Факториал

Простой, быстрый и стильный способ записывать и работать с длинными цепочками умножений. А еще вы наконец поймете, почему факториал 0 равен 1.

Статья

Конспект

Задачи

Факториальные вычисления

Ликбез

Решите примеры:

\frac{100!}{99!}

Свойства факториала

Ликбез

Докажите следующие свойства факториала n!:

1
Если n>1, то факториал — четное число.
2
Если n>4, то факториал оканчивается на 0.
3
$n^n \geq n! \geq n$

Понять — значит упростить

Ликбез

Упростите выражения:

\frac{n!}{(n+1)!}

Уравнения с факториалами

Ликбез

Решите уравнения:

\frac{(x+6)!}{(x+4)!} + x^2 - 16x = 28

Удвоение факториала

Ликбез

Существует ли факториалы, которые в 2 раза больше другого факториала?
А в k раз больше?

Разность соседних факториалов

Ликбез

Найдите, чему равна разность факториалов двух соседних чисел:

(n+1)! - n! = \ ?

Разложение факториала

Нормальный

Докажите формулу факториала через два предыдущих факториала:

n! = \left[ (n-1)! + (n-2)! \right]\cdot(n-1)

Нисходящий поток

Нормальный

Найдите значение выражения:

\frac{(10! + 9!)(8!+7!)(6!+5!)(4! + 3!)(2! + 1!)}{(10!-9!)(8!-7!)(6!-5!)(4!-3!)(2!-1!)}

Факториальная сумма

Нормальный

Вычислите сумму:

1\cdot 1! + 2\cdot 2! + \ldots + n\cdot n!

Факториал внутри факториала

Нормальный

Найдите, при каких n выполняется равенство:

(n!)! = n!\cdot (n-1)!

Бесконечная степень

Нормальный

Решите уравнение:

x!^{x!^{x!^{\cdots}}} = 1

Дырявые факториалы

Продвинутый

Среди перечисленных чисел найдите все простые:

100! + 2, \quad 100! + 3, \quad \ldots, \quad 100! + 100

Повелитель составных чисел

Продвинутый

Докажите, что какое число n не выбери, обязательно найдется ряд из n идущих подряд составных чисел.

В паре мы сильнее!

Красивая

Продвинутый

Докажите неравенство:

n!^2 \geq n^n

Потрошитель умножений

Продвинутый

Докажите неравенство:

2!4!\ldots(2n)! > \left[(1+n)!\right]^2, \quad n \geq 2

Поиск нулей факториала

Продвинутый

Сколько нулей в конце факториала 100?
А у факториала 526?
А у факториала n?

Поиск факториалов по нулям

Продвинутый

Найдите все факториалы, в конце которых будет ровно 10 нулей.
А какие имеют в конце ровно 11 нулей?

Поиск множителей

Продвинутый

Найдите такой наибольший показатель степени для числа $12^n$ , чтобы оно нацело делило число 49!.

Возрастающий факториал

Продвинутый

Возрастающий факториал определяется следующим образом:

n^{\overline{k}} = n\cdot(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+(k-1))

1
Найдите формулу $n^{\overline{k}}$ через обычный факториал.
2
Выведите эту же формулу с помощью формулы убывающего факториала.

Полная разность факториалов

Продвинутый

Чему равна разность m! – n! двух произвольных чисел m и n при условии, что m>n?

Факторионы

Продвинутый

Факторионами называют такие числа, которые равны сумме факториалов своих цифр:

145 = 1! + 4! + 5!

Бесконечно ли количество факторионов?

Источники11

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Для более глубокого погружения в материал рекомендуются ознакомиться с ними подробнее, особенно с избранными источниками, которые отмечены звездочкой:

Brilliant

Образовательная платформа по математике и IT

Прекрасный сайт с наглядными пояснениями, хорошими примерами и упражнениями.

Factorials

Trailing Number of Zeros

Википедия

Свободная энциклопедия

Факториал

Факторион

Убывающие и возрастающие факториалы

Math Exercises

Сборник упражнений по математике