Правило сложения

Сколько существует способов выбрать один объект из нескольких групп объектов? На этот вопрос отвечает правило сложения, одно из основных комбинаторных правил.

Статья

Конспект

Задачи

Правило сложения

Если объект из группы A можно выбрать a способами, а объект из группы B можно выбрать b способами, то выбрать хоть какой-то объект из этих групп можно a + b способами.

Другими словами, выбор «A или B» можно сделать a + b способами.

Правило сложения (или правило суммы) позволяет разбивать сложную задачу на несколько более легких подзадач. Получив ответы на эти более легкие подзадачи их останется только сложить вместе и автоматом получить ответ на исходную сложную задачу!

Вечернее платье

Настя собирается в театр и пытается выбрать подходящее платье. У нее есть 3 черных и 2 белых платья. Сколько у нее вариантов выбрать одно платье для театра?

Решение

Все платья разбиты на 2 группы или класса: черные и белые. У Насти есть 3 способа выбрать одно черное платье (взять одно из трех) и 2 способа выбрать одно белое платье (взять одно из двух). Всего получается 3 + 2 = 5 способов выбрать платье для театра, то есть совершить выбор «черное или белое платье».

Фрукты на закуску

На столе лежит 5 яблок, 3 апельсина и 8 бананов.
Сколько существует способов выбрать хоть какой-то из этих фруктов?

Решение

У нас есть три группы фруктов: яблоки, апесльины и бананы. Есть 5 способов выбрать себе яблоко, 3 способа выбрать апельсин и 8 вариантов выбрать банан. Тогда суммарно имеем 5 + 3+8 = 16 вариантов выбрать хоть какой-то фрукт. Еще можно сказать, что у нас есть 16 вариантов выбрать «Яблоко или Апельсин или Банан».

Пересечение классов

Иногда во время составления групп (классов) объектов для использования правила суммы некоторые объекты оказываются одновременно в нескольких классах. Такие моменты надо учитывать и убирать дубликаты!

Обманчивые детские игрушки

В магазине детских игрушек есть 6 кубиков, 3 из которых синего цвета и 5 шариков синего цвета. Матвей хочет себе либо кубик, либо игрушку любой формы, но обязательно синюю. Сколькими способами его мама может совершить покупку?

Решение

Итак, у нас есть два класса объектов: «Кубики» и «Синие игрушки». Посчитаем, сколько объектов лежат в каждой из этих групп. Кубик можно выбрать 6 способами. Синюю игрушку можно выбрать 8 способами (3 кубика и 5 шариков).

Однако, мы запихнули 3 синих кубика сразу в оба класса, из-за чего образовалось пересечение классов. Выходит, выбор «Кубик или синяя игрушка» можно сделать 6 + 8 – 3 = 11 способами!

Проверяйте пересечения!

Применяя правило суммы всегда проверяйте классы на пересечение! В элементарных задачах очень просто заметить объекты, принадлежащие сразу к нескольким классам, но в более сложных глаз может замылиться!

Важно

Если при применении правила сложения два класса все же пересекаются, то есть имеют одинаковые элементы, то формула приобретает вид a + b–p, где p — число пересечений.

Источники7

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Если рядом с названием стоит звездочка, то это избранный источник и с ним стоит ознакомиться, если вы хотите глубже погрузиться в материал.

Комбинаторика

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А., 7-е издание, МЦНМО, 2019

Почти идеальная подача теории через жизненные примеры. Интересные задачи. Широчайший охват тем, в том числе и из высшей математики.

3. Команда космического корабля

4. Правила суммы и произведения

Википедия

Свободная энциклопедия

Комбинаторные принципы

Brilliant

Образовательная платформа по математике и IT

Прекрасный сайт с наглядными пояснениями, хорошими примерами и упражнениями.

Rule of Sum