Почему на ноль делить нельзя?

Раз и навсегда разбираемся с тем, можно ли делить на ноль. И если можно, то какой будет ответ.

В разработке!

Все без исключения люди хотя бы раз слышали, что на 0 делить нельзя. Запрет деления на ноль, как и многие другие базовые правила, подают в виде непоколебимого факта в начальных классах в школе. Чаще всего, после подобных объяснений все равно ничего не понятно.

Так почему делить нельзя? Всемирный заговор, рептилоиды, Земля расколется надвое? На самом деле нет.

Сейчас мы раз и навсегда полностью разберемся, почему же нельзя делить на ноль... И даже выясним, что делить на него все же можно...

Подготовка

Раз уж мы собрались окончательно разобраться с вопросом деления на ноль, сначала необходимо точно разобраться, а что вообще такое «умножение» и «деление».

Что такое умножение?

Все мы умеем складывать числа. Довольно часто мы вынуждены много раз складывать число с самим собой. Например, если мы съедаем по 3 шоколадки каждый день в течении недели, то общее число съеденных шоколадок равно:

\underbrace{3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3}_{\normalsize 7 \ \ раз} = 21

Чтобы короче записывать такие длинные суммы человечество придумало операцию «умножение». Сравните огромную запись выше с такой же записью, но с использованием умножения:

3 \cdot 7 = 21

Теперь мы можем строго сформулировать определение умножения в арифметике:

Умножить число a на число b — взять число a и сложить с самим собой b раз.

a \cdot b = \underbrace{a + a + \ldots + a}_{\normalsize b \ раз}

Что такое деление?

Пускай мы знаем, что всего съели 20 шоколадок, причем ели по 4 плитки в день. Как же нам узнать, сколько дней мы ели шоколадки?

Надо просто взять и начать складывать число 4 с самим собой, пока не получим 20 съеденных шоколадок. Количество сложений и будет количеством дней, которые мы ели шоколад.

\underbrace{4 + 4 + 4 + 4 + 4}_{\normalsize 5 \ \ раз \ \ = \ \ 5 \ \ дней} = 20

То есть мы взяли число 4 и 5 раз сложили его с самим собой (5 дней ели шоколадки) и получили 20. Но для многократного сложения мы уже ввели операцию «умножение»! Получается, в этом примере мы искали, на сколько надо умножить 4, чтобы получить 20:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5 = 20

Заметьте, что в этой задаче мы провели как-бы умножение наоборот: зная результат (20) и один множитель (4) мы искали второй множитель (5). Для такой обратной операции человечество придумало отдельное название — «деление».

Поделить число a на число b — найти число раз, которое надо сложить b с самим собой, чтобы получить a.

a : b = c \ \ такое, что \ \ \underbrace{b + b + b \ldots}_{\normalsize c \ \ раз} = b \cdot c = a

Убедитесь, что вы точно понимаете суть определения деления, ведь именно оно и содержит ответ на вопрос деления на ноль!

Деление на ноль в арифметике

Теперь, когда мы точно понимаем, что же такое деление, перейдем к самой сути — деление на ноль. Делить на ноль можно разные числа, например 5:0 или 10:0. Сначала мы разберем деление ненулевых чисел на 0. Деление 0 на 0 разберем отдельно.

Ненулевое число на 0

Пускай мы нарушили все правила и все же решили поделить, скажем 5 на 0:

5 : 0 = \ \ ?

Пользуемся определением деления: поделить число 5 на 0 — найти сколько раз надо сложить 0 с самим собой, чтобы получить 5. Пробуем найти число сложений:

0 = 0 \cdot 1 = 0 \\ 0 + 0 = 0 \cdot 2 = 0 \\ 0 + 0 + 0 = 0 \cdot 3 = 0 \\ \ldots

Вот и все, приплыли... Сколько раз 0 сам с собой не складывай, ничего кроме 0 получить не выйдет. Значит на вопрос 5:0 просто нет ответа.

Попытаться поделить любое ненулевое число a на 0 можно, но ответа просто нет. Не получится найти такое число раз сложений 0 с самим собой, чтобы в результате получилось что-то отличное от 0.

Деление 0 на 0

Теперь рассмотрим деление 0 на 0. По определению делению это означает, что нам нужно найти, сколько раз сложить 0 с самим собой, чтобы получить 0. Пробуем:

0 = 0 \cdot 1 = 0 \\ 0 + 0 = 0 \cdot 2 = 0 \\ 0 + 0 + 0 = 0 \cdot 3 = 0 \\ \ldots

Любое число сложений 0 с самим собой дает 0. Выходит, что у нас бесконечно много правильных ответов!

0 : 0 = 1 \\ 0 : 0 = 2 \\ 0 : 0 = 3 \\ \ldots

Деление 0 на 0 имеет бесконечно много ответов.

Итог

Как видите, ничего страшного и криминального в делении на 0 нет.

Любые числа, кроме 0, просто не получится поделить на ноль — нет ответа. И только сам 0 можно поделить на 0, но в результате получим бесконечно много ответов.

Из-за такой неопределенности (то ответа нет совсем, то их бесконечно много), на ноль в математике обычно не делят.