Сумма степеней чисел

Суммы чисел, суммы квадратов, суммы кубов... Разберемся, как можно быстро считать такие суммы. Вы удивитесь, насколько часто они встречаются в самых необычных ситуациях!

Продвинутый уровень

Зависимости

    graph TD
        sums[[Суммы степеней]]

        sums --> s1["Сумма чисел"]:::featured -->|Прямоугольник| s1_sum[" $\displaystyle 1 + 2 + \ldots + n$ "] --> s1_formula[" $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$ "]
        sums --> s2["Сумма квадратов"]:::featured -->|"Кубоид из  $6$  пирамидок"| s2_sum[" $\displaystyle 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2$ "] --> s2_formula[" $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ "]
        sums --> s3["Сумма кубов"]:::featured -->|"Квадрат суммы чисел"| s3_sum[" $\displaystyle 1^3 + 2^3 + \ldots +n^3$ "] --> s3_formula_1[" $\displaystyle (1 + 2 + \ldots + n)^2$ "] --> s3_formula_2[" $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ "]

Суммы степеней

В математике регулярно приходится иметь дело с самыми разными суммами натуральных чисел в разных степенях:

1 + 2 + 3 + \ldots + n \\ 3^2 + 4^2 + 5^2 + \ldots + 50^2 \\ 8^3 + 10^3 + 12^3 + \ldots + 20^3

Эти суммы используются в самых разных разделах математики, особенно в геометрии. Записывать их довольно долго. Чтобы не тратить время и не путаться, ввели обозначение $S_n^k$ , обозначающее сумму k-ых степеней первых n натуральных чисел:

Сумма степеней чисел

S^k_n = 1^k + 2^k + 3^k + \ldots + n^k

Формулы сумм

Сумма чисел

Сумма первых n натуральных чисел:

1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}

В виде многочлена:

S_n^1 = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n

Числа, получающиеся в результате суммы, называют «треугольными». Формулу легко запомнить: формируем прямоугольник из двух «треугольных» чисел, находим его площадь и делим на 2.

Доказательство

Смотрите разные способы вывода в статье.

Сумма квадратов

Сумма квадратов первых n натуральных чисел:

1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

В виде многочлена:

S_n^2 = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n

Числа, получающиеся в результате суммы, называют «квадратными пирамидальными». Формулу легко запомнить: формируем параллелепипед из шести «пирамидок», находим его объем и делим на 6.

Доказательство

Смотрите разные способы вывода в статье.

Сумма кубов

Сумма кубов первх n натуральных чисел:

1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

В виде многочлена:

S_n^3 = \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^2

Формулу легко запомнить: достаточно возвести в квадрат формулу суммы первых n чисел.

Доказательство

Смотрите вывод в статье.

Рекуррентная формула

Прямые формулы для рассчета первых n чисел в любой степени существуют, но чем выше степень, тем более трудоемким становится процесс вывода, потому что для вывода формулы $S_n^k$ нужно задействовать все формулы для предыдущих степеней: $S_n^{k-1}$ , $S_n^{k-2}$ и так далее...

Рекуррентая формула суммы степеней

S_n^k = \frac{1}{k+1}\left( n^{k+1} + \sum\limits_{t=2}^{k+1}(-1)^t C_{k+1}^t S_n^{k+1-t} \right)

Доказательство

Смотрите вывод в статье.