Бином Ньютона

Используем мощь комбинаторики для изучения самой математики: упростим умножение многочленов и выведем известную и очень полезную формулу!

Продвинутый уровень

Зависимости

    graph TD
        root[Бином Ньютона]:::featured --> formula[" $\displaystyle (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k = \sum\limits_{k=0}^n T_k$ "]
        root --> c[" $\displaystyle C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \ k!}$ "]
        c <-.->|Треугольник Паскаля| pascal[" $\displaystyle \begin{array}{} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{array} \\ \cdots$ "]

Умножение многочленов

Умножение многочленов можно рассматривать как составление всех комбинаций из одночленов этих самых многочленов. Такой комбинаторный способ умножения многочленов не только проще и нагляднее, но и позволяет задействовать в этом процессе всю мощь комбинаторики:

Комбинаторное умножение

Умножьте друг на друга многочлены «комбинаторным» способом:

(n + m)(j + k)(l + e) = \ ?

Решение

Три многочлена, значит нам надо составить все возможные комбинации из 3-х элементов, причем на каждое «вакантное место» в комбинации претендуют по 2 буквы. По правилу умножения у нас должно получиться $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ комбинаций.

Искать комбинации будем прямым перебором. Чтобы в процессе не запутаться, надо соблюдать правила перебора. В данном случае будем фиксировать первые буквы комбинации и менять последние:

\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{} (n + m) & (j + k) & (l + e) \\ \hline n & j & l & = njl \\ n & j & e & = nje \\ \hdashline n & k & l & = nkl \\ n & k & e & = nke \\ \hline m & j & l & = mjl \\ m & j & e & = mje \\ \hdashline m & k & l & = mkl \\ m & k & e & = mke \end{array}

Прямым перебором нашли все предсказанные 8 комбинаций. Теперь складываем их все вместе и получаем ответ!

(n + m)(j + k)(l + e) = \\ = njl + nje + nkl + nke + mjl + mje + mkl + mke

Бином Ньютона

Вручную умножать друг на друга большое количество многочленов очень долго и утомительно. Поэтому математики придумали формулу для работы со степенями двучленов:

Бином Ньютона — формула, позволяющая напрямую получать результат возведения любого двучлена в любую натуральную степень:

(a+b)^n = C_n^0 a^{n-0}b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^n a^{n-n}b^n

В компактном виде:

(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k

В формулах выше записи вида $C_n^k$ это количества сочетаний из n по k.

Примеры построения слагаемых

Левая часть равенства по определению степени является длинной цепочкой из n умножающихся друг на друга скобок:

(a+b)^n = (a+b) (a+b) (a+b) \ldots

Мы уже знаем, как легко работать с произведением многочленов. Каждая из скобок «превращается» либо в a, либо в b, тем самым образуя n-буквенную комбинацию. Потом все возможные комбинации складываются:

aaaaa\ldots + babab \ldots + bbaab\ldots + \ldots

Каждая такая комбинация является слагаемым в большой сумме, поэтому далее мы так и будем их называть.

Например, если каждая скобка превратится в a, то мы получим слагаемое $a^n$ :

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} (a+b) & (a+b) & (a+b) & \ldots & \\ \hline a & a & a & \ldots & = a^n \end{array}

Если в a превратить только одну скобку, а остальные $(n-1)$ скобок в b, то получим слагаемое вида $ab^{n-1}$ . Причем таких слагаемых будет аж n штук, потому что в a можно превратить любую из n скобок (первую, вторую, n-ую):

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{} (a+b) & (a+b) & (a+b) & \ldots & \\ \hline a & b & b & \ldots & = ab^{n-1} \\ \hline b & a & b & \ldots & = ab^{n-1} \\ \hline b & b & a & \ldots & = ab^{n-1} \\ \hline \vdots \end{array}

Складываем вместе эти n одинаковых слагаемых и получаем $n \cdot ab^{n-1}$ .

Вывод формулы

Превратим ровно k скобок в b. Остальные $n-k$ скобок автоматически превращаются в a. Тогда слагаемое будет иметь вид $a^{n-k}b^k$ .

Слагаемых такого вида будет столько, сколькими способами можно выбрать k скобок для превращения в b. Порядок, в котором выбраются скобки значения не имеет, поэтому каждый выбор скобок это сочетание из n всех скобок по k скобкам для превращения. Всего $C_n^k$ способов эти скобки выбрать.

Итак, превратив k скобок в b мы получаем $C_n^k$ одинаковых слагаемых вида $a^{n-k}b^k$ . Складываем их вместе и получаем общий вид слагаемого в разложении бинома Ньютона:

\boxed{C_n^k a^{n-k}b^k}

Переменная k по очереди принимает все значения от 0 (ни одна скобка не станет b) до n (все скобки стали b). И каждое новое значение k порождает очередное слагаемое в разложении бинома Ньютона:

(a+b)^n = C_n^0 a^{n-0}b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + \ldots + C_n^n a^{n-n}b^n

Используем символ суммы для того, чтобы записать эту формулу в коротком и красивом виде:

(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k

$\blacksquare$

Многочлены имеют и другое название — полиномы.
Соответственно двучлен — бином.

Формулы сокращенного умножения

С помощью формулы бинома Ньютона найдите, чему равны следующие степени биномов:

(a+b)^0 \quad (a+b)^1 \quad (a+b)^2 \quad (a+b)^3 \quad (a+b)^4

Решение

(a+b)^0 = C_0^0 a^{0}b^{0} = C_0^0 = \boxed{1} \\ (a+b)^1 = C_1^0 a^1 + C_1^1 b^1 = \boxed{a + b} \\ (a+b)^2 = C_2^0 a^2 + C_2^1 ab + C_2^2 b^2 = \boxed{a^2 + 2ab + b^2} \\ (a+b)^3 = C_3^0 a^3 + C_3^1 a^2b + C_3^2 ab^2 + C_3^3 b^3 = \\ = \boxed{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}

Предыдущие формулы хорошо известны и их можно довольно просто вывести напрямую. Но вот для четвертой степени умножать друг на друга 4 скобки будет уже проблематично. А с биномом Ньютона ответ находится быстро:

(a+b)^4 = C_4^0a^4 + C_4^1a^3b + C_4^2a^2b^2 + C_4^3ab^3 + C_4^4b^4 = \\ = \boxed{a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}

Длинную цепочку из слагаемых после применения формулы бинома Ньютона называют разложением степени бинома:

\underbrace{(a+b)^2}_{\text{Степень бинома}} = \ \ \underbrace{a^2 + 2ab + b^2}_{\text{Разложение}}

Пример разложения

Чему будет равен двучлен $x^2 - y$ , если его возвести в шестую степень?

(x^2 - y)^6 = \ ?

Решение

Будем считать, что $x^2$ выполняет роль a, а $-y$ роль b:

a = x^2 \qquad b = -y

Применяем формулу бинома Ньютона:

(x^2 - y)^6 = \\ = C_6^0 (x^2)^6 + C_6^1 (x^2)^5(-y) + C_6^2 (x^2)^4(-y)^2 + C_6^3 (x^2)^3(-y)^3 + C_6^4 (x^2)^2(-y)^4 + C_6^5 (x^2)(-y)^5 + C_6^6(-y)^6

Аккуратно считаем сочетания, работаем со степенями, не путаемся в знаках и получаем финальный вид разложения:

(x^2 - y)^6 = \\ = x^{12} - 6 x^{10}y + 15x^8y^2 - 20x^6y^3 + 15x^4y^4 - 6x^2y^5 + y^6

Общий член разложения

Иногда бывает полезно точечно изучить конкретное слагаемое, полученное после применения формулы бинома Ньютона, без необходимости выписывать все разложение целиком. Такие слагаемые обозначают $T_k$ , где k — номер слагаемого в разложении:

Формула члена разложения

k-ый член в разложении по формуле бинома Ньютона имеет следующий вид:

T_k = C_n^k a^{n-k}b^k

Найти и выписать!

Чему равен нулевой член разложения степени бинома $(a+b)^n$ ?
А 58-ой член разложения $(2 + m)^{100}$ ?

Решение

Для ответа на первый вопрос применяем формулу члена разложения при $k=0$ :

T_0 = C_n^0 a^{n-0} b^0 = C_n^0 a^n = a^n

А во втором случае $k=58$ , а $n=100$ :

T_{58} = C_{100}^{58} 2^{100 - 58} m^{58} = C_{100}^{58} 2^{42} m^{58}

Биномиальный коэффициент

Биномиальный коэффициент — числовой коэффициент перед каждым членом разложения бинома Ньютона.

C_n^k \quad \text{или} \quad \binom{n}{k}

Левое обозначение это количество сочетаний из n по k — понятие из комбинаторики, которое нашло удобное применение в формуле бинома Ньютона. Правый способ сложился исторически, без связи с комбинаторикой. Его придумали специально для формулы бинома Ньютона.

Одно и то же!

На сегодняшний день нет никакой разницы, какое обозначение использовать. Вас везде поймут вне зависимости от того, пишете ли вы $\binom{n}{k}$ или $C_n^k$ в формуле бинома Ньютона или в каких-нибудь комбинаторных задачах. Это одно и то же!

C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \ k!}

Повторение биномиальных коэффициентов

В разложении бинома Ньютона k-ый биномиальный коэффициент $C_n^k$ равен k-му с конца, то есть $C_n^{n-k}$ :

C_n^k = C_n^{n-k}

Алгебраическое доказательство

Докажем равенство чисто алгебраически, используя формулу количества сочетаний:

C_n^k = C_n^{n-k} \\ \frac{n!}{(n-k)! \ k!} = \frac{n!}{(n - n + k)! \ (n-k)!} \\ \frac{n!}{(n-k)! \ k!} = \frac{n!}{k! \ (n-k)!}

Выражения слева и справа одинаковые.

$\blacksquare$

Комбинаторное доказательство

Пускай у нас есть n одинаковых белых шаров. Мы хотим покрасить k из них в красный цвет. Выбрать из n шаров k шаров для покраски можно $C_n^k$ способами.

Но можно решить задачу и наоборот. После покраски останется $n-k$ непокрашенных шаров. Тогда выбрать из n шаров $n-k$ шаров, которые не будут покрашены можно $C_n^{n-k}$ способами.

Количество способов выбрать шары для покраски ровно столько же, что и количество способов выбрать шары, которые останутся нетронутыми:

C_n^k = C_n^{n-k}

$\blacksquare$

Доказательство через бином Нюьтона

От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому:

(a+b)^n = (b+a)^n

Распишем левое выражение по формуле бинома Ньютона:

(a+b)^n = \\ = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \ldots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n

Теперь распишем правое выражение тоже по формуле бинома Ньютона, но задом на перед:

(b+a)^n = \\ = C_n^n a^n + C_n^{n-1}ba^{n-1} + \ldots + C_n^1 b^{n-1}a + C_n^0 b^n

Для наглядности запишем члены разложения обеих сумм друг под другом:

\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{r|r|r|r|r} C_n^0 a^n & C_n^1 a^{n-1}b & \ldots & C_n^{n-1}ab^{n-1} & C_n^n b^n \\ C_n^n a^n & C_n^{n-1}a^{n-1}b & \ldots & C_n^1 ab^{n-1} & C_n^0 b^n \end{array}

Так как суммы равны, то обязаны быть равны и их слагаемые:

C_n^0 a^n = C_n^n a^n \\ C_n^1 a^{n-1}b = C_n^{n-1}a^{n-1}b \\ \cdots

А слагаемые могут быть равны только если равны биномиальные коэффициенты:

C_n^0 = C_n^n \quad C_n^1 = C_n^{n-1} \quad \ldots \\ C_n^k = C_n^{n-k}

$\blacksquare$

Биномиальные коэффициенты можно считать с помощью треугольника Паскаля — через предыдущие биномиальные коэффициенты, выписанные в виде треугольника:

Треугольные вычисления

С помощью треугольника Паскаля найти разложение степени бинома $(a+b)^5$ , а потом разложение $(a+b)^6$ .

Решение

Ранее мы уже построили треугольник Паскаля для четвертой степени бинома. Добавляем к нему еще одну строчку. Числа в ней и будут биномиальными коэффициентами для разложения пятой степени бинома:

Подставляем полученные коэффициенты в разложение:

(a+b)^5 = \\ = \blue{1}a^5 + \blue{5}a^4b + \blue{10}a^3b^2 + \blue{10}a^2b^3 + \blue{5}ab^4 + \blue{1}b^5

Для шестой степени бинома берем последнюю строчку треугольника и дописываем под ней еще одну:

Подставляем коэффициенты:

(a+b)^6 = \\ = \blue{1}a^6 + \blue{6}a^5b + \blue{15}a^4b^2 + \blue{20}a^3b^3 + \blue{15}a^2b^4 + \blue{6}ab^5 + \blue{1}b^6

Примение бинома Ньютона

Бином Ньютона не связан с жизнью напрямую, но используйтеся для вывода большого количества формул и теорем, которые имеют множество применений в жизни.