Правило сложения

Сколько существует способов выбрать один объект из нескольких групп объектов? На этот вопрос отвечает правило сложения, одно из основных комбинаторных правил.

Правило сложения

Если объект из группы A можно выбрать a способами, а объект из группы B можно выбрать b способами, то выбрать хоть какой-то объект из этих групп можно $a+b$ способами.

Другими словами, выбор «A или B» можно сделать $a+b$ способами.

Правило сложения (или правило суммы) позволяет разбивать сложную задачу на несколько более легких подзадач. Получив ответы на эти более легкие подзадачи их останется только сложить вместе и автоматом получить ответ на исходную сложную задачу!

Вечернее платье

Настя собирается в театр и пытается выбрать подходящее платье. У нее есть 3 черных и 2 белых платья. Сколько у нее вариантов выбрать одно платье для театра?

Решение

Все платья разбиты на 2 группы или класса: черные и белые. У Насти есть 3 способа выбрать одно черное платье (взять одно из трех) и 2 способа выбрать одно белое платье (взять одно из двух). Всего получается 3 + 2 = 5 способов выбрать платье для театра, то есть совершить выбор «черное или белое платье».

Фрукты на закуску

На столе лежит 5 яблок, 3 апельсина и 8 бананов.
Сколько существует способов выбрать хоть какой-то из этих фруктов?

Решение

У нас есть три группы фруктов: яблоки, апесльины и бананы. Есть 5 способов выбрать себе яблоко, 3 способа выбрать апельсин и 8 вариантов выбрать банан. Тогда суммарно имеем 5+3+8 = 16 вариантов выбрать хоть какой-то фрукт. Еще можно сказать, что у нас есть 16 вариантов выбрать «Яблоко или Апельсин или Банан».

Пересечение классов

Иногда во время составления групп (классов) объектов для использования правила суммы некоторые объекты оказываются одновременно в нескольких классах. Такие моменты надо учитывать и убирать дубликаты!

Обманчивые детские игрушки

В магазине детских игрушек есть 6 кубиков, 3 из которых синего цвета и 5 шариков синего цвета. Матвей хочет себе либо кубик, либо игрушку любой формы, но обязательно синюю. Сколькими способами его мама может совершить покупку?

Решение

Итак, у нас есть два класса объектов: «Кубики» и «Синие игрушки». Посчитаем, сколько объектов лежат в каждой из этих групп. Кубик можно выбрать 6 способами. Синюю игрушку можно выбрать 8 способами (3 кубика и 5 шариков).

Однако, мы запихнули 3 синих кубика сразу в оба класса, из-за чего образовалось пересечение классов. Выходит, выбор «Кубик или синяя игрушка» можно сделать 6 + 8 - 3 = 11 способами!

Проверяйте пересечения!

Применяя правило суммы всегда проверяйте классы на пересечение! В элементарных задачах очень просто заметить объекты, принадлежащие сразу к нескольким классам, но в более сложных глаз может замылиться!

Если при применении правила сложения два класса все же пересекаются, то есть имеют одинаковые элементы, то формула приобретает вид $a+b-p$ , где p — число пересечений.