Физические величины и вектора

Вводим основным термины, необходимые для дальнейшего изучения физики.

Физические величины

Физическая величина – то, что можно измерить (время, масса и т.д.)

Единица физической величины – то, в чем измеряется физическая величина (килограммы, граммы и т.д.)

Измерительный прибор – то, чем можно измерить физическую величину (весы, секундомер и т.д.)

Скалярная физическая величина — величина, характеризующаяся только величиной (числом). Примеры: время, масса, температура и т.д.

Векторная физическая величина — величина, характеризующаяся величиной и направлением. Примеры: сила, скорость, импульс и т.д.

Проекция вектора на ось определяется следующим образом:

Если вектор перепендикулярен оси (вектор w на рисунке), то проекция равна 0 ( $w_x = 0$ )
Если вектор направлен в ту же сторону, что и ось, то проекция вектора равна его длине (модулю) ( $u_x = u$ )
Если вектор направлен в сторону, противоположную оси, то проекция вектора равна его длине (модулю) со знаком минус ( $v_x =-v$ )
Если вектор направлен под некоторым углом $\alpha$ к положительному направлению оси, то проекция вектора равна его длине, умноженной на косинус данного угла ( $a_x =a*\cos\alpha$ )
Если вектор направлен под некоторым углом $\alpha$ к отрицательному направлению оси, то проекция вектора равна его длине со знаком минус и умноженной на косинус данного угла ( $b_x =-b*\cos\alpha$ )

Действия с векторами

Координатами двумерного вектора называется пара чисел, соответствующих проекциям вектора на 2 перпендикулярные оси Ox и Oy.

Скалярное произведение – величина, равная произведению длин векторов на косинус угла между ними:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos \alpha

Скалярное произведение можно рассчитать, зная только координаты векторов. Для этого используется формула

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y

Свойства скалярного произведения

а) (о модуле вектора) Модуль вектора $\vec{a}$ можно вычислить по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}$

б) (об угле между векторами) Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно вычислить по формуле $\alpha = \arccos(\frac{\vec a \cdot \vec b}{\sqrt{\vec a \cdot \vec a}\cdot \sqrt{\vec b \cdot \vec b}})$

в) (условие перпендикулярности векторов ) Вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Доказательство пункта а)

По определению, $\vec a \cdot \vec a = |\vec a||\vec a|*\cos 0 \degree = |\vec a|^2$ , откуда следует требуемое утверждение

Доказательство пункта б)

По определению, $\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|*\cos \alpha$ , откуда $\alpha = \arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$ . Послде подстановки выражения для модулей из пункта а) непосредственно получаем требуемое утверждение

Доказательство пункта в)

Заметим, что $90 \degree = arccos(0)$ . Из пункта б) можно заметить, что $\alpha = 90 \degree$ тогда и только тогда, когда равен 0 числитель выражения, то есть при $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Упрощение выражений со скалярным произведением

$\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$

$K \vec a \cdot (L \vec b) = (K\cdot L)(\vec a \cdot \vec b)$