Высказывания

Понятие высказывания

Рассмотрим следующие предложения:

• «Я — Наполеон Бонапарт»

• «Число 4 четное»

• «3 + 2 = 5»

• «Все яблоки квадратные»

• «Если на улице мокро, значит был дождь»

Заметьте, что предложения не обязательно должны быть на естественном языке. Например, в 3 пункте у нас предложение на языке математики.

У всех этих предложений есть кое-что общее — они что-то утверждают, в отличие от вопросительных и повелительных предложений:

• «Кто приготовил пиццу?»

• «Принеси мне кофе!»

Такие предложения нам не нужны. В математической логике мы работаем только с «что-то утверждающими» предложениями. Называются они высказываниями.

Обозначение высказываний

В больших рассуждениях постоянно записывать высказывания целиком неудобно. Поэтому, мы будем обозначать их прописными и строчными буквами латинского алфавита.

Вот несколько примеров:

• $p =$ «Я — Наполеон Бонапарт»

• $q =$ «3 + 2 = 5»

• $t =$ «Все яблоки квадратные»

Никаких ограничений на выбор букв нет, но все же высказывания редкто обозначают за x, y, ассоциирующиеся с переменными. Кроме того, первые буквы алфавита (a, b, ...) часто используют для обозначения констант.

Именно поэтому буквы для часто высказываний берут буквы где-то из середины алфавита: p, q, t, z и другие.

Истинностное значение

Как мы уже определили выше, высказывание — предложение, в котором что-то утверждается. То, что мы утверждаем может оказаться правдой (истиной) или ложью.

Например:

• «Я — Наполеон Бонапарт» | Ложь

• «Число 4 четное» | Истина

• «Если на улице мокро, значит был дождь» | Ложь (например, мог растаять снег)

Получается, что любое высказывание обладает свойством быть истинным или ложным. Значение этого свойства (истина или ложь) называют истинностным значением высказывания.

Истинностное значение высказывания p, обозначается за $|p|$. Не путать с модулем числа!

Пример:

$p =$ «3 + 2 = 5»

$|p| =$ истина

Но каждый раз писать «истина» или «ложь» тоже неудобно. Поэтому «истину» принимают за 1, а «ложь» за 0.

Сравнение с отрезками

Кому-то может показаться непривычным то, как мы определили истинностное значение.

Но это не редкость. Все мы прекрасно знакомы с отрезками из геометрии. Сам по себе отрезок AB — множество точек прямой, проходящей через точки A и B.

Но у любого отрезка есть свойство — длина, которая выражается некоторым числом. Длина обозначается за $|AB|$.

Собственно, с высказываниями мы проделали ровно то же самое.

Высказывательная форма

С высказываниями все достаточно просто. Они что-то утверждают и могут быть истинными или ложными. А теперь посмотрим на следующие предложения:

• «x — четное число»

• «Первый человек в космосе — y»

• «$3 + z = 5$»

Оба этих предложения что-то утверждают. Но являются ли они высказываниями? Нет.

От обычных высказываний они отличаются наличием переменных (x, y, z). Такие предложения называются высказывательными формами.

Обозначаются высказывательные формы так же, как и обычные высказывания, но с указанием названий переменных в скобках:

• $p(x) =$ «x — четное число»

• $q(y) =$ «Первый человек в космосе — y»

Почему «форма»? Потому что это не настоящее предложение, а что-то вроде заготовки, формы. Подставляя вместо переменных значения мы из этой заготовки получаем полноценное высказывание. Попробуем.

$p(2) =$ «2 — четное число»

Действительно, $p(2)$ — самое обычное высказывание, причем истинное $|p(2)|=1$. В то же время $p(5)$ будет ложным высказыванием $|p(5)|=0$.

Поэкспериментируем с высказывательной формой $q(y)$.

$q(\text{Юрий Гагарин}) =$ «Первый человек в космосе — Юрий Гагарин»

$q(\text{Я}) =$ «Первый человек в космосе — Я»

Но, как мы уже показали выше, при подстановке значений переменных из высказывательной формы мы получаем обычное высказывание, которое уже может быть истинным или ложным.

Реальная и абстрактная истина

Рассмотрим следующее высказывание:

$p =$ «Юрий Гагарин — первый человек в космосе»

Безусловно, это истинное высказывание: $|p|=1$.

Но почему?

Потому что это реальный факт.

Но никто не мешает вам искренне поверить в то, что первым человеком в космосе была ваша кошка Буся, даже не смотря на то, что это не так (как минимум, потому что кошка — не человек). Но вас это не обязано волновать! В вашей абстрактной вселенной это правда!

$q =$ «Кошка Буся — первый человек в космосе»

Интересно, что в этом случае высказывание p про Гагарина будет уже ложным: $|p| = 0$. Конечно, такое серьезное изменение исторических фактов сильно повлияет на вашу абстрактную вселенную. Возможно даже окажется, что вы тоже кот (раз назвали кошку человеком)!

Заметьте, что математическая логика здесь лишь помогает нам выражать мысли в виде высказываний. В ней нет никакой магии и она никак по своей воле не влияет на истинностное значение высказывний.

Другими словами, что правда, а что ложь определяете вы, общество, история, законы мироздания.

А математической логике плевать. Она будет работать при любых вводных условиях. Иногда это бывает полезно, иногда приводит к полной чуши. Но бояться этого не стоит.

Мы будем касаться этой темы и в последующих параграфах.

Итог

В математической логике мы работаем с предложениями, которые что-то утверждают.

Если в таком предложении нет переменных, то это высказывание ($p, q, t, \ldots$), если есть, то это высказывательная форма ($p(x), q(x), \ldots$).

У любого высказывания есть истинностное значение: истина (1) или ложь (0). Высказывательные формы не могут быть истинными или ложными.

Математическая логика никак не влияет на смысл наших рассуждений. Она лишь помогает четко и строго эти рассуждения проводить.