Сумма степеней чисел

Пункт а)

Требуется найти сумму квадратов первых 15 натуральных чисел:

Используем выведенную формулу сумм квадратов:

Пункт б)

Требуется найти сумму кубов натуральных чисел с 10 по 20:

Для вычисления этой суммы с помощью выведенной формулы суммы кубов находим сначала суммы кубов с 1 по 20, а потом из нее «убираем лишнее», вычтя сумму кубов с 1 по 10, прямо как в примере в статье:

Треугольными числами называют такие числа, которые можно представить как сумму первых n натуральных чисел. Воспользуйтесь прямой формулой суммы первых n натуральных чисел.

Число 666

Треугольные числа это такие числа, которые можно представить как сумму первых n натуральных чисел. А сумму n натуральных чисел мы можем вычислить по прямой формуле.

Значит, если число 666 является треугольным, то должно существовать такое натуральное n, чтобы выполнялось равенство:

Получили квадратное уравнение. Находим дискриминант:

Находим подходящие n:

Итак, число 666 является треугольным и получается при складывании друг с другом первых 36 натуральных чисел:

Число 616

С числом 616 можно проделать то же самое (построить квадратное уравнение и попытаться его решить), либо воспользоваться уже полученным результатом.

Мы знаем, что 666 это сумма 36 чисел. Сумма 35 чисел равна 666 - 36 = 630. Сумма 34 чисел равна 630 - 35 = 595.

Число 616 лежит как раз между 595 и 630, то есть как раз между суммами 34 и 35 первых натуральных чисел. Значит, оно не является треугольным.

Число 666 треугольное и равно сумме первых 36 натуральных чисел.
Число 616 не является треугольным.

Сколько рукопожатий сделает первый вошедший человек? Второй? Третий? Четверый? Не считайте ответ сразу, представьте его в виде суммы.

Первый вошедший никому руку не жмет — 0 рукопожатий. Второй жмет руку первому — 0 + 1 рукопожатий. Третий жмет руку двум ранее вошедшим — 0 + 1 + 2. И так далее продолжается, пока последний, n-ый вошедший акционер не пожмет $n-1$ рук вошедших до этого людей:

Используем прямую формулу для суммы первых n натуральных чисел:

Решаем квадратное уравнение и находим два возможных значения для n:

Отрицательного количества людей на совещании быть не может, поэтому подходит только корень $n_2$. Всего 16 человек было на совещании.

16

Максимальное количество кусков будет, когда никакие два разреза не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.

Представьте, что $n-1$ разрезов уже сделали и получили $f(n-1)$ кусков. Используя эти данные подумайте, сколько новых кусков появится при проведении n-го разреза.

Получите рекуррентную формулу, позволяющую посчитать $f(n)$ через $f(n-1)$.

Как резать?

Максимальное количество кусков получится, если каждый новый разрез перескает все остальные. Действительно, пересечение уже имеющегося разреза приводит к тому, что текущий разрез затрагивает дополнительный кусок пиццы. Поэтому парралельные разрезы недопустимы!

По той же причине нельзя, чтобы три и более разрезов пересекались в одной точке. Ведь выгоднее пересечь два разреза в двух разных местах, затронув больше кусков.

Итак, резать надо так, чтобы не было параллельных разрезов, и чтобы каждые два разреза пересекались в уникальной точке пересечения.

Количество кусков

Введем обозначение $f(k)$, которое обозначает максимальное количество кусков пиццы, образовавшихся в результате k разрезов.

Представим, что $n-1$ разрезов уже было сделано, а значит имеем $f(n-1)$ кусков. Разрез под номером n пресечет все предыдущие $n-1$ разрезов и будет поделен на n сегментов. Каждый сегмент проходит через свой кусок, сегментов n, значит n кусков из $f(n-1)$ будет затронуто разрезом.

Всего n-й разрез превратил n затронутых кусков в $2n$ кусков поменьше. n кусков из этих $2n$ мы «отдаем» обратно в счет $f(n-1)$, чтобы ничего не поменялось и еще n «новых» кусков остается. Получили рекуррентную формулу количества кусков:

Заменим $f(n-1)$ на формулу через $f(n-2)$, а потом $f(n-2)$ на формулу через $f(n-3)$ и так далее:

Продолжаем этот процесс до упора, пока уменьшать число в скобках будет уже невозможно. В итоге получится следующая сумма:

Заменяем сумму первых n натуральных чисел на выведенную прямую формулу. Если пиццу еще не резали, то кусок в ней ровно 1 — она и есть один большой кусок. Поэтому $f(0) = 1$:

Иногда эту формулу записывают иначе:

«В народе» последовательность чисел, получаемых из выведенной в этой задаче формулы, называют «последовательностью ленивого официанта» (A000124). Встречается она и в других разделах математики.

Самое удивительное, что эта формула будет работать для любой «выпуклой» фигуры: любого треугольника, любого квадрата, трапеции и даже для геометрической бесконечной плоскости! Так что, например, 7-ю разрезами можно получить 29 «кусков» что пиццы, что окружности, что квадрата и так далее!

Еще одна интересная взаимосвязь: n-й член «последовательности ленивого официанта» равен n-му «треугольному числу», к которому добавили единицу:

Воспользутесь тем, что четное число по определнию делится на 2. Значит, любое четное число можно представить в виде $2k$, где k — номер четного числа. Проведите суммирование от 1 до n по этой формуле.

По определению число называется четным, если его можно разделить на 2. Значит, любое четное число можно представить в виде $2k$, где k — любое натуральное число. k можно рассматривать и как номер четного числа:

Сложим все эти равенства для всех k от 1 до n (нам ведь нужна сумма n четных чисел):

В скобках образовалась сумма первых n натуральных чисел. Ее прямая формула нам известна. Получется, что сумма первых n четных чисел равна удвовенной сумме первых n натуральных чисел!

Адаптируйте решение задачи про сумму четных чисел.

Хитрый способ

Выпишем сумму первых $2n$ натуральных чисел:

В них ровно пополам четных и нечетных чисел. Значит, если мы вычтем из этой суммы сумму n четных чисел, то останется только сумма n нечетных чисел!

Пользуемся формулой суммы $2n$ чисел и уже найденной ранее формулой суммы n четных чисел:

Итак, сумма первых n нечетных чисел в точности равна квадрату этого n:

Прямое суммирование

Можно пойти напрямую, ипользуя подход из задачи про сумму четных чисел.

Нечетное число по определению это число, которое не делится на два, то есть может быть представлено в виде $2k-1$. k в данном случае является номером нечетного числа:

Складываем все эти неравенства для всех k от 1 до n:

Двойку можно вынести за скобки. Всего вычитается n единиц:

Итак, сумма первых n нечетных чисел в точности равна квадрату этого n:

У этой задачи есть красивое геометрическое доказательство. Из нечетных чисел можно делать угловые рамки, которые при совмещении образуют квадрат:

Возвратная сумма на самом деле состоит из отдельных двух сумм нечетных чисел.

«Возвратная» сумма состоит из двух сумм: суммы n нечетных чисел и суммы $n-1$ нечетных чисел. А прямые формулы для суммы нечетных чисел мы уже знаем

Адаптируйте решения задач про сумму четных и сумму нечетных чисел.

Четные квадраты

Общая формула квадрата четного числа:

Суммирование этого равенства по k от 1 до n даст следующую формулу:

Для суммы квадратов в скобках используем уже известную формулу:

Четные кубы

Общая формула куба четного числа:

При суммировании получится следующее равенство:

Используем формулу суммы кубов для скобки справа:

Нечетные квадраты

Общая формула квадрата нечетного числа (используем формулу квадрата разности):

При суммировании этого равенства для всех k от 1 до n получится следующее равенство:

Для скобок справа используем формулы сумм квадратов и обычных чисел в виде многочленов:

Раскрываем скобки и приводим подобные:

Нечетные кубы

Общая формула квадрата нечетного числа (используем формулу куба разности):

При суммировании этого равенства для всех k от 1 до n получится следующее равенство:

Для скобок справа используем формулы сумм квадратов и обычных чисел в виде многочленов:

Раскрываем скобки и приводим подобные:

Фигура построена из трех пирамид, то есть из трех сумм квадратов. В высоту параллелепипед равен $n+\frac{1}{2}$.

Используются три пирамиды, значит три суммы квадратов. Из этих пирамидок строится параллелепипед со сторонами n, $n+1$ и $n + \frac{1}{2}$. Вид итоговой формулы:

Раскройте скобки в выражении под знаком суммы. Потом переставьте слагаемые в сумме так, чтобы получилось использовать выведенные в статье прямые формулы сумм степеней.

Раскроем скобки в выражении под знаком суммы:

При суммировании правой части при n от 1 до 10 получится следующая сумма:

Заменяем суммы в скобах на известные формулы сумм степеней чисел:

3465

Нужно заметить, что каждый следующий член арифметической прогрессии можно представить через первый.

Первый член арифметической прогрессии строго задан и равен $a_1$. Второй член равен первому, плюс d. Третий равен второму плюс d или, что то же самое — первому плюс дважды d. И так далее:

И уже в таком виде проводить суммирование.

Первый член арифметической прогрессии строго задан и равен $a_1$. Второй член равен первому, плюс d. Третий равен второму плюс d или, что то же самое — первому плюс дважды d. И так далее:

Нам нужно найти сумму всех этих членов:

Работаем с повторяющимися $a_1$. Всего их n штук, так как мы складываем n членов прогрессии:

Теперь выносим за скобки d:

В скобках сумма первых $n-1$ чисел. Минус один потому что при самом первом члене $a_1$ в сумме отсутствует разность d, то есть всего имеем на единицу меньше разностей d, чем первых членов $a_1$.

Заменяем сумму чисел прямой формулой:

Выносим n за скобки и приводим к общему знаменателю:

Теперь мы можем посчитать, чему равна сумма первых 100 членов этой прогрессии. Подставляем $a_1 = 5$, $d=3$ и $n=100$:

Общая формула суммы первых n членов любой арифметической прогрессии:

Сумма первых 100 членов прогрессии из условия равна $15 \ 350$.

Используйте рекуррентную формулу и выведенные ранее прямые формулы сумм меньших степеней.

Пользуемся рекуррентной формулой:

Считаем биномиальные коэффициенты:

Подставляем уже известные формулы для сумм предыдущих степеней (в виде многочленов), раскрываем скобки и приводим подобные:

Ищем сумму первых 10 чисел в пятой степени:

Попробуйте посчитать узлы сетки, которые будут является левой верхней вершиной квадратов. Что происходит с их количеством, когда сторона квадрата увеличивается?

Начнем с квадратов $1 \times 1$. Их левый верхний край можно расместить в узлах данной нам сетки. Для узлов есть только три подходящие горизонтальные позиции и три подходящие вертикальные позиции. Всего $3\cdot 3 = 3^2 = 9$ разных вариантов выбрать координаты узла. Значит, всего $3^2$ квадратов $1\times 1$ можно разместить в данной сетке:

Увеличиваем сторону квадрата на 1, до $2\times 2$. Часть ранее доступных узлов блокируется, чтобы мы не вышли за пределы сетки. Их остается только $2^2 = 4$. Увеличение квадрата до $3\times 3$ оставляет свбодным только один узел:

Уловили закономерность? При увеличении на 1 размера квадрата, размер квадрата из доступных узлов уменьшается на 1!

Считаем количество квадратов, или, что то же самое, количество доступных узлов:

Большая сетка

Если сетка размером $10\times 10$, то количество квадратов будет равно сумме первых 10 квадратов натуральных чисел. Используем для этого выведенную формулу:

В общем случае, количество квадратов в квадратной сетке $n\times n$ равно:

14 квадратов в сетке $3\times 3$.
385 в сетке $10\times 10$.
Количество квадратов в сетке $n\times n$:

Выберите узел поля и посчитайте, сколько можно построить прямоугольников, для которых этот узел будет являться левой верхней вершиной.

Придумайте удобный алгортим перебора узлов.

Начнем с левого верхнего угла поля. Всего в верхней строчке можно построить n прямоугольников высотой в 1 клетку, n прямоугольников высотой в 2 клетки, ..., n прямоугольников высотой в n клеток. Получается, из левого верхнего узла поля можно построить $n\cdot n$ прямоугольников:

Смещаемся на узел вниз и строим прямоугольники уже из левого второго сверху узла. По горизонтали каждый раз будет получатся все так же n прямоугольников, но вот их высота уже будет ограничена — максимум $n-1$. Поэтому всего $n\cdot (n-1)$ прямоугольников можно построить из левого второго сверху узла:

Продолжая смещать узел строго по одной клетке вниз, мы каждый раз будем получать все меньшее количество прямоугольников: $n\cdot(n-2)$, $n\cdot (n-3)$ и так далее, потому что будет уменьшаться максимально допустимая их высота.

Найдем общее количество прямоугольников из узлов на «первой вертикали» поля:

Выносим за скобку n:

В скобках получили сумму первых n натуральных чисел. Пока что прямую формулу вставлять не будем. Вместо нее используем введенное обозначение:

Теперь поднимаемся обратно наверх и в этот раз смещаемся направо на одну клетку. Так мы попадаем во вторую «вертикаль» поля. И повторяем точно такой же процесс: строим все прямоугольники из второго слева верхнего узла, потом снижаемся на клетку вниз, снова строим, потом еще ниже и так до самого низа вертикали:

В этот раз все прямоугольники будут ограничены в длину — максимум $(n-1)$. Всего прямоугольников на второй вертикали поля:

Выносим за скобки $(n-1)$ и сумму первых n чисел заменяем обозначением:

Повторям этот процесс для оставшихся вертикалей поля. Весь алгоритм заключается в движении по узлам вертикали поля до упора вниз, потом скачет на следующую вертикаль и снова до упора вниз:

Находим общее количество всех возможных прямоугольников, построенных по нашему алгоритму:

Выносим за скобки одинаковые суммы:

Итак, количество всех возможных прямоугольников, которые можно построить в квадратной сетке n на n равно квадрату суммы первых n натуральных чисел, или же сумме кубов n натуральных чисел:

Обратите внимание, что каждая «группа» прямоугольников уникальная — она начинается со своего узла поля. Именно поэтому среди всех построенных таким образом треугольников нет дубликатов!

Количество всех возможных прямоугольников, которые можно построить в квадратной сетке n на n равно квадрату суммы первых n натуральных чисел, или же сумме кубов n натуральных чисел:

Эту задачу, и даже более общий ее вариант, можно довольно просто и красиво решить комбинаторным способом. Крайне рекомендуем к ознакомиться! Комбинаторика часто приходит на вырочку не только в математике, но и в жизненных задачах!

Адаптируйте алгоритм решения задачи про прямоугольники в квадрате.

Используем точно такой же алгоритм обхода узлов по вертикалям слева направо, как и в задаче про прямоугольники в квадрате. В результате мы придем к произведению суммы первых n чисел на первые m чисел:

Заменяем их на прямые формулы:

Проводите суммирование по разложению бинома $(n+1)^{k+1}$.

Рассмотрим разложение следующей степени бинома:

Обратите внимание, что в разложении встречаются все степени числа n от k-ой, до нулевой. Выпишем все возможные разложения чисел от 0 до n:

Сложим все эти равенства друг с другом (отдельно левые и отдельно правые части). В правой части выносим за скобки одинаковые биномиальные коэффициенты:

Теперь заменим сумму в левой части равенства и суммы в скобках в правой части на введенное обозначение сумм степеней чисел:

Пользуемся тем, что разность $S_{n+1}^{k+1} - S_n^{k+1}$ равна $(n+1)^{k+1}$:

Изолируем искомую сумму $S_n^k$:

Запаковываем цепочку вычитаний справа с помощью символа суммы: