О математической логике
Рассуждения «по-своему»
В жизни мы постоянно рассуждаем.
Рассуждения — процесс, когда мы из исходных мыслей формируем новые. Из новых получаем еще более новые и так далее, пока не придем к какому-то выводу.
Вот несколько примеров:
Взвешивание «за» и «против» во время принятия решений
Анализ поведения и личности других людей (зачастую неосознанный)
Планирование распорядка дня, поездки за границу и т.д.
Схематично процесс того, как мы думаем, можно изобразить так:
Для обычных, житейских задач, наших ествественных рассуждений (назовем их рассуждениями «по-своему») вполне хватает.
Но в сложных областях, таких как математика и другие точные науки, рассуждения становятся очень сложными: решение задач, доказательство теорем и так далее.
Для таких областей рассуждений «по-своему» уже не хватает. Появляются два очень серьезных недостатка: они ненадежны и не все могут вас понять.
Проблема — ненадежно
Рассуждать сложно. Чем дальше заходит процесс рассуждений, тем труднее его контроллировать. В частности:
Мысли могут начать путаться
Мысли с течением времени можно неверно интерпретировать
Рассуждения и переходы со веременем становятся громоздкими
Все это с высокой долей вероятности заведет вас в тупик, или, что еще хуже, приведет к неправильному результату.
Короче, рассуждать «по-своему» ненадежно.
Проблема — другие могут не понять
Вы не живете в вакууме. Вокруг вас полно других людей. О ваших гениальных рассуждениях и сенсационных выводах нужно рассказать другим людям. И в этом кроется еще одна проблема рассуждений «по-своему».
Все люди разные. Это касается и того, как мы думаем. То, что очевидно вам, может быть совершенно непонятно другим людям. То, что вы считаете истиной, может быть ложью для других. И так далее.
Нацонец, может оказаться, что вы думаете как-то иначе, нестандартно. Ваша логика может быть совсем непохожа на логику других людей.
Короче, у других людей могут возникнуть трудности с проверкой ваших рассуждений и пониманием выводов.
Логика
Очень часто нам на помощь приходит логика.
С ее помощью действительно можно контроллировать большую часть бытовых рассуждений. Но логика в общем всмысле больше про философию. В ней правильное мышление изучается в рамках естественных языков (русский, английский и т.д.).
Математическая логика
Но в точных науках требуется большая строгость. В таких науках нас не сильно волнует философия. Нас интересует, как можно строго по шагам доказать теорему, решить задачу и так далее.
Другими словами, нас интересует логика такая же строгая, как и сама математика — математическая логика.
Одна из главных задач математической логики — устранить проблемы нашего мыслительного аппарата в сложных рассуждениях. Она задает жесткие правила, по которым надо проводить рассуждения. Другими словами, математическая логика говорит, как нам надо рассуждать так, чтобы не ошибиться. Более того, она позволяет другим людям четко понять и проверить ваши рассуждения и выводы.
Суть математической логики можно понять из следующей схемы:
Несмотря на название, математическая логика не накладывает ограничений на темы для рассуждений, она лишь контроллирует и держит в рамках сам процесс рассуждений. Поэтому ее можно применять для абсолютно любых рассуждений, не только математических!
Не стоит думать, что математическая логика нужна только для правильных рассуждений. В ней изучается мышление в целом. Помимо обычной для нас логики в ней изучается и другие ее варианты, порой парадоксальные.
Теперь рассмотрим, как математическая логика помогает решить проблемы рассуждений «по-своему».
Решение — ненадежно
Напомню, что рассуждения «по-своему» ненадежны, потому что можно запутаться, неверно интерпретировать и просто увязнуть в куче мыслей.
В математической логике используется язык математической логики. Это математический язык. В отличие от естественных языков (например, русского или английского) в нем все рассуждения записываются максимально компактно и однозначно. А возможность использования переменных делает этот язык очень гибким.
Простой пример. Вот высказывание на ествественном языке:
«Число четное, если оно делится на 2, и наоборот, если число делится на 2, то оно четное.»
А вот оно же, но уже с использованием языка математической логики:
Разница очевидна.
Решение — другие могут не понять
Вы обмениваетесь не сырыми догадками и доводами, а строгими рассуждениями на языке математической логики, который понимают остальные. Поэтому, ни у кого не возникнет проблем с пониманием и проверкой того, что вы нарассуждали.
Аналогия с верстаком
Рассуждения по правилам математической логики можно сравнить с работой на верстаке в мастерской. У вас есть сырье: доски, фанера, гвозди и т.д. Сырье это исходные, известные факты. С помощью хорошо известных всем инструментов вроде молотка, отвертки, пилы, дрели вы начинаете что-то делать с сырьем. То есть, начинаете рассуждения.
Самое приятное, что вы и все, кто знаком с верстаком (с математической логикой), точно знаете, что с сырьем делают конкретные инструменты:
С помощью пилы вы разделяете доску на две части
С помощью гвоздя и молотка вы соединяете что-то
С помощью дрели делаете отверстия
Никто не пытается что-то резать с помощью молотка или забивать гвозди пилой.
Именно предсказуемость результата каждого инструмента дает возможность вам и другим людям проверять ход рассуждений.
Само использование инструментов не гарантирует правильный результат. Даже с помощью верстака вы можете сваять что-то бредовое и несуразное. Но вы (и другие) хотя бы сможете проанализировать ход рассуждений и найти ошибку, или убедиться в ее отсутствии.
Польза рассуждений «по-своему»
Из всего описанного выше может сложиться впечатление, что рассуждения «по-своему» — моветон и его всеми силами стоит избегать. Это не так.
Вы родились и выросли с определенным типом мышления. Используйте сильные стороны своего мозга:
Способность подмечать «возможные» закономерности
Интуицию
Возможный талант в определенной области
Не стесняйтесь думаеть по-своему! Просто не забывайте потом использовать математическую логику для проверки себя и при распространении своих идей.
Итог
Мы постоянно рассуждаем. Для житейских задач нам вполне хватает бытовой логики.
В сложных областях (например, в математике) рассуждения «по-своему» ненадежны и могут быть не поняты другими людьми.
Поэтому для рассуждений в этих областях используют правила математической логики, а сами рассуждения проводятся на языке математической логики.
Несмотря на то, что математическая логика достаточно обширна, в этом учебнике мы будем изучать, как правильно составлять и проверять рассуждения.