Обыкновенная дробь

Записываем дроби с использованием дробной черты, узнаем про числитель и знаменатель, изучаем правильные дроби и раскрываем страшные секреты неправильных дробей.

В предыдущей теме для записи дробей мы использовали либо частично закрашенные круги, либо фразы по типу «3 части из 8». Проблема в том, что оба этих способа занимают много места. Их неудобно использовать в математических расчетах.

Поэтому математики придумали удобный вариант записи. Достаточно в фразе «3 части из 8» вместо слов между числами поставить черточку, которую называют дробной чертой. Получаем 3/8 или $\small\dfrac{3}{8}$ . Такую запись называют «обыкновенной дробью».

Обыкновенная дробь — дробь, записанная с использованием дробной черты. В общем виде $a/b$ или $\small\dfrac{a}{b}$ . Число b называется знаменателем и означает, на сколько частей был поделен объект. Число a называется числителем и означает, сколько частей было «взято».

Теперь мы знаем, как коротко записывать дроби. Потренируемся это делать! В качестве «подопытных» используем словестные описания и картинки.

Запишите в виде обыкновенных дробей:

«1 кусок пиццы из 3»
«2 доли из 4»
«3 части из 3»
«0 частей из 2»

Решение

Рассмотрим фразу «1 кусок пиццы из 3». Мы взяли 1 кусок, поэтому это будет нашим числителем. А всего пицца была разрезана на 3 куска, это наш знаменатель. Получаем вот такую обыкновенную дробь:

1/3 \ \text{ или } \ \frac{1}{3}

Остальные пункты делаются точно так же:

\frac{2}{4} \qquad \frac{3}{3} \qquad \frac{0}{2}

Запишите в виде обыкновенных дробей:

Решение

На первом рисунке изображен круг, который поделен на 6 частей. Значит, знаменатель нашей дроби равен 6. Заштриховано 3 куска, значит числитель равен 3. Получаем обыкновенную дробь:

3/6 \ \text{ или } \ \frac{3}{6}

Остальные пункты делаются точно так же:

\frac{2}{4} \qquad \frac{2}{5}

Важно не только правильно записывать обыкновенные дроби, но еще и правильно их произносить вслух. Правило очень простое: называем числитель, а затем знаменатель с окончанием «-ых». Если числитель заканчивается на 1, то зачитываем ее как «одна», а у знаменателя окончание будет «-ая».

Произнесите дроби вслух:

\frac{1}{2} \qquad \frac{15}{19} \qquad \frac{31}{87} \qquad \frac{1178}{5651}

Решение

Одна | вторая
Пятнадцать | девятнадцатых
Тридцать одна | восемьдесят седьмая
Тысяча сто семьдесят восемь | пять тысяч шестьсот пятьдесят первых

Виды обыкновенных дробей

Обыкновенная дробь состоит из двух чисел: сколько частей «взяли» (числитель) и сколько всего частей было (знаменатель). Кажется вполне очевидным, что числитель всегда меньше знаменателя.

Мы ведь не можем съесть больше кусков пиццы (числитель), чем общее количество кусков (знаменатель). Правильно? Правильно! Кстати, такие дроби как раз и называют «правильными».

Правильная дробь — обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Примеры правильных дробей

\frac{1}{2} \qquad \frac{7}{10} \qquad \frac{24}{79} \qquad \frac{302}{303}

Думаю, вы уже догадались, что если есть правильные дроби, то должны быть и неправильные. Все так!

Неправильная дробь — обыкновенная дробь, у которой числитель равен или больше знаменателя.

Примеры неправильных дробей

\frac{2}{2} \qquad \frac{10}{7} \qquad \frac{79}{24} \qquad \frac{88}{88} \qquad \frac{303}{302}

Смысл неправильных дробей

С правильными дробями все понятно и логично. Мы разрезали объект на какое-то количество частей и некоторые из них «взяли». А какой же смысл имеют неправильные дроби?

Разберемся сначала с дробями, в которых числитель и знаменатель равны. Например, дробь $\small\dfrac{3}{3}$ . Как ее понимать? Представим, что у нас есть пирог. Мы разрезрали его на 3 куска. После этого мы съели все 3 из 3, то есть съели весь пирог целиком!

Это еще более-менее понятно. А как же быть с дробями, у которых числитель больше знаменателя, например $\small\dfrac{4}{3}$ или $\small\dfrac{6}{3}$ ? Съев $\small\dfrac{4}{3}$ пирога вы съедаете один пирог целиком (3 куска) и еще 1 кусок от несуществующего следующего пирога! А дробь $\small\dfrac{6}{3}$ означает, что вы съели два пирога: один настоящий и еще один воображаемый!

Целый пирог; Целый пирог и один кусок от второго; Два целых пирога

Как видите, такие дроби могут обозначать как целый объект (3/3), так и «часть», которая больше целого объекта (4/3). Выглядит это странно. Поэтому они и называются неправильными. Но несмотря на свою неправильность, их можно и часто даже удобно использовать в вычислениях.

На вечеринку заказали несколько пицц одинакового размера. Каждую разрезали на равные куски. Саша съел $\small\dfrac{12}{6}$ от пиццы. Сколько пицц съел Саша на самом деле? А как в виде дроби записать 1 целую пиццу и еще 2 куска от следующей?

Решение

У нас есть неправильная дробь $\small\dfrac{12}{6}$ . Ее знаменатель равен 6, то есть пицца поделена на 6 кусков. Саша же съел 12 кусков, то есть по факту он съел 12 : 6 = 2 пиццы.

Теперь отвечаем на второй вопрос. Мы уже знаем, что одна пицца состоит из 6 кусков. Но мы берем еще 2 куска от следующей. Значит всего мы взяли 6+2=8 кусков. Получаем неправильную дробь $\small\dfrac{8}{6}$ .

Дробь как деление

Рассмотрим неправильную дробь $\small\dfrac{6}{6}$ . По аналогии с пирогами получается, что мы его на 6 кусков разрезали и эти же 6 кусков и съели. То есть эта дробь по сути обозначает 1 целый cъеденный пирог.

Аналогично дробь $\small\dfrac{4}{2}$ означает уже 2 целых съеденных пирога, по два куска в каждом. Можно записать это так:

\frac{6}{6} = 1 \qquad \frac{4}{2} = 2

С другой стороны, если чисто по арифметике поделить 6 на 6, то мы получим 1. А если 4 поделить на 2, то получим 2.

\frac{6}{6} = 6 : 6 = 1 \qquad \frac{4}{2} = 4:2 = 2

Такой подход можно попробовать и на более сложных дробях, например, на дроби $\small\dfrac{5}{3}$ . В этом случае мы съели 1 целый пирог (то есть 3 куска) и еще 2 куска от второго.

\frac{5}{3} = 5 : 3 = 1 \ \ (2 \ \text{в остатке})

В вычислениях дробная черта «/» выполняет функцию знака деления «:»!

Вычислите:

\text{1)} \ \frac{2}{2} \qquad \text{2)} \ \frac{36}{6} \qquad \text{3)} \ \frac{19}{9} \\[10px] \text{4)} \ \frac{2}{3} \qquad \text{5)} \ \frac{\frac{240}{10}}{6} \qquad \text{6)} \ 2\cdot\frac{4\cdot\frac{6}{3}}{2}

Решение

\text{а)} \ \frac{2}{2} = 2:2 = 1 \\ \text{б)} \ \frac{36}{6} = 36:6 = 6 \\ \text{в)} \ \frac{19}{9} = 19:9 = 2 \ \ (1 \ \text{в остатке}) \\ \text{г)} \ \frac{2}{3} = 2:3 = 0 \ \ (2 \ \text{в остатке}) \\ \text{д)} \ \frac{\frac{240}{10}}{6} = \frac{240:10}{6} = \frac{24}{6} = 24:6 = 4 \\ \text{6)} \ 2\cdot\frac{4\cdot\frac{6}{3}}{2} = 2\cdot\frac{4\cdot 2}{2} = 2\cdot\frac{8}{2} = 2\cdot 4 = 8

Дробь как целое число

Мы уже разобрались, что некоторые неправильные дроби по сути являются целыми числами. Например, дробь 6/3 означает целое число 2.

Возникает вопрос. А можно ли вообще любое целое число записать в виде дроби? Конечно можно, причем для этого есть очень удобный способ!

Вспоминаем, что по сути знаменатель показывает, на сколько всего частей мы разрезали объект. Если всего частей 1, то по факту эта одна единственная «часть» и есть сам объект целиком! Тогда дробь $\small\dfrac{2}{1}$ означает, что мы даже не резали объект, а сразу «взяли» его целиком 2 раза!

\frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 2 \qquad \frac{555}{1} = 555

Число 0 тоже можно записать в виде дроби $\small\dfrac{0}{1}$ . В этом случае мы вообще ничего не «берем» от объекта (числитель равен 0), а «ничего» по сути и является числом 0.

Получается интересная ситуация. Дроби, которые изначально создавались для описания «части от целого», оказывается, могут обозначать не только части, но и вообще любые целые числа!

Любое целое число можно записать в виде дроби!

Запишите число 9 в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой не равен 1!

Решение

Самым очевидным вариантом было бы просто записать $\small\dfrac{9}{1}$ , но по условию знаменатель не должен равняться 1.

Тогда нам надо придумать, какое деление даст в результате число 9. Один из вариантов — поделить 72 на 8. После этого просто меняем знак деления на дробную черту:

9 = 72:8 = \frac{72}{8}