Факториал

Простой, быстрый и стильный способ записывать и работать с длинными цепочками умножений. А еще вы наконец поймете, почему факториал 0 равен 1.

Факториальные вычисления

Решите примеры:

а) 100!99!б) 62!−61!60!в) 82!81!+34!33! \begin{array}{} а) \ \dfrac{100!}{99!} \quad & б) \ \dfrac{62! - 61!}{60!} \quad & в) \ \dfrac{82!}{81!} + \dfrac{34!}{33!} \end{array}
г) 26!+25!⋅4+25!⋅825!д) 18⋅20!+3⋅20⋅19!21! \begin{array}{} г) \ \dfrac{26! + 25!\cdot 4 + 25! \cdot 8}{25!} \quad & д) \ \dfrac{18\cdot 20! + 3\cdot 20 \cdot 19!}{21!} \end{array}
Указание

Пользуйтесь рекуррентной формулой (иногда ее надо использовать несколько раз подряд), выносите за скобки, сокращайте...

Решение

Пример а)

100!99!=100⋅99!99!=100 \frac{100!}{99!} = \frac{100\cdot \cancel{99!}}{\cancel{99!}} = 100

Пример б)

62!−61!60!=62⋅61⋅60!−61⋅60!60!=60!⋅(62⋅61−61)60!==62⋅61−61=61⋅(62−1)=61⋅61=612 \frac{62! - 61!}{60!} = \frac{62 \cdot 61 \cdot 60! - 61\cdot 60!}{60!} = \frac{\cancel{60!}\cdot(62 \cdot 61 - 61)}{\cancel{60!}} = \\ = 62\cdot 61 - 61 = 61\cdot(62 - 1) = 61\cdot 61 = 61^2

Пример в)

82!81!+34!33!=82⋅81!81!+34⋅33!33!=82+34=116 \frac{82!}{81!} + \frac{34!}{33!} = \frac{82\cdot\cancel{81!}}{\cancel{81!}} + \frac{34\cdot \cancel{33!}}{\cancel{33!}} = 82 + 34 = 116

Пример г)

26!+25!⋅4+25!⋅825!=26⋅25!+25!⋅4+25!⋅825!==25!⋅(26+4+8)25!=26+4+8=38 \frac{26! + 25!\cdot 4 + 25! \cdot 8}{25!} = \frac{26\cdot25! + 25!\cdot 4 + 25!\cdot 8}{25!} = \\ = \frac{\cancel{25!}\cdot (26 + 4 + 8)}{\cancel{25!}} = 26 + 4 + 8 = 38

Пример д)

18⋅20!+3⋅20⋅19!21!=18⋅20!+3⋅20!20!⋅21==18+321=2121=1 \frac{18\cdot 20! + 3\cdot 20 \cdot 19!}{21!} = \frac{18\cdot \cancel{20!} + 3\cdot \cancel{20!}}{\cancel{20!}\cdot 21} = \\ = \frac{18 + 3}{21} = \frac{\cancel{21}}{\cancel{21}} = 1
Ответ
а) 100б) 612в) 116г) 38д) 1 \begin{array}{} а) \ 100 \quad & б) \ 61^2 \quad & в) \ 116 \quad & г) \ 38 \quad & д) \ 1 \end{array}

Факториальные вычисления

Аналог 1

{{{ expression }}}

Ответ

{{{ answer }}}

Факториальные вычисления

Аналог 2

{{{ expression }}}

Ответ

{{{ answer }}}

Факториальные вычисления

Аналог 3

{{{ expression }}}

Ответ

{{{ answer }}}

Факториальные вычисления

Аналог 4

{{{ expression }}}

Ответ

{{{ answer }}}

Факториальные вычисления

Аналог 5

{{{ expression }}}

Ответ

{{{ answer }}}

Свойства факториала

Докажите следующие свойства факториала n!n!:

  1. Если n>1n>1, то факториал — четное число.

  2. Если n>4n>4, то факториал оканчивается на 0.

  3. nn≥n!≥nn^n \geq n! \geq n

Решение

Пункт 1

Любой факториал n, где n>1n>1, будет содержать в себе множитель 2. Например:

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅55! = 1\cdot \boxed2\cdot 3\cdot 4\cdot 5

Если число в качестве множителя содержит двойку, значит это число можно поделить на два. А если число можно поделить на два, значит это число четное.

■\blacksquare

Пункт 2

Любой факториал n, где n>4n>4, будет содержать в себе множители 2 и 5. Но 2⋅5=102\cdot 5 = 10, поэтому любой такой факториал будет как минимум иметь один ноль в конце.

■\blacksquare

Пункт 3

Начнем с того, что при n=1n=1 все знаки неравенства обращаются в знак равно:

1!2=11=1!=11!^2 = 1^1 = 1! = 1

Далее будем рассматривать неравенства считая, что n>1n>1.

n!≥nn! \geq n

Слева находится произведение чисел, начиная с самого n. Это точно больше, чем одинокое n справа. Исключение — при n=2n=2 получается равенство.

■\blacksquare

nn≥n!n^n \geq n!

Распишем выражения слева и справа в виде цепочек умножений:

n⋅n⋅…⋅n≥1⋅2⋅…⋅nn\cdot n \cdot \ldots \cdot n \geq 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n

Количество множителей слева и справа одинаковое. Но слева сами числа больше, чем числа справа, поэтому и произведение слева будет больше произведения справа.

■\blacksquare

Упрощение выражений

Упростите выражения:

a) n!(n+1)!б) n!(n−2)!в) (n+1)!(n−2)! \begin{array}{} a) \ \dfrac{n!}{(n+1)!} \quad & б) \ \dfrac{n!}{(n-2)!} \quad & в) \ \dfrac{(n+1)!}{(n-2)!} \end{array}
г) (n+2)!+(n+1)!(n+2)!−(n+1)!д) 1(n+1)!−1(n+2)!е) n!(n+1)!−(n−1)!n! \begin{array}{} г) \ \dfrac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+2)! - (n+1)!} \quad & д) \ \dfrac{1}{(n+1)!} - \dfrac{1}{(n+2)!} \quad & е) \ \dfrac{n!}{(n+1)!} - \dfrac{(n-1)!}{n!} \end{array}
Указание

Пользуйтесь рекуррентной формулой (иногда ее надо использовать несколько раз подряд), выносите за скобки, сокращайте...

Решение

Пункт а)

n!(n+1)!=n!n!⋅(n+1)=1n+1\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{n!\cdot(n+1)} = \frac{1}{n+1}

Пункт б)

n!(n−2)!=(n−1)!⋅n(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1)⋅n(n−2)!=n⋅(n−1)=n2‾\frac{n!}{(n-2)!} = \frac{(n-1)!\cdot n}{(n-2)!} = \frac{(n-2)!\cdot(n-1)\cdot n}{(n-2)!} = n\cdot(n-1) = n^{\underline{2}}

Пункт в)

(n+1)!(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1)⋅n⋅(n+1)(n−2)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)=(n+1)3‾\frac{(n+1)!}{(n-2)!} = \frac{(n-2)!\cdot(n-1)\cdot n \cdot(n+1)}{(n-2)!} = (n+1)\cdot n \cdot (n-1) = (n+1)^{\underline{3}}

Пункт г)

(n+2)!+(n+1)!(n+2)!−(n+1)!=(n+2)⋅(n+1)!+(n+1)!(n+2)⋅(n+1)!−(n+1)!==(n+1)!⋅(n+2+1)(n+1)!⋅(n+2−1)=n+3n+1 \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+2)! - (n+1)!} = \frac{(n+2)\cdot(n+1)! + (n+1)!}{(n+2)\cdot(n+1)! - (n+1)!} = \\ = \frac{(n+1)!\cdot(n+2+1)}{(n+1)!\cdot (n+2-1)} = \frac{n+3}{n+1}

Пункт д)

1(n+1)!−1(n+2)!=(n+2)!−(n+1)!(n+1)!⋅(n+2)!==(n+2)⋅(n+1)!−(n+1)!(n+1)!⋅(n+2)!=(n+1)!⋅(n+2−1)(n+1)!⋅(n+2)!==n+1(n+2)!=n+1n!⋅(n+1)⋅(n+2)=1n!⋅(n+2) \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!} = \frac{(n+2)! - (n+1)!}{(n+1)!\cdot(n+2)!} = \\ = \frac{(n+2)\cdot(n+1)! - (n+1)!}{(n+1)!\cdot(n+2)!} = \frac{(n+1)!\cdot(n+2-1)}{(n+1)!\cdot(n+2)!} = \\ = \frac{n+1}{(n+2)!} = \frac{n+1}{n!\cdot(n+1)\cdot(n+2)} = \frac{1}{n!\cdot (n+2)}

Пункт е)

n!(n+1)!−(n−1)!n!=n!(n+1)⋅n!−(n−1)!n⋅(n−1)!==1n+1−1n=n−(n+1)(n+1)⋅n=−1(n+1)2‾ \frac{n!}{(n+1)!} - \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{n!}{(n+1)\cdot n!} - \frac{(n-1)!}{n\cdot (n-1)!} = \\ = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{(n+1)\cdot n} = -\frac{1}{(n+1)^{\underline{2}}}
Ответ
a) 1n+1б) n2‾в) (n+1)3‾ \begin{array}{} a) \ \dfrac{1}{n+1} \quad & б) \ n^{\underline{2}} \quad & в) \ (n+1)^{\underline{3}} \end{array}
г) n+3n+1д) 1n!⋅(n+2)е) −1(n+1)2‾ \begin{array}{} г) \ \dfrac{n+3}{n+1} \quad & д) \ \dfrac{1}{n!\cdot (n+2)} \quad & е) \ -\dfrac{1}{(n+1)^{\underline{2}}} \end{array}

Упрощение выражений

Аналог 1
n!n(n−1)\frac{n!}{n(n-1)}
Ответ
(n−2)!(n-2)!

Упрощение выражений

Аналог 2
(2n)!n!\frac{(2n)!}{n!}
Ответ
(2n)n‾(2n)^{\underline{n}}

Упрощение выражений

Аналог 3
(n+3)!(n+1)!(n2−4)\frac{(n+3)!}{(n+1)!(n^2 - 4)}
Ответ
n+3n−2\frac{n+3}{n-2}

Упрощение выражений

Аналог 4
1n!−1(n−1)!−1(n−2)!\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{(n-2)!}
Ответ
1−n2n!\frac{1-n^2}{n!}

Упрощение выражений

Аналог 5
4−n2(n+2)!−3(n+1)!+1n!\frac{4-n^2}{(n+2)!} - \frac{3}{(n+1)!} + \frac{1}{n!}
Ответ
00

Упрощение выражений

Аналог 6
(n−1)!(n+1)!+(3n+3)!(3n+4)!\frac{(n-1)!}{(n+1)!} + \frac{(3n+3)!}{(3n+4)!}
Ответ
(n+2)2n(n+1)(3n+4)\frac{(n+2)^2}{n(n+1)(3n+4)}

Упрощение выражений

Аналог 7
(n+1)!(n−2)!−4(n+1)!(n−1)!+9n!(n−1)!\frac{(n+1)!}{(n-2)!} - 4\frac{(n+1)!}{(n-1)!} + 9\frac{n!}{(n-1)!}
Ответ
n(n−2)2n(n-2)^2

Упрощение выражений

Аналог 8
n[n!+(n−1)!]+n2(n−1)!+(n+1)!n[n!+(n-1)!] + n^2(n-1)! + (n+1)!
Ответ
(3n+2)n!(3n+2)n!

Упрощение выражений

Аналог 9
n!(n−3)!+(n+1)!(n−2)!+(n+2)!(n−1)!−(n2+4)\frac{n!}{(n-3)!} + \frac{(n+1)!}{(n-2)!} + \frac{(n+2)!}{(n-1)!} - (n^2 + 4)
Ответ
3n3−n2+3n−43n^3 - n^2 + 3n - 4

Упрощение выражений

Аналог 10
1−n(n+1)!+1(n−1)!\frac{1-n}{(n+1)!} + \frac{1}{(n-1)!}
Ответ
n2+1(n+1)!\frac{n^2+1}{(n+1)!}

Упрощение выражений

Аналог 11
n+2n!−3n+1(n+1)!\frac{n+2}{n!} - \frac{3n + 1}{(n+1)!}
Ответ
n2+1(n+1)!\frac{n^2 + 1}{(n+1)!}

Упрощение выражений

Аналог 12
n!(n−3)!+n!(n−2)!2!\frac{n!}{(n-3)!} + \frac{n!}{(n-2)!2!}
Ответ
n(n−1)(2n−3)2\frac{n(n-1)(2n-3)}{2}

Упрощение выражений

Аналог 13
[n(n−2)!−2(n−1)!]n−1n+1\left[ \frac{n}{(n-2)!} - \frac{2}{(n-1)!} \right]\frac{n-1}{n+1}
Ответ
1(n−3)!\frac{1}{(n-3)!}

Упрощение выражений

Аналог 14
n2−9(n+3)!+6(n+2)!−1(n+1)!\frac{n^2-9}{(n+3)!} + \frac{6}{(n+2)!} - \frac{1}{(n+1)!}
Ответ
1(n+2)!\frac{1}{(n+2)!}

Упрощение выражений

Аналог 15
n!(n+1)!−(n+1)!(n+2)!−(n+2)!(n+3)!−n!(n+3)!\frac{n!}{(n+1)!} - \frac{(n+1)!}{(n+2)!} - \frac{(n+2)!}{(n+3)!} - \frac{n!}{(n+3)!}
Ответ
−n(n+1)(n+3)-\frac{n}{(n+1)(n+3)}

Уравнения с факториалами

Решите уравнения:

а)(x+6)!(x+4)!+x2−16x=28б)(2n+1)!(2n)!+(3n)!(3n−1)!=(n+1)!2n!+50в)(x!)2+6=7x!г)18!+19!=x10! а) \quad \frac{(x+6)!}{(x+4)!} + x^2 - 16x = 28 \\ б) \quad \frac{(2n+1)!}{(2n)!} + \frac{(3n)!}{(3n-1)!} = \frac{(n+1)!}{2n!} + 50 \\ в) \quad (x!)^2 + 6 = 7x! \\ г) \quad \frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!}
Указание

Пользуйтесь рекуррентной формулой и скоращайте. В уравнении в) проведите замену переменной.

Решение

Уравнение а)

(x+6)!(x+4)!+x2−16x=28 \frac{(x+6)!}{(x+4)!} + x^2 - 16x = 28

В числители дроби слева дважды используем рекуррентную формулу факториала, что дает нам возможность провести сокращение:

(x+4)!(x+5)(x+6)(x+4)!+x2−16x=28x2+6x+5x+30+x2−16x−28=02x2−5x+2=0 \frac{\cancel{(x+4)!}(x+5)(x+6)}{\cancel{(x+4)!}} + x^2 - 16x = 28 \\ x^2 + 6x + 5x + 30 + x^2 - 16x - 28 = 0 \\ 2x^2 -5x + 2 = 0

Решая это квадратное уравнение находим два корня уравнения:

x=2x=12\boxed{x=2} \qquad \boxed{x=\frac{1}{2}}

Уравнение б)

(2n+1)!(2n)!+(3n)!(3n−1)!=(n+1)!2n!+50\frac{(2n+1)!}{(2n)!} + \frac{(3n)!}{(3n-1)!} = \frac{(n+1)!}{2n!} + 50

Во всех дробях пользуемся рекуррентной формулой и проводим сокращение:

(2n)!(2n+1)(2n)!+(3n−1)!⋅3n(3n−1)!=n!⋅(n+1)2n!+502n+1+3n=n+12+5010n+2=n+1+1009n=99n=11 \frac{\cancel{(2n)!}(2n+1)}{\cancel{(2n)!}} + \frac{\cancel{(3n-1)!}\cdot 3n}{\cancel{(3n-1)!}} = \frac{\cancel{n!}\cdot (n+1)}{2\cancel{n!}} + 50 \\ 2n+1 + 3n = \frac{n+1}{2}+50 \quad \\ 10n + 2 = n+1 + 100 \\ 9n = 99 \\ \boxed{n = 11}

Уравнение в)

(x!)2+6=7x! (x!)^2 + 6 = 7x!

Введем обозначение x!=tx! = t и получаем обычное квадратное уравнение:

t2+6=7tt2−7t+6=0t=6t=1t^2 + 6 = 7t \\ t^2 - 7t + 6 = 0 \\ t = 6 \qquad t = 1

Возвращаемся к исходным обозначениям:

x!=6x!=1x! = 6 \qquad x! = 1

Чиcло 6 дает только 3!, а вот единицу можно получить двумя способами: 1! = 1 и 0! = 1. Мы нашли все корни уравнения:

x∈{0,1,3}x \in \set{0, 1, 3}

Уравнение г)

18!+19!=x10!\frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!}

Обе части уравнения умножаем на 10!, пользуемся рекуррентной формулой и проводим сокращения:

10!8!+10!9!=10!⋅x10!8!⋅9⋅108!+9!⋅109!=10!⋅x10!90+10=x100=x \frac{10!}{8!} + \frac{10!}{9!} = \frac{10!\cdot x}{10!} \\ \frac{\cancel{8!}\cdot 9\cdot 10}{\cancel{8!}} + \frac{\cancel{9!}\cdot 10}{\cancel{9!}} = \frac{\cancel{10!}\cdot x}{\cancel{10!}} \\ 90 + 10 = x \\ \boxed{100 = x}
Ответ
а)x∈{2,12};б) n=11;в) x∈{0,1,3};г) x=100а) x\in\set{2,\frac{1}{2}}; \quad б) \ n = 11; \quad в) \ x \in \set{0, 1, 3}; \quad г) \ x = 100

Удвоение факториала

Существует ли факториалы, которые в 2 раза больше другого факториала?
А в k раз больше?

Указание

Представьте два факториала в виде уравнения:

m!=2⋅n!m! = 2\cdot n!

Приведите его к виду:

m!n!=2\frac{m!}{n!} = 2
Решение

Если перевести условие первого вопроса на язык математики, то от нас требуется решить следующее уравнение:

m!=2⋅n!m! = 2\cdot n!

Поделим обе части уравнения на n!n!:

m!n!=2\frac{m!}{n!} = 2

Так становится уже сильно проще. Любые совпадающие множители у факториалов n!n! и m!m! будут сокращаться друг с другом. Например:

9!5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅91⋅2⋅3⋅4⋅5\frac{9!}{5!} = \frac{\cancel{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{\cancel{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}

Единственный выход — чтобы факториал сверху имел ровно на один множитель больше и этот множитель может равняться только двум.

1⋅21=2!1!=2\frac{1\cdot 2}{1} = \frac{2!}{1!} = 2

Итак, существует только один факториал, который в два раза больше другого: 2! в два раза больше 1!.

Общее решение

Тут логика точно такая же. Так как все совпадающие множители сокращаются, единственный выход — чтобы у верхнего факториала был на 1 множитель больше и этот множитель равнялся k.

Итак, существует только один факториал, который в k раз больше другого: k!k! в k раз больше (k−1)!(k-1)!.

Ответ

Существует только один факториал, который в k раз больше другого: k!k! в k раз больше (k−1)!(k-1)!. Следовательно, 2! в 2 раза больше 1!.

Разложение факториала

Докажите формулу факториала через два предыдущих факториала:

n!=[(n−1)!+(n−2)!]⋅(n−1)n! = \left[ (n-1)! + (n-2)! \right]\cdot(n-1)
Указание

Пользуйтесь рекуррентной формулой факториала.

Решение

Работать будем только с правой частью. Раскроем скобки:

n!=(n−1)(n−1)!+(n−1)(n−2)! n! = (n-1)(n-1)! + (n-1)(n-2)!

Далее для второго слагаемого воспользуемся рекуррентной формулой:

n!=(n−1)(n−1)!+(n−1)!n! = (n-1)(n-1)! + (n-1)!

Выносим за скобки (n−1)(n-1):

n!=(n−1)!(n−1+1)n!=(n−1)!⋅n n! = (n-1)!(n-1 + 1) \\ n! = (n-1)!\cdot n

Справа по все той же рекуррентной формуле получается n!n!:

n!=n!n! = n!

■\blacksquare

Нисходящий поток

Найдите значение выражения:

(10!+9!)(8!+7!)(6!+5!)(4!+3!)(2!+1!)(10!−9!)(8!−7!)(6!−5!)(4!−3!)(2!−1!)\frac{(10! + 9!)(8!+7!)(6!+5!)(4! + 3!)(2! + 1!)}{(10!-9!)(8!-7!)(6!-5!)(4!-3!)(2!-1!)}
Указание

Для каждой скобки воспользуйтесь рекуррентной формулой.

Решение

Любой множитель в выражении можно представить в виде:

k!±(k−1)!k! \pm (k-1)!

Левое слагаемое разложим по рекуррентной формуле и вынесем за скобки одинаковые части:

k⋅(k−1)!±(k−1)!(k−1)!⋅(k±1) k\cdot(k-1)! \pm (k-1)! \\ (k-1)!\cdot(k\pm 1)

С помощью полученной формулы заменим все множители в исходном выражении:

11⋅9!9⋅9!⋅9⋅7!7⋅7!⋅7⋅5!5⋅5!⋅5⋅3!3⋅3!⋅3⋅1!1⋅1! \frac{11\cdot 9!}{9\cdot 9!} \cdot \frac{9\cdot 7!}{7\cdot 7!} \cdot \frac{7\cdot 5!}{5\cdot 5!} \cdot \frac{5\cdot 3!}{3\cdot 3!} \cdot \frac{3\cdot 1!}{1\cdot 1!}

Сокращаем одинаковые факториалы:

119⋅97⋅75⋅53⋅3 \frac{11}{9}\cdot\frac{9}{7}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{5}{3}\cdot 3

Сокращаем одинаковые числа:

1111
Ответ

11

Примечание

В общем случае:

[n!+(n−1)!]⋅…⋅(2!+1!)[n!−(n−1)!]⋅…⋅(2!−1!)=n+1\frac{[n!+(n-1)!]\cdot \ldots \cdot (2! + 1!)}{[n!-(n-1)!]\cdot \ldots \cdot (2!-1!)} = n + 1

Разность соседних факториалов

Найдите, чему равна разность факториалов двух соседних чисел:

(n+1)!−n!= ?(n+1)! - n! = \ ?
Указание

Воспользуйтесь рекуррентной формулой факториала.

Решение

Для (n+1)!(n+1)! воспользуемся рекуррентной формулой факториала:

(n+1)!−n!=n!⋅(n+1)−n!=…(n+1)! - n! = n!\cdot(n+1) - n! = \ldots

Вынесем за скобки n!n! и проведем упрощение:

…=n!((n+1)−1)=n!⋅n\ldots = n!((n+1) - 1) = n!\cdot n

Убираем все промежуточные действия и получаем итоговую формулу:

(n+1)!−n!=n⋅n!(n+1)! - n! = n\cdot n!
Ответ
n⋅n!n\cdot n!

Факториальная сумма

Вычислите сумму:

1⋅1!+2⋅2!+…+n⋅n!1\cdot 1! + 2\cdot 2! + \ldots + n\cdot n!
Указание

Воспользуйтесь ответом, полученным в задаче про разность факториалов соседних чисел.

Решение

Замечаем, что каждое слагаемое в этой сумме имеет вид k⋅k!k\cdot k!. А это есть не что иное, как разность факториалов двух соседних чисел, формулу которой мы уже вывели!

k⋅k!=(k+1)!−k!k\cdot k! = (k+1)! - k!

Заменим каждое слагаемое в сумме на разность:

(2!−1!)+(3!−2!)+(4!−3!)+…+((n+1)!−n!)(2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \ldots + ((n+1)! - n!)

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, поменяем местами слагаемые в скобках:

(−1!+2!)+(−2!+3!)+(−3!+4!)+…+(−n!+(n+1)!)(-1! + 2!) + (-2! + 3!) + (-3! + 4!) + \ldots + (-n! + (n+1)!)

В таком виде сразу видно, что в этой сумме взаимоуничтожаются все слагаемые, кроме (n+1)!(n+1)! и -1!:

−1!+(2!−2!)+(3!−3!)+…+(n!−n!)+(n+1)!-1! + (2! - 2!) + (3! - 3!) + \ldots + (n! - n!) + (n+1)!

Итоговое равенство выглядит так:

1⋅1!+2⋅2!+…+n⋅n!=(n+1)!−11\cdot 1! + 2\cdot 2! + \ldots + n\cdot n! = (n+1)! - 1
Ответ
(n+1)!−1(n+1)! - 1

Факториал внутри факториала

Найдите, при каких n выполняется равенство:

(n!)!=n!⋅(n−1)!(n!)! = n!\cdot (n-1)!
Указание

Факториал от факториала раскладывается в цепочку следующим образом:

(n!)!=1⋅2⋅…⋅n⋅(n+1)⋅…⋅(n!−1)⋅n!(n!)! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n \cdot (n+1) \cdot \ldots \cdot (n! - 1) \cdot n!
Решение

Поделим обе части равенства на n!n!:

(n!)!n!=(n−1)!\frac{(n!)!}{n!} = (n-1)!

В числителе дроби слева распишем внешний факториал по определению:

1⋅2⋅…⋅n⋅(n+1)⋅…⋅(n!−1)⋅n!n!=(n−1)!\frac{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n \cdot (n+1) \cdot \ldots \cdot (n!-1) \cdot \cancel{n!}}{\cancel{n!}} = (n-1)!
(n!−1)!=(n−1)!(n!-1)! = (n-1)!

Выражения по обе стороны от знака равно теперь практически идентичны. Отличаются они только тем, что слева n!n!, а справа n. Значит, надо найти все варианты n, при которых n!=nn! = n.

n!=n1⋅2⋅…⋅(n−1)⋅n=n1⋅2⋅…⋅(n−1)=1(n−1)!=1 n! = n \\ 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot \cancel{n} = \cancel{n} \\ 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) = 1 \\ (n-1)! = 1

Факториал можен равнятся единице только если он берется от 0 или 1. Так мы и получаем искомые ответы:

n−1=0n−1=1n=1n=2n - 1 = 0 \qquad n-1 = 1 \\ \boxed{n = 1} \qquad \boxed{n = 2}
Ответ

Равенство выполняется только когда n равно 1 или 2.

Дырявые факториалы

Среди перечисленных чисел найдите все простые:

100!+2,100!+3,…,100!+100100! + 2, \quad 100! + 3, \quad \ldots, \quad 100! + 100
Указание

Число является простым, если оно делится только на 1 и только на само себя. Подумайте, а делятся ли числа из списка на что-то еще?

Решение

В общем виде у нас есть некоторое число n, причем 2≤n≤1002 \leq n \leq 100. С помощью этого n конструируется число из списка в условии:

100!+n100! + n

Если это число простое, то оно должно делиться только на 1 и на само себя. На n оно делиться нацело не должно. Проблема только в том, что оно делится:

100!+nn=100!n+nn=1⋅2⋅…n⋅…⋅100n+1=1⋅2⋅…⋅(n−1)⋅(n+1)⋅…⋅99⋅100+1 \frac{100! + n}{n} = \frac{100!}{n} + \frac{n}{n} = \frac{1\cdot 2\cdot \ldots \cancel{n} \cdot \ldots \cdot 100}{\cancel{n}} + 1 \\ = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot (n+1) \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100 + 1

В результате деления мы получили натуральное число. Это означает, что любое число вида 100!+n100! + n нацело делится на n, а значит не является простым. Простых чисел среди перечисленных в условии нет.

Ответ

Простых чисел среди перечисленных нет.

Повелитель составных чисел

Докажите, что какое число n не выбери, обязательно найдется ряд из n идущих подряд составных чисел.

Указание

Посмотрите, какие выводы можно сделать из решения задачи «Дырявые фаториалы».

Решение

В задаче «Дырявые факториалы» мы показали, что после 100! идет как минимум 99 составных чисел:

100!+2⏟1,100!+3⏟2,…,100!+100⏟100−1=99\underbrace{100! + 2}_{1}, \quad \underbrace{100! + 3}_{2}, \quad \ldots, \quad \underbrace{100! + 100}_{100-1 = 99}

Все рассуждения из той задачи можно повторить для любых чисел. Поэтому найти n подряд идущих составных чисел можно сразу после (n+1)!(n+1)!:

(n+1)!+2⏟1,(n+1)!+3⏟2,…,(n+1)!+n+1⏟(n+1)−1=n\underbrace{(n+1)! + 2}_{1}, \quad \underbrace{(n+1)! + 3}_{2}, \quad \ldots, \quad \underbrace{(n+1)! + n+1}_{(n+1)-1 = n}

■\blacksquare

Бесконечная степень

Решите уравнение:

x!x!x!⋯=1x!^{x!^{x!^{\cdots}}} = 1
Указание

Рассмотрите, какими способами можно получить 1, бесконечно возводя в степень одно и то же число.

Решение

Замечаем, что мы бесконечно возводим в степень одно и то же число. Есть только один способ получить 1 через бесконечное возведение в степень одинакового числа, когда это число само равно 1:

1=11⋯1 = 1^{1^{\cdots}}

Значит, x!x! должен равняться единице. Это происходит только в двух вариантах, при x=0x=0 и при x=1x = 1:

0!0!⋯=11⋯=11!1!⋯=11⋯=10!^{0!^{\cdots}} = 1^{1^{\cdots}} = 1 \\ 1!^{1!^{\cdots}} = 1^{1^{\cdots}} = 1
Ответ

Решения два: 0 и 1.

В паре мы сильнее!

Красивая

Докажите неравенство:

n!2≥nnn!^2 \geq n^n
Указание

Распишите обе части неравенства виде цепочек умножений. Слева будет две повторяющиеся цепочки. Подумайте, какие пары можно составить из элементов этих двух цепочек.

Решение

Распишем выражения слева и справа в виде цепочек произведений. Слева повторящиеся множители запишем в две строчки друг под другом:

1⋅2⋅…⋅(n−1)⋅n×1⋅2⋅…⋅(n−1)⋅n≥n⋅n⋅…⋅n \begin{array}{} 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \\ \times \\ 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \end{array} \geq n\cdot n\cdot \ldots \cdot n

Перепишем нижний ряд множителей слева в обратном порядке и образуем пары из элемента сверху и снизу в каждом столбце:

12…k…n−1nnn−1…n−(k−1)…21≥n⋅n⋅…⋅n \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} 1 & 2 & \ldots & k & \ldots & n-1 & n \\ n & n-1 & \ldots & n-(k-1) & \ldots & 2 & 1 \end{array} \geq n\cdot n\cdot \ldots \cdot n
[1⋅n]⋅…⋅[k⋅(n−(k−1))]⋅…⋅[n⋅1]≥n⋅n⋅…⋅n \left[1\cdot n\right]\cdot\ldots\cdot \left[k\cdot(n-(k-1))\right]\cdot\ldots\cdot \left[n\cdot 1\right] \geq n\cdot n\cdot\ldots\cdot n

Количество множителей слева и справа одинаковое. Докажем, что k-тый множитель слева будет не меньше соответствующего ему k-го множителя справа:

k⋅(n−(k−1))≥nk⋅n−k2+k≥n−k2+k+k⋅n−n≥0−k⋅(k−1)+n⋅(k−1)≥0n−k≥0n≥k k\cdot(n-(k-1)) \geq n \\ k\cdot n - k^2 + k \geq n \\ -k^2 + k + k\cdot n - n \geq 0 \\ -k\cdot (k-1) + n\cdot (k-1) \geq 0 \\ n - k \geq 0 \\ n \geq k

Последнее очевидно выполняется всегда, ведь номер множителя k не может оказаться больше общего количества множителей n.

А раз каждый множитель слева не меньше каждого множителя справа, то и произведение всех множителей слева будет не меньше произведения всех множителей справа. Неравенство доказано.

■\blacksquare

Потрошитель умножений

Докажите неравенство:

2!4!…(2n)!>[(1+n)!]2,n≥22!4!\ldots(2n)! > \left[(1+n)!\right]^2, \quad n \geq 2
Указание

Покажите, что каждый множитель слева будет больше соответствующего ему множителя справа.

Отдельно рассмотрите случай с последними множителями. Используйте свободный множитель 2! слева, который никак не компенсируется множителем справа.

Решение

Если n≥2n\geq 2, то можно построить следующую таблицу множителей:

Номер множителя:12…k…nЛевый:2!4!…(2k)!…(2n)!Правый:1222…k2…n2(n+1)2 \begin{array}{r|} \small Номер \ множителя: & 1 & 2 & \ldots & k & \ldots & n & \\ \small Левый: & 2! & 4! & \ldots & (2k)! & \ldots & (2n)! & \\ \small Правый: & 1^2 & 2^2 & \ldots & k^2 & \ldots & n^2 & (n+1)^2 \end{array}

Докажем, что произвольный k-ый множитель слева больше соответствующего ему k-го множителя справа:

(2k)!>k2(2k)! > k^2

В факториале в левой части точно встретятся множители k и k+1k+1, произведение которых будет точно больше, чем k2k^2:

…k⋅(k+1)…⏟(2k)!>k2 \underbrace{\ldots k\cdot (k+1) \ldots}_{(2k)!} > k^2

Отдельно надо разобраться с самыми последними множителями слева и справа, ведь справа есть один дополнительный множитель — (n+1)2(n+1)^2, для которого нет множителя слева:

(2n)!>n2⋅(n+1)2 (2n)! > n^2\cdot(n+1)^2

Так как n≥2n \geq 2, то в левой части неравенства факториал как минимум содержит 4 множителя:

…(n−1)⋅n⋅(n+1)⋅(n+2)…>n2⋅(n+1)2 \ldots (n-1)\cdot n\cdot (n+1)\cdot (n+2) \ldots > n^2\cdot(n+1)^2

Этой левой части нам не хватит. Сейчас она меньше правой. К счастью, мы можем подтащить 2! из самого первого множителя, так как соответствующий ему справа равен 121^2 и никак ее не компенсирует:

…2⋅(n−1)⋅n⋅(n+1)⋅(n+2)…>n2⋅(n+1)22⋅(n2+2n−n−2)>n2+n2n2−n2+4n−2n−n−4>0n2+n>4 \ldots \textbf{2} \cdot (n-1)\cdot \cancel{n\cdot (n+1)}\cdot (n+2) \ldots > n^{\cancel{2}}\cdot(n+1)^{\cancel{2}} \\ 2\cdot(n^2 + 2n -n - 2) > n^2 + n \\ 2n^2 - n^2 + 4n - 2n - n - 4 > 0 \\ n^2 + n > 4

Последнее верно, так как n≥2n\geq 2, а значит в худшем случае получится 6 > 4.

Итак, каждый множитель слева больше соответствующего ему множителя справа. А последний множитель слева вместе с 2 из первого множителя оказываются больше, чем последний множитель справа вместе с добавкой (n+1)2(n+1)^2.

■\blacksquare

Поиск нулей факториала

Сколько нулей в конце факториала 100?
А у факториала 526? А в общем случае у факториала n?

Указание

Для получения 0 в конце числа нужно, чтобы среди его множителей оказались числа 2 и 5. Так как среди множителей факториала четных чисел больше тех, что делятся на 5, то про двойки можно забыть и нолей в конце у него будет ровно столько, сколько пятерок получится выделить из его множителей.

Решение

Как получить 0 в конце числа? Достаточно, чтобы среди его множителей оказались числа 2 и 5. При перемножении они дают 10, нолик от которой идет в конец числа:

30=5⋅6=2⋅5⋅31100=11⋅10⋅10=11⋅2⋅5⋅2⋅530 = 5\cdot 6 = \boxed{2\cdot 5} \cdot 3 \qquad 1100 = 11\cdot10\cdot 10 = 11\cdot \boxed{2\cdot 5} \cdot \boxed{2\cdot 5}

Распишем первые множители в факториале 100:

100!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10…100! = 1\cdot \textbf{2}\cdot 3\cdot \textbf{4}\cdot \boxed{5}\cdot \textbf{6}\cdot 7 \cdot \textbf{8} \cdot 9 \cdot \boxed{10} \ldots

В этой цепочке умножений мы видим, что между каждым числом, которое делится на 5, то есть из него можно «вытащить» пятерку, всегда есть два четных числа, из которых можно «вытащить» двойку.

Получается, «двоек» всегда больше «пятерок». Недостатка двоек не возникнет. Можно сконцентрироваться только на пятерках. У факториала будет столько нулей в конце, сколько пятерок мы сможем «вытащить» из его цепочки умножений.

Найдем, сколько в 100! есть чисел, которые как минимум один раз делятся на 5, то есть из них можно «вытащить» хотя бы одну пятерку:

5, 10, 15, 20, 25, …5, \ 10, \ 15, \ 20, \ 25, \ \ldots

Можно не считать их вручную, а сразу найти количество:

100:5=20100 : 5 = 20

20 пятерок, а значит и 20 нулей в конце факториала 100 у нас уже есть. Но это еще не все. Среди множителей есть числа, в разложении которых есть сразу две пятерки: 25, 50, ... Одну из этих пятерок мы уже вытащили выше, но надо учесть еще и вторую пятерку! Найдем количество таких чисел, которые дважды можно разделить на 5:

100:5:5=100:52=100:25=4100 : 5 : 5 = 100 : 5^2 = 100 : 25 = 4

Это еще 4 неучтенные пятерки, что дает уже 20 + 4 = 24 нуля в конце 100!.

Среди множителей 100! нет чисел, которые в разложении дают сразу 3 пятерки, потому что первое такое число равно 125.

100:5:5:5=100:53=100:125=0.8100 : 5 : 5 : 5 = 100 : 5^3 = 100 : 125 = 0.8

Целая часть ⌊0.8⌋\lfloor 0.8 \rfloor равна 0. Это и означает тот очевидный факт, что среди чисел от 1 до 100 нет таких, которые делятся на 5 трижды.

Больше пятерок не осталось, мы выжали все. На этом наша работа закончена. 100! имеет 24 нуля в конце.

Общий случай

Если обобщить полученный нами алогритм, то для нахождения количества нулей в n!n! надо выжать из него все пятерки. Для этого мы делим n на 515^1, 525^2, 535^3 и так далее до тех пор, пока целая часть от деления не станет равна 0. Затем просто складываем полученные целые части:

⌊n51⌋+⌊n52⌋+⌊n53⌋+ …\left\lfloor \frac{n}{5^1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + \ \ldots

Найдем количество нулей в конце у 1234!:

⌊5265⌋⏟105+⌊52625⌋⏟21+⌊526125⌋⏟4+⌊526525⌋⏟1+⌊5262625⌋⏟0==105+21+4+1=131 \underbrace{\floor{\frac{526}{5}}}_{105} + \underbrace{\floor{\frac{526}{25}}}_{21} + \underbrace{\floor{\frac{526}{125}}}_{4} + \underbrace{\floor{\frac{526}{525}}}_{1} + \underbrace{\floor{\frac{526}{2625}}}_{0} = \\ = 105 + 21 + 4 + 1 = \boxed{131}
Ответ

У 100! в конце 24 нуля. У 526! в конце 131 ноль.

В общем случае, для нахождения количества нулей в конце n!n!, надо последовательно складывать целые части от деления n на степени 5:

⌊n51⌋+⌊n52⌋+⌊n53⌋+ …\left\lfloor \frac{n}{5^1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + \ \ldots

Поиск нулей факториала

Аналог 1

Найдите количество нулей в конце {{{ n }}}.

Ответ

{{{ answer }}}

Поиск нулей факториала

Аналог 2

Найдите количество нулей в конце числа:

{{{ expression }}}

Решение

Если расписать факториалы по определению, то это выражение окажется одной огромной цепочкой из множителей. Количество пятерок в ней будет определять количество нулей в конце.

Но эта длинная цепочка состоит из повторяющихся сегментов — факториалов числа {{{ n }}}. В этих повторяющихся сегментах одинаковое количество пятерок.

Находим количество пятерок в одном сегменте и умножаем на количество сегментов — {{{ m }}}.

Ответ

{{{ answer }}}

Поиск нулей факториала

Аналог 3

Найдите количество нулей в конце числа:

{{{ expression }}}

Решение

При делении одного числа на другое количество нулей сокращается:

123000400=1230\frac{1230\cancel{00}}{4\cancel{00}} = 1230

Было 3 нуля сверху и 2 снизу, остался только 3 - 2 = 1. В общем случае, если у числа сверху n нулей, а снизу m нулей, то останется n−mn-m нулей.

Далее, если число возводится в квадрат, то количество его нулей удваивается:

102=10⋅10=1001002=100⋅100=10000…10^2 = 10\cdot 10 = 100 \qquad 100^2 = 100\cdot 100 = 10000 \qquad \ldots

Если же число возводится в куб, то количество нулей утраивается:

103=10⋅10⋅10=1000…10^3 = 10\cdot 10 \cdot 10 = 1000 \quad \ldots

Для решения задачи надо найти количество нулей у факториала сверху. Потом найти нули факториала снизу и удвоить или утроить их, в зависимости от степени. Наконец, вычесть из верхних нулей нижние.

Ответ

{{{ answer }}}

Поиск факториалов по нулям

Найдите все факториалы, в конце которых будет ровно 10 нулей.
А какие имеют в конце ровно 11 нулей?

Указание

Перечисляйте факториалы всех чисел, которые делятся на 5 и считайте количество добавляющихся в конце нулей.

Решение

Первый ноль появляется у 5!, потому что там впервые встречается 5. Далее по одному нулю добавляется через каждые 5 чисел:

5!110!215!320!45!_1 \quad 10!_2 \quad 15!_3 \quad 20!_4

Факториал 25! добавляет сразу два нуля и будет добавлять так через каждые 25 чисел:

25!630!735!840!945!1025!_6 \quad 30!_7 \quad 35!_8 \quad 40!_9 \quad 45!_{10}

С этого момента все факториалы будут иметь 10 нулей вплоть до 50!, в котором добавится еще два нуля. Это и есть ответ на первый вопрос задачи:

45!1046!1047!1048!1049!1045!_{10} \quad 46!_{10} \quad 47!_{10} \quad 48!_{10} \quad 49!_{10}

Факториал 50! добавит еще два нуля, что в сумме даст 12. Не существует факториалов, которые имеют 11 нулей.

Ответ

Факториалы с 10 нулями в конце:

45!46!47!48!49!45! \quad 46! \quad 47! \quad 48! \quad 49!

Факториалов с 11 нулями в конце не существует.

Поиск множителей

Найдите такой наибольший показатель степени для числа 12n12^n, чтобы оно нацело делило число 49!.

Указание

Алгоритм поиска количества множителей точно такой же, как и в задаче про поиск нулей.

Решение

Разложим 12 на простые множители:

12=3⋅2⋅212 = 3\cdot 2 \cdot 2

Итак, нам нужно найти все тройки в 49! и при этом убедиться, что нам хватит двоек для того, чтобы получить 12.

Сначала найдем все тройки в 49!:

⌊493⌋+⌊499⌋+⌊4927⌋=16+5+1=22\floor{\frac{49}{3}} + \floor{\frac{49}{9}} + \floor{\frac{49}{27}} = 16 + 5 + 1 = 22

Это значит, что число 49! в теории может поделиться на 122212^{22}, если для каждой из этих 22 троек мы найдем по две двойки. То есть нам нужно 44 двойки. Найдем количество двоек в 49!:

⌊492⌋+⌊494⌋+⌊498⌋+⌊4916⌋+⌊4932⌋==24+12+6+3+1=46 \floor{\frac{49}{2}} + \floor{\frac{49}{4}} + \floor{\frac{49}{8}} + \floor{\frac{49}{16}} + \floor{\frac{49}{32}} = \\ = 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 46

Количество двоек еле-еле хватило, но все же хватило. Значит, 49! делится на 122212^{22}, а ответ задачи равен 22.

Ответ

n=22n = 22

Возрастающий факториал

Возрастающий факториал определяется следующим образом:

nk‾=n⋅(n+1)⋅…⋅(n+(k−1))n^{\overline{k}} = n\cdot(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+(k-1))

  1. Найдите формулу nk‾n^{\overline{k}} через обычный факториал.

  2. Выведите эту же формулу с помощью формулы убывающего факториала.

Указание

В первом случае воспроизведите алгоритм доказательства формулы убвающего факториала.

Во втором просто «переверните» возрастающий факториал. Так он превратиться в убывающий.

Решение

Через обычный факториал

Распишем возрастающий факториал по определению:

nk‾=n⋅(n+1)⋅…⋅(n+(k−1))n^{\overline{k}} = n\cdot(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+(k-1))

Допишем к этой цепочке слева множители с 1 по n−1n-1. Чтобы ничего не изменилось, на них же и разделим:

nk‾=1⋅2⋅…⋅(n−1)⋅n⋅(n+1)⋅…⋅(n+(k−1))1⋅2⋅…⋅(n−1)n^{\overline{k}} = \frac{ \textcolor{#bc8d3e}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1)} \cdot n \cdot (n+1) \cdot \ldots \cdot (n+(k-1)) }{ \textcolor{#bc8d3e}{1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1)} }

Сверху у нас получается факториал n+k−1n+k-1, а снизу факториал n−1n-1:

nk‾=(n+k−1)!(n−1)!n^{\overline{k}} = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}

Через убывающий факториал

В возрастающем факториале nk‾n^{\overline{k}} количество множителей равно k. Если его «перевернуть», то получится убывающий факториал с таким же количеством множителей. Начинаться он будет с конца, то есть с множителя n+k−1n+k-1. Подставляем эти данные в формулу убывающего факториала:

nk‾=(n+k−1)k‾=(n+k−1)!((n+k−1)−k)!=(n+k−1)!(n−1)!n^{\overline{k}} = (n+k-1)^{\underline{k}} = \frac{(n+k-1)!}{\left((n+k-1) - k\right)!} = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}
Ответ
nk‾=(n+k−1)!(n−1)!n^{\overline{k}} = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}

Полная разность факториалов

Чему равна разность m!−n!m! - n! двух произвольных чисел m и n при условии, что m>nm>n?

Указание

Обозначьте разность m−nm-n буквой k.

Ход решения такой же, как и в задаче про разность факториалов соседних чисел.

Решение

Cначала найдем разницу между m и n и обозначим ее за k:

k=m−nk = m - n

Тогда разницу факториалов можно записать иначе:

m!−n!=(n+k)!−n!=…m! - n! = (n + k)! - n! = \ldots

Теперь последовательно применяем рекуррентную формулу факториала, пока (n+k)!(n+k)! не превратится в n!n!:

…=n!⋅(n+1)⋅(n+2)⋅…⋅(n+k)−n!=…\ldots = n!\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdot\ldots\cdot (n+k) - n! = \ldots

Выносим за скобки n!n!, а цепочку умножений можно «упаковать» в возрастающий факториал:

…=n!⋅((n+1)k‾−1)\ldots = n! \cdot \left((n+1)^{\overline{k}} - 1\right)

Убираем все промежуточные действия, заменяем k обратно на m−nm-n и получаем итоговую формулу:

m!−n!=n!⋅((n+1)m−n‾−1)m! - n! = n!\cdot\left((n+1)^{\overline{m-n}} - 1\right)
Ответ
n!⋅((n+1)m−n‾−1)n!\cdot\left((n+1)^{\overline{m-n}} - 1\right)

Факторионы

Нестандартная

Факторионами называют такие числа, которые равны сумме факториалов своих цифр:

145=1!+4!+5!145 = 1! + 4! + 5!

Бесконечно ли количество факторионов?

Указание

Сравните минимальное n-значное число с максимальным числом, которое может получиться от суммы n факторионов.

Решение

Минимальное число из 3 цифр это 100. Из четрых цифр — 1000:

100⏟3 знака=1021000⏟4 знака=103\underbrace{100}_{3 \ знака} = 10^2 \qquad \underbrace{1000}_{4 \ знака} = 10^3

Замечаем, что минимальное число из n цифр это всегда 10n−110^{n-1}.

С другой стороны, максимальное число, которое может выдать сумма из n факториалов, это n раз сложить 9!:

9!+9!+…⏟n раз=n⋅9!\underbrace{9! + 9! + \ldots}_{n \ раз} = n\cdot 9!

Если даже минимальное число из n цифр (10n−110^{n-1}) окажется больше, чем в теории может выдать максимальная сумма из n факториалов (n⋅9!n\cdot 9!), то факторионов для чисел из n цифр не существует:

10n−1>n⋅9!10^{n-1} > n\cdot 9!

На это этапе кому-то уже может все стать понятно. Слева у нас степенная функция, которая растет быстрее линейной, поэтому наступит такой момент, когда левая часть станет большое правой. Впервые это случится при n=8n=8. Впрочем, даже без этих знаний о функциях неравенство можно доказать.

Получается, не существует факторионов из 8 и более цифр. Это означает, что все существующие факторионы прячутся где-то среди чисел от 1 до 9 999 9999 \ 999 \ 999. Найти их, кроме очевидных 1 и 2, можно при помощи прямого перебора на компьютере.

Примечание

Понятие «факторион» придумал в 1995 году американский математик Клиффорд Пиковер, хотя задача с таким условием была известна и ранее. Всего существует 4 факториона:

1=1!2=2!145=1!+4!+5!40585=4!+0!+5!+8!+5! \begin{align*} &1 = 1! \\ &2 = 2! \\ &145 = 1! + 4! + 5! \\ &40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5! \end{align*}
Придумать задания с возр. и убв. факториалами!
Добавить задачи с двойными факториалами!

Там красивые прямые формулы можно для четных и нечетных чисел. Да и примеры всякие есть.

Превью