, что если над обеими частями любого ложного равенства совершить одно и то же действие, то получится обязательно ложное равенство?
Логика решения уравнений
До этого момента мы довольно вольно решали уравнения. Мы находили решения и как-бы неявно подразумевали, что других решений нет. Так же вольно мы обходились с уравнениями без решений и с бесконечным количеством решений.
Решать так абсолютно нормально и интуитивно понятно. Но если вам действительно хочется копнуть чуть глубже и логически строго и четко обосновать решение уравнений, то решите следующие задачи. Или хотя бы прочитайте их решения.
Нет решений
Когда мы в результате преобразований приходим к ложному равенству вообще без переменной, мы говорим, что «уравнение не имеет решений». Но если мы пришли к ложному равенству, на каком основании мы считаем, что исходное уравнение не имеет решений? Ведь его истинность не ясна, а для ложных равенств правило одинакового действия не работает!
Например, уравнение x + 3 = x – 2 в результате вычитания x из обеих частей уравнения свелось к ложному равенству 3 = –2. Логически объясните, почему из тезиса «получили ложное равенство 3 = –2» следует, что «уравнение x + 3 = x – 2 не имеет решений».
Конечное число решений
По определению «решить уравнение — найти его корни и доказать, что других нет». Когда мы, например, вычитанием 5 из обеих частей уравнения x + 5 = 10 приходим к равенству по типу x = 5, то мы говорим, что решили уравнение и нашли его единственное решение 5. Считается ли, что мы этими преобразованиями доказали, что у уравнения только одно решение? А что если есть какие-то другие корни?
Является ли решение уравнения путём преобразований по правилу одинакового действия доказательством того, что у уравнения нет других корней?
Бесконечно много решений
Когда мы в результате преобразований приходим к истинному равенству вообще без переменной, можно ли сказать, что у него «бесконечно много решений»? Что «любое число будет его корнем»?
Например, уравнение x + 3 = x + 3 в результате вычитания x из обеих частей уравнения свелось к истинному равенству 3 = 3. Можно ли сказать, что из тезиса «получили истинное равенство 3 = 3» следует, что «уравнение x + 3 = x + 3 имеет бесконечно много решений»?
Источники8
Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Если рядом с названием стоит звездочка, то это избранный источник и с ним стоит ознакомиться, если вы хотите глубже погрузиться в материал.