Правило сложения

Все варианты покупки уже разбиты на группы:

• 3 варианта купить ящерику

• 4 варианта купить попугая

• 5 вариантов купить кролика

• 6 вариантов купить рыбку

Используем правило сложения и находим все возможные варианты покупки:

18

По правилу суммы у Пети 10 + 5 + 3 = 18 способов выбрать одну игру.

18

Все варианты разыграть карту уже разбиты на группы:

• 3 варианта разыграть одну пятерку

• 2 варианта разыграть один валет

• 2 варианта разыграть один из тузов

• 1 вариант разыграть одну девятку

• 1 вариант разыграть одного короля

Используем правило сложения и находим все возможные варианты разыграть карту:

9

Для освещения комнаты можно: включить одну из 3 настольных ламп, включить лампочки на потолке с помощью выключателя, разжечь камин, снять шторы с одного из 3 окон. По правилу сложения получается 3 + 1 + 1 + 3 = 8 способов осветить комнату.

8

Определите, какие группы учеников удовлетворяют требованиям к ведущему праздника.

Условиям на роль ведущего праздника удовлетворяют 4 непересекающихся группы:

1. Мальчики 9-го класса — 11 вариантов

2. Девочки 9-го класса — 15 вариантов

3. Мальчики 10-го класса — 9 вариантов

4. Девочки 10-го класса — 10 вариантов

По правилу суммы получаем 11 + 15 + 9 + 10 = 45 способов выбрать ведущего.

45

Танцы каждого парня образуют группу танцев. Эти группы танцев не пересекаются.

Начнем с парней. Имеем 4 группы танцев, по одной группе на каждого из парней. Группы эти не пересекаются, так как к каждой группе танцев привязан свой парень. По правилу суммы получаем 10 + 3 + 4 + 4 = 21 парный танец.

В парных танцах парни танцуют с девушками. Вся описаная логика с группами и правилом суммы работает и на них тоже. Раз парни станцевали 21 танец, то и девшуки в сумме тоже станцевали 21 танец.

Решив простейшее уравнение получаем, что Ксюша станцевала 11 парных танцев.

11

Разбейте все маршруты на классы, например «М-Х» (Математино - Химино) и другие.

Разобьем все возможные маршруты на классы:

• В классе «М-Х», то есть напрямую от Математино до Химино, есть 2 маршрута.

• В классе «М-Ф-1-Х», то есть до Физино по первой дороге и потом в Химино, есть 3 маршрута.

• В классе «М-Ф-2-Х», то есть до Физино по второй дороге и потом в Химино, также 3 маршрута.

По правилу суммы получаем 2 + 3 + 3 = 8 маршрутов из Математино в Химино.

8

Разбейте все трехзначные числа с двумя восьмерками на классы. Посчитайте, сколько чисел в каждом классе и используйте правило сложения.

Разобьем все возможные трехзначные числа ровно с двумя восьмерками на 3 класса: класс $88x$, класс $8x8$ и класс $x88$. В классах $88x$ и $8x8$ вместо x могут быть любые цифры, кроме 8, то есть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 (всего 9 вариантов). Получается, в этих двух классах у нас по 9 чисел. В классе $x88$ всего 8 чисел, потому что 0 не может быть в начале трехзначного числа.

По правилу сложения имеем 26 трехзначных чисел, в записи которых есть только две восьмерки:

26

Разделим все подходящие машины на две группы: «Джипы» и «Красные». Не забывайте про пересечения!

Разделим все подходящие машины на две группы: «Джипы» и «Красные».

В группе «Джипы» находится 10 + 7 = 17 машин. В группе «Красные» находится 10 + 5 = 15 машин.

По правилу сложения мы должны сложить количества машин в этих группах. Но не забывайте про пересечения! Если мы просто сложим группы, то дважды учтем 10 красных джипов, которые находятся одновременно как в группе «Джипы», так и в группе «Красные»!

Поэтому, надо не забыть вычесть дубликаты:

22

Посмотрите решение похожего примера из статьи.

Выделите два класса: один для вариантов выбрать гласную букву, другой для варианто выбрать четную. Посчитайте количество вариантов в каждом классе. Не забывайте про пересечения!

Разделим все варианты выбрать букву на две группы.

В группе A будут варианты выбрать гласную букву. Всего в предложении 7 гласных, а значит 7 способов выбрать одну из них.

В группе B варианты выбрать буквы, порядковый номер которых четный. Выпишем все четные буквы:

То есть в группе B у нас так же 7 способов совершить выбор.

Обратите внимание, что группы пересекаются! В группе B есть 3 гласные («е», и две «и»), которые так же есть и в группе A! Сложив по правилу суммы эти способы в этих двух группах мы лишний раз учтем эти три буквы, поэтому нужно вычесть эти дубликаты:

Если положение выбираемой буквы не имеет значение, то количество способов в группе A, то есть количество уникальных гласных, уменьшается до 4. В группе B останется 5 букв «з, р, е, ь, и», причем с 2-мя пересечениями («е» и «и»).

11 способов выбрать буквы, если их положение в предложении имеет знаение и 7, если не имеет.

Перед применением правила суммы не забудьте проверить, не пересекается ли группа отличников по математике с группой отличников по русскому языку.

У нас есть две группы учеников: отличники по математике и отличники по русскому языку. В первой группе 9 человек, во второй 7. Но эти группы пересекаются, потому что и там и там есть одни и те же 3 ученика, которые получили «5» по обоим предметам.

Если мы просто сложим 9 и 7, то с добавлением 7 мы повторно учтем 3-х отличников, которые и так есть среди 9 человек первой группы. По правилу суммы получается всего 9 + 7 - 3 = 13 отличников.

13

Задача решается так же, как и «Лишние отличники», только в конце надо выполнить еще одно действие.

В задаче есть два пересекающихся класса. Поэтому мы можем использовать правило суммы и не забыть вычесть количество повторящихся объектов.

Значит, «комбинаторику или теорию вероятности» знают 35 человек. Но нас просят найти тех, кто ничего не знает. Для этого вычитаем 35 человек, которые хоть что-то знают из общего количества человек: 40 - 35 = 5.

5 человек не знают ни комбинаторику, ни теорию вероятности.

5

Задача является развитием идей задач «Меньше знаешь, крепче спишь» и «Лишние отличники». Во всех трех задачах по сути выполняются одни и те же вычисления, просто с разными неизвестными.

Сначала найдите, сколько человек занимаются хоть чем-то. Потом используйте правило суммы.

Сначала определим, сколько человек заняты хоть чем-то: работой, учебой или и тем и другим сразу. Для этого из общего количества человек вычтем тех, кто ничем не занят:

Учащиеся и работащие образуют два класса. По правилу суммы получается 170 + 45 = 215 человек. Но нам уже точно известно, что чем-то занимаются только 173 человека. Значит наши классы пересекаются и есть 215 - 173 = 42 человека, которые одновременно работают и учатся.

Итак, 42 человека учатся и работают. Тогда 170 - 42 = 128 человек только учатся, а 45 - 42 = 3 человека только работают.

42 человека учатся и работают. 128 человек только учатся. 3 человека только работают.

Разделите искомые карты на три группы: четные, красные, и тузы. Сначала посчитайте карты, отвечающие укороченному условию — «четные или красные». Потом на основе полученного результата добавьте условие с тузами.

Не забывайте про пересечения!

Разделим искомые карты на три группы: четные, красные, и тузы.

Сначала разберемся с четными картами. 4 двойки, 4 четверки и так далее до 4 десяток. Всего $4\cdot 5 = 20$ карт в группе четных.

Теперь красные карты. Их ровно половина от всей колоды — 26 штук. Но тут возникает пересечение, ведь некоторые красые карты одновременно являются и четными! Это двойки бубны и черви (2 карты), четверки бубны и черви (2 карты) и вплоть до десяток бубны и черви. Всего $2 \cdot 5 = 10$ пересечений.

Итак, по правилу суммы с учетом дубликатов условию «четные или красные» отвечают 20 + 26 - 10 = 36 карт.

Тузов всего 4. Но тут возникает еще пересечения, ведь из четырех тузов два красные! Поэтому, условию «(четные или красные) или туз» отвечают 36 + 4 - 2 = 38 карт!

38

Положительные целые числа это числа вида $1, 2, 3, \ldots$.

Обращайте внимние на строгость знаков неравенства.

Решения первого неравества это первый класс, второго — второй. Не забудьте проверить их на пересечение.

У нас есть два класса, каждый из которых связан со своим неравенством. Решениями первого неравенства являются целые числа от 1 до 5 включительно, то есть 6 чисел. У второго неравенства решения это все целые числа от 5 до 99, то есть 95 чисел.

Классы у нас пересекаются. Число 5 одновременно является решением как первого, так и второго неравенства, поэтому по правилу суммы всего имеем 6 + 95 - 1 = 100 положительных решений.

100

Принцип решения точно такой же, как и рассмотренного в теории примера.

Решение «от конца к началу»

Общие рассуждения и пояснения насчет хода решения можно найти в разборе примера из теории. Здесь же мы просто применим полученные знания.

В город K можно напрямую попасть только из городов G, E и D. Обозначим за $S_K$ количество способов попасть в город K. Тогда:

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Начнем с $S_G$:

Из A попасть в I можно только двумя способами, так что $S_I = 2$, а в B только одним — $S_B = 1$:

Остальные слагаемые ($S_E$ и $S_D$) точно так же сводим к $S_I$ и $S_B$:

Наконец можем получить финальный ответ:

Решение «от начала к концу»

Количество способов попасть в очередную точку равно сумме количеств способов попасть в предыдущие точки. Просто двигаемся слева направо и проставляем рядом с каждой точкой количество способов в нее попасть:

14

Принцип решения почти такой же, как и рассмотренного в теории примера.

Общие рассуждения и пояснения насчет хода решения можно найти в разборе похоже примера из теории. Здесь же мы просто применим полученные знания.

Обозначим за $R_n$ количество цепочек действий, которые дают в результате число n. Если число n нечетное, то получить его можно только из числа $n-1$ с помощью действия (1) или из числа $n-3$ с помощью действия (2). Действие (3) не поможет, так как любое число при умножении на 2 становится четным, а мы рассматриваем нечетное n.

Если же число n четное, то получить его можно так же, но еще и из числа $\frac{n}{2}$ с помощью умножения на 2, то есть действия (3):

Получить число 5 можно единственным способом — если не дать роботу никаких команд. Поэтому $R_5 = 1$. Получить 6 можно только одним способом — единожды применив действие (1). Поэтому $R_6 = 1$. Получить 7 можно только из 6 и снова только одним способом, так что $R_7 = 1$. Такая же история и с числом 8 — $R_8 = 1$. Дальше уже используем формулы:

Итак, всего 57 разных последовательностей действий можно дать роботу, чтобы он из числа 5 получил число 17.

57

Разбейте всех комплекты перчаток на классы, зафиксировав минимальное количество пальцев для каждого класса на одной перчатке и перебирая возможные варианты для двух оставшихся.

Например, $K_1$ будет означать класс вариантов комплектов, где у одной перчатки ровно 1 палец, на остальных не меньше 1 пальца, а в сумме на двух оставшихся перчатках должно быть 16 пальцев. Потом рассмотрите классы $K_2$, $K_3$ и так далее.

Описать комплект перчаток можно следующим образом: $\set{1,2,14}$. Это означает, что в комплекте три перчатки на 1, 2 и 14 пальцев, в сумме 17. Причем совершенно не имеет значения порядок этих чисел: комплекты $\set{1,2,14}$ и $\set{14,1,2}$ одинаковые.

Теперь разобьем все варианты комплектов на классы. В класс $K_1$ поместим варианты комплектов, в которых есть рука с 1 пальцем и меньше 1 пальца на руках быть не может. Тогда в сумме на двух оставшихся руках должно быть 16 пальцев. Математически это можно описать так:

Все возможные варианты можно перебрать вручную, их тут мало. Получаем 8 комплектов перчаток:

Напоминаю, что комплект $\set{1, 7, 9}$ это точно такой же комплект, что и $\set{1, 9, 7}$, поэтому последний мы не считаем. Идем только по возрастанию количества пальцев на второй руке и уменьшению на третьей. Так мы точно не пропустим ни один комплект в классе.

Теперь рассмотрим класс $K_2$ в котором на одной руке есть 2 пальца и меньше 2 пальцев на других руках нет. Если мы допустим, что на какой-то руке будет меньше 2 пальцев (то есть 1 палец), то мы повторно учтем комплекты перчаток, которые уже есть в классе $K_1$. В сумме на двух оставшихся руках должно быть 15 пальцев:

Получаем 5 комплектов перчаток:

Аналогичным образом строим класс $K_3$ и находим еще 5 возможных вариантов комплектов перчаток:

В классе $P_4$ будет уже 3 вида комплектов, в классе $P_5$ — 2. А в классе $P_6$ и дальше никаких комплектов нет. Ведь уже для $P_6$ в сумме на две оставшиеся руки нужно получить 11 пальцев. Но минимальная сумма, которая дает 11 это 6 + 5, а перчатки с 5 пальцами в классе $P_6$ быть не может.

Обратите внимание, что классы $P_1, \ldots, P_5$ не пересекаются. В $P_1$ у всех комплектов есть перчатка с одним пальцем и в то же время во всех остальных классах перчаток с одним пальцем нет. С другими классами точно так же. Раз классы не пересекаются, мы можем спокойно использовать правило суммы:

Итак, в продаже должно быть 23 комплекта перчаток.

23

Адаптируйте решение примера про путешествия из теории. Например, попасть на ступень 9 можно только со ступенек 8 или 7.

Построение модели

Сходу слона съесть не выйдет, поэтому будем есть по кусочкам. В данном случае рассмотрим какую-нибудь одну ступеньку. Возьмем для примера девятую ступень. Попасть на нее можно только с восьмой ступени (поднявшись на одну ступеньку) или с седьмой ступени (переступив через одну). Других вариантов нет.

Представим теперь, что на восьмую ступеньку можно попасть 5 способами. Значит и на девятую ступеньку с восьмой можно попасть тоже только 5-ю способами — совершив один шаг.

Теперь представим, что на седьмую ступеньку можно попасть 7 способами. Тогда, повторяя рассуждения как с восьмой ступенькой, с седьмой на девятую ступень тоже можно попасть только 7 способами.

Получается, способов попасть на девятую ступеньку столько же, как и способов попасть на «восьмую или седьмую» ступеньки. Причем классы способов попасть на ступеньку 8 и на ступеньку 7 не пересекаются! Одинаковых путей нет, ведь любой путь из класса «Ступень 8» содержит в себе восьмую ступеньку, которой нет ни в одном пути из класса «Ступень 7».

Итак, у нас есть два непересекающихся класса, а значит мы можем использовать правило суммы: 5 + 7 = 13 способов попасть на девятую ступеньку.

Математическая модель

Фишка в том, что подобные рассуждения можно провести для любой ступеньки. Тогда количество способов попасть на ступеньку n равно сумме количества способов попасть на ступеньки $n-1$ и $n-2$. Если обозначить количество способов попасть на ступень n за $S_n$, то получаем формулу:

Решение задачи

Попасть на первую ступеньку можно только одним способом $S_1 = 1$. На вторую уже есть два способа $S_2 = 2$: с первой ступеньки и сразу с пола переступив через первую. Для третьей ступеньки уже можно воспользоваться выведенной формулой:

Ну и продолжаем дальше считать с помощью нашей формулы до победного:

На лестницу из 9 ступенек можно подняться 55 разными способами. А на лестницу из 11 ступенек — 144.

Обратите внимение на полученные формулу и последовательность чисел:

Каждый следующий элемент последовательности получается через сложение двух предыдущих элементов. Это широко известные «Числа Фибоначчи». Они всплывают в самых разных областях, причем не только в математике, но даже и в природе. Только что мы выяснили, что они связаны и с подъемом на самую обыкновенную лестницу.

Вот уж и правда нельзя и шага сделать, чтобы не затронуть какую-нибудь красивую математическую формулу... Удивительно!