Бином Ньютона - Комбинаторика

Умножение многочленов

Раскройте скобки в выражении

(a+b+c)(x+y+z)(n+m)

Указание

Составьте все возможные комбинации из трех элементов. На первом месте в комбинации буквы из первой скобки, на втором — из второй, на третьем из третьей.

Чтобы не запутаться, сначала выписывайте комбинации, начинающиеся с a, потом с b и, наконец, с c.

Решение

Находим произведение трех скобок «комбинаторным» способом, то есть выписываем все комбинации из трех элементов. На первом месте в комбинации буквы из первой скобки, на втором — из второй, на третьем из третьей.

Сначала выпишем все комбинации с a на первом месте:

\begin{array}{} axn & axm & ayn & aym & azn & azm \end{array}

Затем все те же комбинации, но заменив на первом месте a на b:

\begin{array}{} bxn & bxm & byn & bym & bzn & bzm \end{array}

И наконец с c на первом месте:

\begin{array}{} cxn & cxm & cyn & cym & czn & czm \end{array}

Финальное разложение:

(a+b+c)(x+y+z)(n+m) = \\ axn + axm + ayn + aym + azn + azm + bxn + bxm + byn + bym + bzn + bzm + cxn + cxm + cyn + cym + czn + czm

Ответ

Всего 18 слагаемых:

(a+b+c)(x+y+z)(n+m) = \\ axn + axm + ayn + aym + azn + azm + bxn + bxm + byn + bym + bzn + bzm + cxn + cxm + cyn + cym + czn + czm

Считаем слагаемые

Найдите количество слагаемых после раскрытия скобок в произведении:

(a+b)(a+c)(c+d)(n+m+e)

Указание

Изучите решение примера из статьи.
Используйте правило произведения.

Решение

Умножаются четыре многочлена, значит каждое слагаемое после раскрытия скобок будет являться комбинацией 4 букв.

Первую букву можно выбрать 2 способами (a или b). Вне зависимости от выбранной первой буквы, вторую можно выбрать тоже 2 способами (a или c). С третьей то же самое, а четвертую букву можно выбрать 3 способами (n, m или e).

Как видим, выбор очередной буквы не влияет на количество способов выбрать следующую. Поэтому мы можем использовать правило произведения и найти общее количество комбинаций, то есть слагаемых:

2\cdot 2 \cdot 2\cdot 3 = 2^3 \cdot 3 = 24

Ответ

24

Слагаемые бинома Ньютона

Сколько слагаемых получается в сумме после использования бинома Ньютона?

Указание

Воспользуйтесь формулой общего члена разложения или компактным видом формулы бинома Ньютона.

Решение

Выпишем формулу общего члена разложения.

T_k = C_n^k a^{n-k}b^k

Биномиальный коэффициент есть у каждого слагаемого. Начинается отсчет с 0 ( $C_n^0$ ), а заканчивается на n ( $C_n^n$ ). Значит в сумме всего $n+1$ слагаемых!

Через компактный вид

Ответ можно получить и через компактный вид формулы:

(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k

Видим, что переменная k пробегает все значения от 0 до n и при каждом значении образует слагаемое. Всего $n+1$ слагаемых.

Ответ

$n+1$

Формулы бинома Ньютона

Напишите формулу бинома Ньютона для степеней биномов:

а) \ (1+x)^7 \qquad б) \ (t - 2)^6 \qquad в) \left(\frac{1}{x} - x\right)^6

Решение

Каждый раз пользуемся формулой бинома Ньютона и проводим предварительные упрощения, если это возможно.

Также держим в голове, что нам нужно считать только половину биномиальных коэффициентов до середины разложения, а потом они начнут повторяться!

Пункт а)

Для начала проведем небольшое упрощение:

(1+x)^7 = \sum\limits_{k=0}^7 C_7^k 1^{7-k}x^k = \sum\limits_{k=0}^7 C_7^k x^k

Теперь просто берем каждое значение k от 0 до 7 и подставляем его в полученную упрощенную формулу:

1 + 7x + 21x^2 + 35x^3 + 35x^4 + 21x^5 + 7x^6 + x^7

Пункт б)

Упрощаем. Обратите отдельное внимание, что для удобства определения минуса мы $(-2)^k$ разбили на два множителя: $(-1)^k$ и $2^k$ .

(t-2)^6 = \sum\limits_{k=0}^6 C_6^k t^{6-k} (-2)^k = \sum\limits_{k=0}^6 C_6^k (-1)^k t^{6-k} 2^k

Расписываем полную формулу:

t^6 - 12t^5 + 60t^4 - 160t^3 + 240t^2 - 192t + 64

Пункт в)

Упрощаем:

\left(\frac{1}{x} - x\right)^6 = \sum\limits_{k=0}^6 C_6^k \left(\frac{1}{x}\right)^{6-k}(-x)^k = \\ = \sum\limits_{k=0}^6 C_6^k (-1)^k \frac{x^k}{x^{6-k}} = \sum\limits_{k=0}^6 C_6^k (-1)^k x^{2k - 6}

Расписываем полную формулу:

\frac{1}{x^6} - 6 \frac{1}{x^4} + 12 \frac{1}{x^2} - 20 + 12x^2 - 6x^4 + x^6

Ответ

Пункт а)

1 + 7x + 21x^2 + 35x^3 + 35x^4 + 21x^5 + 7x^6 + x^7

Пункт б)

t^6 - 12t^5 + 60t^4 - 160t^3 + 240t^2 - 192t + 64

Пункт в)

\frac{1}{x^6} - 6 \frac{1}{x^4} + 12 \frac{1}{x^2} - 20 + 12x^2 - 6x^4 + x^6

Формулы бинома Ньютона

Аналог 1

(1+2a)^5 = \ ?

Ответ

1 + 10 a + 40 a^2 + 80 a^3 + 80 a^4 + 32 a^5

Формулы бинома Ньютона

Аналог 2

\left(\frac{1}{x} - 1 \right)^5 = \ ?

Ответ

\frac{1}{x^5} - \frac{5}{x^4} + \frac{10}{x^3} - \frac{10}{x^2} + \frac{5}{x} - 1

Формулы бинома Ньютона

Аналог 3

\left(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^5 = \ ?

Решение

Упрощаем:

\left(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^5 = \sum\limits_{k=0}^5 C_5^k \sqrt{\frac{a}{b}}^{5-k}\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^k = \\ = \sum\limits_{k=0}^5 C_5^k (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\small\frac{5-k}{2}}\left(\frac{a}{b}\right)^{\small-\frac{k}{2}} = \sum\limits_{k=0}^5 C_5^k (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\small\frac{5-2k}{2}}

Расписываем полную формулу:

\left(\frac{a}{b}\right)^{\small \frac{5}{2}} - 5\left(\frac{a}{b}\right)^{\small \frac{3}{2}} + 10\left(\frac{a}{b}\right)^{\small \frac{1}{2}} - 10\left(\frac{b}{a}\right)^{\small \frac{1}{2}} + 5\left(\frac{b}{a}\right)^{\small \frac{3}{2}} - \left(\frac{b}{a}\right)^{\small \frac{5}{2}}

Ответ

\left(\frac{a}{b}\right)^{\small \frac{5}{2}} - 5\left(\frac{a}{b}\right)^{\small \frac{3}{2}} + 10\left(\frac{a}{b}\right)^{\small \frac{1}{2}} - 10\left(\frac{b}{a}\right)^{\small \frac{1}{2}} + 5\left(\frac{b}{a}\right)^{\small \frac{3}{2}} - \left(\frac{b}{a}\right)^{\small \frac{5}{2}}

Номерной член разложения

Найдите шестой член разложения степени бинома:

(x^2 + 4)^{10}

Указание

Воспользуйтесь формулой общего члена разложения.

Решение

Выпишем формулу общего члена разложения.

T_k = C_n^k a^{n-k}b^k

Нас же просят найти шестой член ( $k=6$ и $n=10$ ) и при этом $a= x^2$ , а $b = 4$ . Подставляем эти данные и считаем:

C_{10}^6 (x^2)^{(10-6)} y^6 = \frac{10!}{4! \ 6!} (x^2)^4 y^6 = 210x^8y^6

Ответ

210x^8y^6

Номерной член разложения

Аналог 1

Найдите седьмой член разложения степени бинома:

\left( \sqrt{a} - \sqrt[3]{b} \right)^{13}

Решение

Подставляем нужные значения в формулу общего вида члена разложения и считаем:

C_{13}^7 \sqrt{a}^{(13 - 7)} \sqrt[3]{b}^7 = \frac{13!}{6! \ 7!} \sqrt{a}^6 \sqrt[3]{b}^7 = 1716a^3\sqrt[3]{b}^7

Ответ

1716a^3\sqrt[3]{b}^7

Номерной член разложения

Аналог 2

Найдите четвертый член разложения степени бинома:

\left( \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^9

Решение

Подставляем нужные значения в формулу общего вида члена разложения и считаем:

C_9^4 \sqrt[3]{x}^{(9-4)}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^4 = \frac{9!}{5! \ 4!} \frac{ \sqrt[3]{x}^5 }{\sqrt[3]{x}^4} = 126 \sqrt[3]{x}

Ответ

126 \sqrt[3]{x}

Независимый член разложения

Найти не зависящий от x член разложения степени бинома:

\left(2x - \frac{1}{x^3}\right)^{8}

Указание

Воспользуйтесь формулой общего члена разложения.

Решение

Выпишем формулу общего члена разложения.

T_k = C_n^k a^{n-k}b^k

Подставим в нее данные из условия:

C_8^k (2x)^{(8-k)} \left(\frac{1}{x^3}\right)^k

Преобразуем это выражение так, чтобы было удобнее работать с x:

C_8^k (2x)^{(8-k)} \left(\frac{1}{x^3}\right)^k = C_8^k 2^{(8-k)} x^{(8-k)} \frac{1}{x^{3k}} = \\ = C_8^k 2^{8-k} \frac{x^{8-k}}{x^{3k}} = C_8^k 2^{8-k}x^{8-4k}

Нам нужно найти не зависящий от x член разложения, значит нужно сделать так, чтобы x оказался в нулевой степени:

8-4k = 0 \\ 8 = 4k \\ \boxed{k = 2}

Итак, x окажется в нулевой степени и исчезнет из второго члена разложения степени бинома! Подставляем и считаем, чему будет равен сам член:

C_8^2 2^{8-2} x^{8 - 4\cdot 2} = \frac{8!}{6! \ 2!} 2^6 x^0 = 28 \cdot 64 \cdot 1 = 1536

Ответ

1536

Независимый член разложения

Аналог 1

Найдите не зависящий от x член разложения степени бинома:

\left( \frac{1}{x} + \sqrt{x} \right)^{12}

Решение

Подставляем данные условия в формулу общего вида члена разложения:

C_{12}^k \left(\frac{1}{x}\right)^{12 - k} \sqrt{x}^k = C_{12}^k \frac{x^{\frac{k}{2}}}{x^{12-k}} = C_{12}^k x^{\frac{k}{2} - 12 + k}

Нам нужно найти такой член разложения, в которым x не присутсвует. Единственный способ это сделать — найти такое k, при котором показатель степени x станет равен 0:

\frac{k}{2} - 12 + k = 0 \\ \frac{3}{2}k = 12 \\ \boxed{k=8}

Итак, x окажется в нулевой степени и исчезнет из восьмого члена разложения степени бинома! Подставляем и считаем, чему будет равен сам член:

C_{12}^8 x^0 = \frac{12!}{4! \ 8!} \cdot 1 = 495

Ответ

495

Независимый член разложения

Аналог 2

Найдите не зависящий от a член разложения степени бинома:

\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{-\frac{1}{2}} \right)^{15}

Решение

Подставляем данные условия в формулу общего вида члена разложения:

C_{15}^k a^{\frac{1}{3}(15 - k)} a^{-\frac{1}{2}k} = C_{15}^k a^{5 - \frac{1}{3}k - \frac{1}{2}k}

Нам нужно найти такой член разложения, в которым a не присутсвует. Единственный способ это сделать — найти такое k, при котором показатель степени a станет равен 0:

5 - \frac{1}{3}k - \frac{1}{2}k = 0 \\ 5 = \frac{5}{6}k \\ \boxed{k = 6}

Итак, a окажется в нулевой степени и исчезнет из шестого члена разложения степени бинома! Подставляем и считаем, чему будет равен сам член:

C_{15}^6 a^0 = \frac{15!}{9! \ 6!} \cdot 1 = 5005

Ответ

5005

Зависимый член разложения

Найдите:

а) Член разложения $(x + \sqrt{2})^{13}$ , содрежащий $x^8$ ;
б) Член разложения $(\sqrt{x} + 1)^{14}$ , содержащий $x^6$ ;
в) Член разложения $(x^5 + 1)^{1980}$ , содержащий $x^{1980}$ .

Указание

Воспользуйтесь формулой общего члена разложения.

Решение

Пункт а)

Выпишем формулу общего члена разложения.

T_k = C_n^k a^{n-k}b^k

Подставляем в него данные из условия:

C_{13}^k x^{13-k}\sqrt{2}^k

В полученной формуле показатель x вычисляется как $13-k$ . Нам надо найти при каком k он станет равен 8:

13-k = 8 \\ \boxed{k =10}

Итак, мы ищем десятый член разложения:

C_{13}^{10} x^8 \sqrt{2}^{10} = 286 \cdot x^8 \cdot 2^5 = 9152 x^8

Пункт б)

Подставляем данные из условия в общий член разложения:

C_{14}^k \sqrt{x}^{14 - k} 1^k = C_{14}^k x^{\small \frac{14-k}{2}}

Нам нужно, чтобы показатель степени у x стал равен 6:

\frac{14-k}{2} = 6 \\ 14 - k = 12 \\ \boxed{k = 2}

Итак, мы ищем второй член разложения:

C_{14}^2 x^6 = 91x^6

Пункт в)

Подставляем данные из условия в общий член разложения:

C_{1980}^k (x^5)^{1980 - k} 1^k = C_{1980}^k x^{5(1980-k)}

Нам нужно, чтобы показатель степени у x стал равен 1980:

5(1980 - k) = 1980 \\ 1980 - k = 396 \\ \boxed{k=1584}

Итак, мы ищем член разложения под номером 1584:

C_{1980}^{1584} x^{1980}

Ответ

а) $9152 x^8$ ;
б) $91x^6$ ;
в) $C_{1980}^{1584} x^{1980}$ .

Целые члены разложения

Для каждого разложения найдите, сколько их членов являются целыми числами:

а) \ (\sqrt{2} + \sqrt[3]{3})^5 \qquad б) \ (\sqrt{5} - \sqrt{2})^8 \qquad в) \ (\sqrt{3} + \sqrt[4]{5})^{124}

Указание

Биномиальные коэффициенты влияния не оказывают, их можно не рассматривать. Ищите такие показали степени, чтобы корни превращались в целые числа.

Решение

Биномиальный коэффициент $C_n^k$ всегда является целым числом, потому что он по определению является количеством сочетаний (комбинаций) из n элементов по k. Не может быть нецелым количество комбинаций!

Поэтому при решении этой задачи биномиальные коэффициенты можно вообще отбросить и не рассматривать. Они все равно никак не могут из корней сделать целые числа.

Пункт а)

Выпишем все члены разложения без биномиальных коэффициентов и посмотрим, какие из них окажутся целыми:

\sqrt{2}^5 + \sqrt{2}^4\sqrt[3]{3}^1 + \sqrt{2}^3\sqrt[3]{3}^2 + \underbrace{{\sqrt{2}^2\sqrt[3]{3}^3}}_{\small = 2\cdot 3 = 6} + \sqrt{2}\sqrt[3]{3}^4 + \sqrt[3]{3}^5

Итак, только один член разложения окажется целым числом.

Пункт б)

Имеем два множителя, причем каждый это корень второй степени, который превращается в целое число, когда его возводят в четную степень: 0, 2, 4 и так далее.

Когда один множитель в четной степени (например, во 2), его сосед тоже будет четной степени (8-2=6). Поэтому в этом разложении в каждом четном члене оба корня будут превращаться в целые числа, а всего таких четных членов 5.

Пункт в)

Множитель $\sqrt[4]{5}$ будет превращаться в целое число каждый раз, когда его показатель степени будет делиться нацело на 4, то есть будет иметь вид $4t$ . Его сосед $\sqrt{3}$ будет иметь показатель $124-4t$ , что тоже является четным числом, а значит и он тоже станет целым числом.

Другими словами, целыми числами будут все члены разложения следующего вида:

\sqrt{3}^{124-4t} \sqrt[4]{5}^{4t}

Подходят все t от 0 включительно до 124 : 4 = 31, то есть всего 32 члена разложения.

Ответ

a) \ 1 \qquad б) \ 5 \qquad в) \ 32

В поисках коэффициента

Найдите коэффициент многочлена:

а) $(x + y)^{16}$ при $x^3y^{13}$ ;
б) $(x + y + z)^{6}$ при $x^2y^2z^2$ ;
в) $(1+x^2-x^3)^9$ при $x^7$ ;
г) $(1 + x^2 + x^3)^{7}$ при $x^{11}$ .

Указание

Воспользуйтесь формулой общего члена разложения бинома Ньютона.
В пунктах с трехчленами выделите любые два одночлена скобками и рассматривайте полученные одночлены со скобками как биномы.

Решение

Пункт а)

Воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона:

C_{16}^kx^{16-k}y^k

y в интересующем нас члене находится в 13 степени, значит нам нужен 13-й член:

C_{16}^{13} x^3y^{13}

Коэффициент равен $C_{16}^{13}$ или 560.

Пункт б)

Выберем любые два одночлена, например y и z, и поместим их в скобки. Тогда трехчлен превращается в бином, который можно разложить по формуле бинома Ньютона, а значит можно использовать формулу общего члена разложения:

C_6^k x^{6-k}(y+z)^k

x должен быть во второй степени, значит $6-k = 2$ , откуда $k=4$ :

C_6^4 x^2(y+z)^4

Теперь те же самые действия проводим с 4-ой степенью бинома $(y+z)^4$ . Выписываем его формулу общего члена:

C_6^4 x^2 C_4^i y^{4-i}z^i

z должна быть во второй степени, поэтому $i =2$ :

C_6^4 C_4^2 x^2y^2z^2

Коэффициент равен $C_6^4 C_4^2$ или 90

Пункт в)

Здесь скобками окружим члены 1 и $x^2$ и выпишем формулу общего члена разложения:

C_{9}^k (1+x^2)^{9-k}(-x^3)^k

x должен быть в 11 степени, но прямо сейчас такую степень получить не получится. Поэтому выписываем все k, которые дают степени меньше 7:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} k = 0 & C_9^0 (1+x^2)^9 x^0 \\ k = 1 & -C_9^1 (1+x^2)^8 x^3 \\ k = 2 & C_9^2 (1+x^2)^7 x^6 \end{array}

Впишем вместо скобок формулу общего ее общего члена (единицу опускаем):

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} k = 0 & C_9^0 С_9^i x^{2i} x^0 \\ k = 1 & -C_9^1 C_8^i x^{2i} x^3 \\ k = 2 & C_9^2 C_7^i x^{2i} x^6 \end{array}

Варианты $k=0$ и $k=2$ отбрасываем, потому что $2i$ даст четное число и в сумме с уже имеющимися четными показателями 0 и 6 число 7 получить никак не выйдет.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} k = 1 & -C_9^1 C_8^i x^{2i} x^3 \end{array}

Для получения 7 нужно взять $i=2$ :

-C_9^1 C_8^2 x^{11}

Коэффициент равен -252.

Пункт г)

Здесь скобками окружим члены 1 и $x^2$ и выпишем формулу общего члена разложения:

C_{7}^k (1+x^2)^{7-k}(x^3)^k

x должен быть в 11 степени, но прямо сейчас такую степень получить не получится. Поэтому выписываем все k, которые дают степени меньше 11:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} k = 0 & C_7^0 (1+x^2)^7 x^0 \\ k = 1 & C_7^1 (1+x^2)^6 x^3 \\ k = 2 & C_7^2 (1+x^2)^5 x^6 \\ k = 3 & C_7^3 (1+x^2)^4 x^9 \end{array}

Впишем вместо скобок формулу общего ее общего члена (единицу опускаем):

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} k = 0 & C_7^0 C_7^i x^{2i} x^0 \\ k = 1 & C_7^1 C_6^i x^{2i} x^3 \\ k = 2 & C_7^2 C_5^i x^{2i} x^6 \\ k = 3 & C_7^3 C_4^i x^{2i} x^9 \end{array}

Варианты $k=0$ и $k=2$ отбрасываем, потому что $2i$ даст четное число и в сумме с уже имеющимися четными показателями 0 и 6 число 11 получить никак не выйдет.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} k = 1 & C_7^1 C_6^i x^{2i} x^3 \\ k = 3 & C_7^3 C_4^i x^{2i} x^9 \end{array}

Для получения 11 в первой строчке надо взять $i = 4$ , а во второй $i = 1$ . Получаем два подобных слагаемых:

C_7^1 C_6^4 x^{11} + C_7^3C_4^1x^{11} = (C_7^1 C_6^4 + C_7^3C_4^1)x^{11}

Вычислив сумму в скобках находим коэффициент 245.

Ответ

a) \ 560 \quad б) \ 90 \quad в) \ -252 \quad г) \ 245

Наибольший коэффициент

Найдите наибольший коэффициент многочлена после разложения:

а) \ \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x \right)^4 \qquad б) \ (3 + 2x)^{2024} \qquad в) \ (\sqrt{5} - \sqrt{2}x)^{20}

Указание

С помощью формулы общего вида члена разложения получите формулу коэффициента.

Поделите друг на друга «текущий» и «следующий» коэффициенты, чтобы найти максимальный.

Решение

Выпишем формулу общего члена разложения.

T_k = C_n^k a^{n-k}b^k

Пункт а)

Подставляем данные в общий вид члена и преобразуем его:

C_4^k \left(\frac{1}{4}\right)^{4-k}\left(\frac{3}{4}x\right)^k = C_4^k \frac{3^k}{4^{4-k}4^k}x^k = \boxed{C_4^k \frac{3^k}{4^4}}x^k

Теперь нам нужно разобраться, при каком k коэффициент будет самым большим:

C_4^k \frac{3^k}{4^4}

$4^4$ это константа, ее можно не рассматривать:

С_4^k3^k

Есть два варианта:

При $k=4$ будет максимальной показатель степени тройки $3^4$ . Но тогда мы получим минимальный биномиальный коэффициент $C_4^4 = 1$ .
Можно попробовать взять $k=3$ или $k=2$ , потому что при этих значениях будет увеличиваться биномиальный коэффициент.

Более маленькие значения k можно не рассматривать, так как биномиальные коэффициенты будут такими же, а показатель степени тройки еще меньше.

C_4^2 3^2 = 6\cdot 9 = 54 \\ C_4^3 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 \\ C_4^4 3^4 = 1 \cdot 81 = 81

Итак, наибольший коэффициент будет при $k=3$ :

C_4^3 \frac{3^3}{4^4} = \frac{108}{256} = \frac{27}{64}

Пункт б)

Подставляем данные в общий вид члена и преобразуем его:

C_{2024}^k 3^{2024 - k}(2x)^k = \boxed{C_{2024}^k 3^{2024} \frac{2^k}{3^k}}x^k

Теперь нам нужно разобраться, при каком k коэффициент будет самым большим:

C_{2024}^k 3^{2024} \frac{2^k}{3^k}

$3^{2024}$ это константа, ее можно рассматривать:

C_{2024}^k \frac{2^k}{3^k}

Найдем отношение «следующего» коэффициента к «предыдущему». Если оно не меньше, единицы, то и следующий коэффициент не меньше предыдущего:

\frac{C_{2024}^{k+1}\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}}}{C_{2024}^k\dfrac{2^k}{3^k}} \geq 1 \\ \frac{2024!}{(2024 - k - 1)! \ (k+1)!} \frac{(2024 - k)! \ k!}{2024!} \cdot \frac{2^{k+1} 3^k}{2^k 3^{k+1}} \geq 1 \\ \frac{2024 - k}{k}\cdot\frac{2}{3} \geq 1 \\ 4048 - 2k \geq 3k \\ 4048 \geq 5k \\ k \leq \frac{4048}{5} = 809.6

Итак, при $k=809$ коэффициент будет наибольшим:

C_{2024}^{809} 3^{2024} \left(\frac{2}{3}\right)^{809}

Пункт в)

Подставляем данные в общий вид члена и преобразуем его:

C_{20}^k \sqrt{5}^{20-k}(-\sqrt{2}x)^k = C_{20}^k (-1)^k \sqrt{5}^{20-k}\sqrt{2}^kx^k = \\ = C_{20}^k (-1)^k \sqrt{\frac{5^{20}}{5^k}2^k}x^k = \boxed{C_{20}^k (-1)^k 5^{10}\left(\frac{2}{5}\right)^{\small \frac{k}{2}}} x^k

$x^k$ на коэффициент не влияет, $5^{10}$ это константа, ее тоже можно не рассматривать. В итоге нам нужно максимизировать следующее выражение:

C_{20}^k (-1)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{\small \frac{k}{2}}

При нечетных k коэффициент будет отрицательным, поэтому их сразу не рассматриваем, а заодно убираем $(-1)^k$ :

C_{20}^k \left(\frac{2}{5}\right)^{\small \frac{k}{2}}, \quad k \ - \ четное

Найдем отношение «следующего» коэффициента к «предыдущему». Если оно не меньше, единицы, то и следующий коэффициент не меньше предыдущего:

\frac{C_{20}^{k+1}\left(\frac{2}{5}\right)^{\small\frac{k+1}{2}}}{C_{20}^{k}\left(\frac{2}{5}\right)^{\small\frac{k}{2}}} \geq 1 \\ \frac{20!}{(20 - k - 1)! \ (k + 1)!} \frac{(20 - k)! \ k!}{20!} \left(\frac{2}{5}\right)^{\small \frac{k+1-k}{2}} \geq 1 \\ \frac{20-k}{k}\sqrt{\frac{2}{5}} \geq 1 \\ 20 - k \geq \sqrt{2.5}k \\ 20 \geq k(1 + \sqrt{2.5}) \\ k \leq \frac{20}{1 + \sqrt{2.5}} \approx 7.7\ldots

Максимальным по модулю коэффициент будет при $k = 7$ , но так как 7 число нечетное, то знак у коэффициента будет отрицательным. Поэтому максимальным коэффициент будет при $k=6$ :

C_{20}^6 \left(\frac{2}{5}\right)^35^{10}

Ответ

а) \ \frac{27}{64} \qquad б) \ C_{2024}^{809} 3^{2024} \left(\frac{2}{3}\right)^{809} \quad в) \ C_{20}^6 \left(\frac{2}{5}\right)^35^{10}

Сумма коэффициентов

Красивая

Найдите сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок:

a) \ (4x-5)^{21} \quad б) \ \left( 3\sqrt{2}x - \frac{5y}{\sqrt{2}} \right)^8 \quad в) \ (4x-3y)^{2024}(z-2x)^{2025}

Указание

Ни бином Ньютона, ни биномиальные коэффициенты, ни комбинаторика в решении этой задачи не требуются.

Решение

После раскрытия скобок (например, по формуле бинома Ньютона) мы получим множество слагаемых, каждое из которых будет состоять из коэффициента и x в какой-то степени. Если мы хотим найти сумму только коэффициентов, то от этого x надо избавиться. Сделать это можно, приравняв его к 1!

Итак, сумма коэффициентов любого многочлена равна его значению, когда все переменные, от которых он зависит (например, x), равны 1.

Пункт а)

(4\cdot 1 - 5)^{21} = (-1)^21 = -1

Пункт б)

\left(3\sqrt{2}\cdot 1 - \frac{5\cdot 1}{\sqrt{2}}\right)^8 = \left(\frac{6 - 5}{\sqrt{2}}\right)^8 = \frac{1}{\sqrt{2}^8} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}

Пункт в)

(4\cdot 1 - 3\cdot 1)^{2024}(1-2\cdot 1)^{2025} = 1^{2024}(-1)^{2025} = -1

Ответ

а) \ -1 \quad б) \ \frac{1}{16} \quad в) \ -1

Биномиальная сумма

Найдите сумму всех биномиальных коэффициентов:

C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n

Указание

Эта сумма похожа на использование формулы бинома Ньютона при $a=b=1$ .

Решение

Данная сумма похожа на формулу бинома Ньютона, но как-бы «без» a и b, только с биномиальными коэффициентами. Допишем к каждому слагаемому этой суммы единицы в таких степенях, чтобы мы смогли использовать формулу бинома Ньютона при $a=b=1$ и «запаковать» эту сумму:

C_n^0 1^n 1^0 + C_n^1 1^{n-1}1^1 + \ldots + C_n^n 1^01^n = (1+1)^n = 2^n

Так как приписанные единицы ни на что не влияют, то и сумма из условия тоже равна $2^n$ :

C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n

Ответ

$2^n$

Примечание

Полученный результат находит интересное применение в теории множеств.

Сочетание является множеством. Биномиальный коэффициент это количество сочетаний, то есть количество k-элементных подмножеств некоторого n-элементного множества.

В этой задаче мы просуммировали все возможные количества сочетаний, а значит нашли число вообще всех возможных подмножеств n-элементного множества.

Теперь нам не нужно вручную считать подмножества! Например, мы можем сразу сказать, что, у множества $\set{a,b,c}$ всего $2^3 = 8$ подмножеств:

\underbrace{\set{\varnothing}}_{\small C_3^0} \quad \underbrace{\set{a} \ \set{b} \ \set{c}}_{\small C_3^1} \quad \underbrace{\set{a,b} \ \set{a,c} \ \set{b,c}}_{\small C_3^2} \quad \underbrace{\set{abc}}_{\small C_3^3}

Итак, число всех подмножеств множества, содержащего n элементов, равно $2^n$ .

Да будет свет!

Для освещения зала может быть включена каждая из имеющихся 10 ламп. Сколько существует различных способов освещения зала?

Указание

Используйте результат задачи «Биномиальная сумма».

Решение

Пусть для освещения зала мы решили включить k ламп. Выбрать k ламп для включения из всех 10 ламп можно $C_{10}^k$ способами.

Но само количество включенных ламп k может быть любым в прожемутке от 1 до 10. Поэтому нам нужно просуммировать количество способов включить 1 лампу, 2 лампы и так далее:

C_{10}^1 + C_{10}^2 + \ldots + C_{10}^{10}

Если мы добавим к этой сумме $C_{10}^0$ (все лампы выключены), то сможем воспользоваться полученным в задаче «Биномиальная сумма» результатом:

C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + \ldots + C_{10}^{10} = 2^{10}

Теперь вычтем из обех частей добавленное лишнее слагаемое:

C_{10}^1 + C_{10}^2 + \ldots + C_{10}^{10} = 2^{10} - C_{10}^0 = 2^{10} - 1

Итак, всего $2^{10} - 1$ способов осветить зал.

Ответ

$2^{10} - 1$

Игра с коэффициентами

Докажите равенство:

k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}

Указание

Замените биномиальные коэффициенты на их формулы с факториалами. Воспользуйтесь рекуррентной формулой факториала.

Решение

k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1} \\ k \frac{n!}{(n-k)! \ k!} = n \frac{(n-1)!}{(n-1-k+1)! \ (k-1)!} \\ \frac{n!}{(n-k)! \ k!} = \frac{\overbrace{(n-1)! \ n}^{n!}}{(n-k)! \ \underbrace{(k-1)! \ k}_{k!}} \\ \frac{n!}{(n-k)! \ k!} = \frac{n!}{(n-k)! \ k!}

$\blacksquare$

Больше биномиальных сумм!

Доказать равенства:

а) \ C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots + (-1)^{n} C_n^n = 0 \\ б) \ C_n^1 + 2C_n^2 + 3С_n^3 + \ldots + nC_n^n = n2^{n-1} \\ в) \ C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - \ldots + (-1)^{n-1}nC_n^n = 0

Указание

Воспользуйтесь результатами задач «Биномиальная сумма» и «Игра с коэффициентами».

Решение

Пункт а)

C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots + (-1)^{n} C_n^n = 0

Сумма слева похожа на формулу бинома Ньютона, но как-бы «без» a и b, только с биномиальными коэффициентами. Перепишем эту сумму так, чтобы получилось ее «запаковать» при помощи бинома Ньютона при $a=1$ и $b=-1$ :

C_n^0 1^{n} (-1)^0 + C_n^1 1^{n-1} (-1)^1 + \ldots + C_n^n 1^0(-1)^n = \\ = (1-1)^n = 0^n = 0

$\blacksquare$

Пункт б)

C_n^1 + 2C_n^2 + 3С_n^3 + \ldots + nC_n^n = n2^{n-1}

Будем работать с левой частью равенства.
Для каждого слагаемого применяем доказанное в пункте б) равенство:

nC_{n-1}^0 + nC_{n-1}^1 + nC_{n-1}^2 + \ldots + nC_{n-1}^{n-1}

Выносим n за скобки:

n\left( C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + C_{n-1}^2 + \ldots + C_{n-1}^{n-1} \right)

Теперь для суммы в скобках воспользуемся результатом задачи «Биномиальная сумма»:

n 2^{n-1}

Левая часть теперь равна правой.

$\blacksquare$

Пункт в)

C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - \ldots + (-1)^{n-1}nC_n^n = 0

Работаем с левой частью равенства и начинаем так же, как и в пункте в):

n \left( C_{n-1}^0 - C_{n-1}^1 + C_{n-1}^2 - \ldots + (-1)^{n-1} C_{n-1}^{n-1} \right)

Сумма в скобках равна 0 согласно пункту а):

n (1 - 1)^{n-1} = n \cdot 0^n = 0

Левая часть теперь равна правой.

$\blacksquare$

Квадратные коэффициенты

Докажите следующее равенство про сумму квадартов биномиальных коэффициентов:

(C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + (C_n^3)^2 + \ldots + (C_n^n)^2 = C_{2n}^n

Указание

Вспользуйтесь следующим равенством:

(1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n}

Найдите коэффициент при $x^n$ слева и справа.

Решение

Доказательство через бином Ньютона

В правой части равенства стоит биномиальный коэфициент из $2n$ . Как его можно получить с помощью формулы бинома Ньютона? Возвести какой-нибудь двучлен в степень $2n$ !

(1+x)^{2n} = C_{2n}^0 x^0 + C_{2n}^1 x^1 + \ldots + \boxed{C_{2n}^n x^n} + \ldots

С другой стороны, запись $(1+x)^{2n}$ можно расписать иначе:

(1+x)^{2n} = \left((1+x)^n\right)^2 = (1+x)^n (1+x)^n = \\ = (C_n^0x^0 + C_n^1x^1 + \ldots)(C_n^0x^0 + C_n^1x^1 + \ldots)