Квадратные уравнения

Сад ломает уравнения!

Почти все элементарные уравнения мы решаем путем упрощения их шаг за шагом до тех пор, пока не получим тривиальное равенство вида x = A или A = x (что одно и то же), где A это какое-то число, которое и является решением уравнения. Может показаться, что теперь мы всесильны и можем решать вообще любые уравнения!

Ну что же, давайте это проверим! Представьте себе роскошный сад площадью 36 квадратных метров. Известно, что одна сторона этого сада на 5 метров длиннее другой. Какова длина каждой стороны сада? Обозначаем длину меньшей стороны сада за x метров, тогда длина большей стороны будет равна x + 5 метров. Площадь сада равна произведению его сторон, то есть получаем уравнение:

x(x+5) = 36

Ну и что с этим делать?
Можно раскрыть скобки, можно сгруппировать все данные на одной стороне. Но как будто все становится только хуже… Попробуйте самостоятельно попытаться получить решение.

x^2 + 5x = 36

x^2 + 5x - 36 = 0

???

Как ни крути, что-то не получается привести это уравнение к виду x = A и получить красивый ответ. Ведь переменная у нас как в виде $x^2$ , так и в виде x. И они неподобны, их нельзя объединить. Что делать с такими монстрами?! Неужели просто пытаться угадать ответ?

Негоже, когда чертов сад на заднем дворе может сломать наши уравнения и завести нас в тупик! Надо срочно придумать, как решать подобные уравнения!

Квадратное уравнение

Чтобы решать квадратные уравнения, надо сначала понять, с чем мы имеем дело. Кажется очевидным квадратными считать уравнения, в которых есть $x^2$ . Но, как и всегда, самое очевидное решение может оказаться не самым лучшим. У такого подхода есть серьезные недостатки:

1
Квадрата может не быть, а уравнение все равно квадратное!
В примере с садом выше мы уже убедились, что квадратным может оказаться уравнение, в котором вообще нет никаких квадратов.
$x(x+5) = 36$
2
Квадрат может быть, а уравнение не квадратное!
Иногда имеющийся $x^2$ в процессе преобразований уничтожается и роли никакой не играет:
$x^2 + x = x^2 + 5 \\ \brand{ - \ x^2 \ } | \ x^2 + x = x^2 + 5 \ | \brand{ - x^2 } \\ - \cancel{x^2} + \cancel{x^2} + x = \cancel{x^2} + 5 - \cancel{x^2} \\ \boxed{x = 5}$

Наш враг хитер и коварен! Квадратные уравнения могут мимикрировать, пряча свой квадрат, а могут, имея явный квадрат, вовсе не являться квадратными! Но математики тоже не промах и смогли придумать классный способ точно определить, является ли уравнение квадратным или нет.

Как и в любом хорошем детективе, сначала математики проанализировали все уравнения и выделили «модус операнди», общий портрет, который характерен для всех квадратных уравнений. Этот портрет они совершенно вульгарно назвали квадратным трехчленом.

Квадратный трехчлен

Любой многочлен, записанный в следующем виде:

Ax^2 + Bx + C, \quad A \neq 0

Примеры:

\underset{{\large\phantom{A}} A = 3, \ B = 1, \ C=10 {\large\phantom{A}}}{3x^2 + x + 10}

\underset{{\large\phantom{A}} A = 1, \ B = 0, \ C=-5 {\large\phantom{A}}}{x^2 - 5}

\underset{{\large\phantom{A}} A = -1, \ B = 0, \ C=0 {\large\phantom{A}}}{-x^2}

Почему квадратный?
Потому что в нем обязательно есть $x^2$ , «икс в квадрате».
Почему трехчлен?
Потому что состоит из трех слагаемых (одночленов): $Ax^2$ , Bx и C. А даже если их и меньше, как например у $x^2 + 3$ , то недостающее слагаемое можно считать равным нулю: $x^2 + 0x + 3$ .
Почему $A \neq 0$ ?
Потому что при A = 0, $x^2$ обнуляется и исчезает. И многочлен уже никакой не квадратный! «Квадрата», то есть второй степени, в нем нет.

Вполне естественно, что все эти многочисленные упоминания «членов» вызывают смешки, особенно у скучающих на уроках подростков: одночлен, двучлен, трехчлен, многочлен… Трехчленам в этом плане не повезло больше всех, ведь им и вытекающим из них квадратным уравнениям достается львиная доля учебного времени. В итоге, словно в акте отчаянного бунта против принудительной закачки знаний, руками гениальных анонимных художников из 7 «Г» класса человечество получило бессмертные произведения искусства про квадратные трехчлены. Один раз это увидев, развидеть уже невозможно…

Теперь уже известный общий портрет, форму квадратного трехчлена, можно использовать для сотавления твердого и четкого определения квадратных уравнений.

Квадратное уравнение

Общим видом квадратного уравнения называется любое уравнение, в котором с одной стороны стоит квадратный трехчлен, а с другой ноль:

\underbrace{\overbrace{Ax^2 + Bx + C}^{\text{Квадратный трехчлен}} = 0}_{\text{Квадратное уравнение}}, \quad A \neq 0

Любое уравнение, которое имеет этот общий вид или может быть к нему сведено преобразованиями, называется квадратным уравнением.

Важна степень, а не положение!

Подавляющее количество новичков путается при определении коэффициентов A, B и C в квадратном уравнении. Коэффициенты привязаны к x и его степени. А вот положения, в которых они стоят, не имеют значения!

1
Коэффициент A всегда стоит рядом с $x^2$ .
2
Коэффициент B всегда стоит рядом с x.
3
Коэффициент C всегда стоит в одиночестве. Никаких иксов рядом с ним нет!

Рассмотрим пример $-3 + 4x^2 - 2x = 0$ . Помним, что A всегда перед $x^2$ , поэтому он равен 4. B всегда перед x, поэтому он равен –2. В одиночестве стоит –3, это коэффициент C.

Теперь мы узнали врага в лицо и поняли, что коэффициенты зависят не от положения в уравнении, а от того, рядом с какой степенью x они стоят. Давайте потренируемся определять, являются ли уравнения квадратными и находить их коэффициенты A, B и C.

Квадратное или нет?

Проверьте, какие из уравнений являются квадратными, а какие нет. Если уравнение квадратное, приведите его к общему виду и найдите, чему равны его коэффициенты A, B и C.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{lllll} 1) & 2x^2 + 3x - 5 = 0 && 2) & 3x + 5 = 0 \\ 3) & - 4 + x^2 = 0 && 4) & x^2 = 5 \\ 5) & x^2 + x = 0 && 6) & x(x + 1) = 0 \\ 7) & (x - 2)(x + 3) = 5 && 8) & 3 = x^2 + x \\ 9) & x + \dfrac{1}{x} = 2 && 10) & x^2 + 2x = x^2 \\ \end{array}

Новички и в целом плохо разобравшиеся в этой теме люди регулярно путаются и используют термины «квадратный трехчлен» и «квадратное уравнение» как синонимы. На всякий случай еще раз внесем ясность. Квадратный трехчлен и квадратное уравнение это и близко НЕ одно и то же, а совершенно разные математические объекты! Квадратный трехчлен это просто выражение определенного вида, которое может (и будет позже) использоваться для самых разнообразных целей:

x^2 + 2x + 3

y^2 - 3

t^2

Иногда квадратные трехчлены могут встретится в уравнениях. Тогда такие уравнения мы называем «квадратными»:

\underbrace{\overbrace{10x^2 - 20x + 100}^{\text{Квадратный трехчлен}} = 0}_{\text{Квадратное уравнение}}

Не путайте эти два понятия!

Неполное квадратное уравнение

Прежде чем браться за решение полноценных квадратных уравнений общего вида, давайте сначала начнем с чего-нибудь попроще. Бывает так, что у квадратного уравнения отсутствуют какие-то части из общего вида. Такие квадратные уравнения называются неполными.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, у которого равен нулю коэффициент B или C или оба сразу:

\underbrace{x^2 + x = 0}_{C = 0}

\underbrace{3x^2 + 8 = 0}_{B = 0}

\underbrace{10x^2 = 0}_{B = 0 \ и \ C = 0}

Кстати, коэффициент A тоже может быть равен нулю, но тогда это будет уже не квадратное, а самое обыкновенное линейное уравнение с x в первой степени.

Хорошая новость состоит в том, что такие неполные квадратные уравнения решаются очень просто! Если нулю равен коэффициент B, то в уравнении нет x и его можно решить так же, как и элементарные уравнения — упростив его одинаковыми действиями с обеих сторон до тривиального вида $x^2 = \cdots$ .

Примеры уравнений при B = 0

Решите неполные квадратные уравнения:

1) \quad 10x^2 = 0

2) \quad x^2 - 16 = 0

3) \quad x^2 + 25 = 0

4) \quad \frac{x^2}{4} - 9 = 0

Если нулю равен коэффициент C, то достаточно вынести за скобки x и представить уравнение в виде произведения множителей, которое равно нулю. Отработке таких уравнений посвящена отдельная задача в теме про элементарные уравнения, но повторим суть еще раз.

Предположим, нам надо решить уравнение $x^2 + x = 0$ . Выносим x за скобки и получаем x(x + 1) = 0. Чтобы получить 0 в левой части, достаточно, чтобы любой из двух множителей (x и x + 1) стал равен нулю. Если множитель x станет равным 0, то уже не важно, что там будет в скобках, ведь на эту скобку умножится 0 и вся левая часть целиком станет равна 0. Точно так же если внутри скобок получится 0, то есть при x = –1 уже этот ноль из скобок умножится на x рядышком и вся левая часть целиком станет равна 0. То есть наше уравнение разбивается на два под-уравнения:

Получили два решения уравнения: 0 и –1.

Примеры уравнений при C = 0

Решите неполные квадратные уравнения:

1) \quad x^2 + 5x = 0

2) \quad -10x = 4x^2

3) \quad \frac{x^2}{3} = 7x

Итак, любые неполные квадратные уравнения можно довольно просто решить, не прибегая к сложным и хитрым преобразованиям. Ах если бы так просто можно было решать и квадратные уравнения в общем виде! Но там все несколько сложнее…

Выделение полного квадрата

Есть две замечательные и очень полезные формулы, которые называются «квадратом суммы» и «квадратом разности». Выглядят они вот так:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Это две из трех формул сокращенного умножения (ФСУ). В их верности вы можете убедиться, если просто раскроете скобки в левой части равенства и приведете подобные слагаемые.

Применяя какую-то из этих формул, мы «распаковываем» скобку в квадрате, получая развернутое выражение. Но раз скобку можно «распаковать» в длинное выражение, то можно провернуть и обратный процесс — «запаковать» длинное выражение в скобку с квадратом? Можно. Такой процесс называется выделением полного квадрата!

Именно такой обратный процесс «запаковки», выделение полного квадрата, и является ключом к решению любых квадратных уравнений в общем виде! Давайте ознакомимся с этим процессом подробно и с примерами.

Геометрическое выделение

Любой математический процесс крайне желательно визуализировать и наглядно представлять, чтобы он лучше отложился в памяти. К счастью, у выделения полного квадрата есть такая простая, наглядная и понятная визуализация.

Начнем с вот такого развернутого выражения:

p^2 + 6p + 9

Попробуем запаковать его в скобку с квадратом, то есть выделить полный квадрат. Это выражение можно представить как сумму площадей трех фигур:

1
Квадрата со стороной p. Его площадь равна $p^2$ .
2
Прямоугольника со сторонами 6 и p. Его площадь равна 6p.
3
Квадрата с площадью 9.

Прямоугольник с площадью 6p можно «разрезать» на два одинаковых прямоугольника со сторонами 3 и p. А у квадрата с площадью 9 стороны равны 3.

Все эти фигуры можно совместить друг с другом по сторонам с одинаковыми длинами. Тогда получится составить один большой квадрат со стороной p + 3!

Общая площадь этого большого квадрата равна $(p + 3)\cdot(p+3) = (p+3)^2$ . С другой стороны, мы начинали с того, что исходное выражение это тоже сумма площадей, дающая общую площадь. Мы ничего не добавляли и не вырезали, только переставляли фигуры. Значит это все еще одна и та же общая площадь!

\underbrace{p^2 + 6p + 9}_{\text{Квадрат + Прямоугольник + Квадрат}} = \underbrace{(p+3)^2}_{\text{Большой квадрат}}

В правильности полученного результата можно убедиться, если просто раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Итак, теперь вы наглядно увидели, что из себя представляет выделение полного квадрата. И название теперь уже не кажется таким загадочным. Потому что мы из имеющихся данных: неизвестного квадрата $p^2$ , прямоугольника 6p и еще одного квадрата $3^2$ собираем или выделяем новый большой квадрат со стороной p + 3.

Алгебраическое выделение

Как бы хорошо ни выглядела визуализация, у нее есть несколько минусов. Не всегда под рукой есть место, чтобы рисовать прямоугольники и квадраты. Еще эта визуализация хорошо работает только с плюсами. Если же некоторые члены вычитаются, то приходится менять подход и всячески извращаться. Поэтому важно научиться проводить этот процесс без всяких рисунков.

Начнем с вот такого развернутого выражения:

25p^2 - 20p + 4

Для начала, надо надо понять, к какой формуле сокращенного умножения можно привести это выражение: квадрату суммы $(a+b)^2$ или квадрату разности $(a-b)^2$ . Видим, что в центре у нас стоит минус, а значит будем запаковывать в квадрат разности $(a-b)^2$ .

Дальше надо переписать это выражение так, чтобы оно приняло вид $a^2 - 2ab + b^2$ . В нашем случае $25p^2$ можно представить в виде $(5p)^2$ . В центре число –20p можно представить как $-2 \cdot 5p \cdot 2$ . Справа число 4 можно представить как $2^2$ .

\underbrace{(\brand{5p})^2}_{\normalsize\brand{a}^2} - \underbrace{2 \cdot (\brand{5p}) \cdot \green{2}}_{\normalsize 2\cdot\brand{a}\cdot\green{b}} + \underbrace{\green{2}^2}_{\normalsize\green{b}^2}

Мы успешно привели выражение к виду развернутой формулы квадрата разности. Замечаем, что роль a в этом выражении играет 5p, а роль b — число 2. Значит мы можем запаковать это выражение в квадрат разности $(a-b)^2$ :

(\underset{a}{5p} - \underset{b}{2})^2

Выделение полного квадрата прошло успешно:

25p^2 - 20p + 4 \\ = (5p)^2 - 2 \cdot 5p \cdot 2 + 2^2 \\ = \boxed{(5p - 2)^2}

Потренируемся выполнять этот процесс на нескольких примерах, чтобы привыкнуть к нему:

Выделение полного квадрата

Выделите полный квадрат в квадратных трехчленах:

1) \quad x^2 + 10x + 25

2) \quad t^2 - 4t + 4

3) \quad 16z^2 + 8z + 1

4) \quad 4x^2 - 24x + 9

До сих пор все данные для выделения полного квадрата были заложены в исходном выражении. Но бывает и так, что данных не хватает. Рассмотрим такой пример:

x^2 + 4x

Видим плюс, значит можно это выражение попробовать запаковать в квадрат суммы $(a+b)^2$ . Для этого его надо привести к виду $a^2 + 2ab + b^2$ . Слева у нас уже есть $x^2$ , значит a = x. В центре 4x можно представить как $2 \cdot x \cdot 2$ . Тогда получается, что b = 2.

Получается, что нам не хватает справа $2^2$ , чтобы получить полный квадрат. Но больше данных в нашем выражении нет! Однако, можно провернуть хитрый трюк — добавить справа $2^2$ и сразу же его вычесть. Тогда в сумме получится 0 и результат выражения не изменится:

x^2 + 2\cdot x \cdot 2 \ \underbrace{+ \ 2^2 - 2^2}_{= 0}

Результат никак не поменяется, но зато у нас появились новые данные (слагаемое $2^2$ ) и теперь мы можем выделить полный квадрат!

\underbrace{\brand{x}^2}_{\normalsize\brand{a}^2} + \underbrace{2\cdot \brand{x} \cdot \green{2}}_{\normalsize 2 \cdot \brand{a} \cdot \green{b}} + \underbrace{\green{2}^2}_{\normalsize \green{b}^2} - 2^2 = (\underset{a}{x} + \underset{b}{2})^2 - 4

Выделение полного квадрата прошло успешно, пускай у нас и остался «хвостик» в виде лишних данных:

x^2 + 4x \\ = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 \\ = \underbrace{(x + 2)^2}_{\text{Полный квадрат}} - \underbrace{4}_{\text{Хвостик}}

Опробуем на примерах расширенный процесс выделения полного квадрата, с добавлением необходимых данных:

Выделение полного квадрата с неполными данными

Выделите полный квадрат в квадратных трехчленах:

1) \quad 9z^2 + 6z

2) \quad 4t^2 - 28t

3) \quad 16x^2 + 24x - 20

4) \quad 25y^2 - 30y - 5

Записи разные — Значение одинаковое

Важно понимать, что запакованная и распакованная формы обозначают одно и то же число, просто записанное по-разному. Все три следующие записи суть одно и то же:

9z^2 + 6z = 3z(3z + 2) = (3z + 1)^2 - 1

Первая это «распакованная» форма, вторая с вынесенным за скобки 3z и третья с выделенным полным квадратом. Точно так же, как выражения $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ и 0.5 — это различные записи одного и того же числа.

Решение уравнений

Возможно вы этого даже не заметили, но вы уже научились решать квадратные уравнения, причем любые! Дело в том, что выделение полного квадрата позволяет очень легко перейти от квадратного уравнения к обычному линейному (без степеней), которое решается элементарно. Попробуем решить наше первое в жизни квадратное уравнение:

x^2 + 6x - 7 = 0

Для начала выделим полный квадрат выражения в левой части уравнения. Данных для выделения нам не хватает, но мы уже умеем работать с такими ситуациями.

(x + 3)^2 - 16 = 0

По правилу одинакового действия прибавим к обеим частям уравнения число 16. Тогда в левой части останется только полный квадрат без лишних данных:

(x+3)^2 = 16

Теперь минимально подключаем мозги. Слева у нас квадрат числа x + 3, который равен 16. Чему должно быть равно число x + 3, чтобы оно в квадрате дало 16? Оно должно быть равно 4 или –4. Получается, исходное уравнение разбивается на два под-уравнения:

x+3 = 4

x+3 = -4

Вычитаем по правилу одинакового действия 3 из обеих частей каждого под-уравнения и получаем два решения:

\boxed{x_1 = 1}

\boxed{x_2 = -7}

Поздравляю, вы только что решили свое первое квадратное уравнение! Уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$ имеет два решения: 1 и –7. В верности этих решений можно убедиться, если подставить их в исходное уравнение и получить верное равенство.

Закрепим полученные знания на нескольких разнообразных примерах:

Квадратные уравнения через полный квадрат

Решите квадратные уравнения через выделение полного квадрата:

1) \enspace x^2 - 2x - 8 = 0

2) \enspace 4y^2 + 20y + 30 = 0

3) \enspace 6t = 9t^2

4) \enspace -z^2 + 10z - 9 = 0

Формула корней квадратного уравнения

Каждый раз при решении квадратного уравнения решать мини-головоломку с выделением полного квадрата неудобно. Хорошо бы иметь общий и универсальный алгоритм действий, которой подходит вообще для любого квадратного уравнения. Вот просто формулу, в которую числа подставь и получишь ответ.

Оказывается, такая формула существует! И получить ее довольно просто. Для этого надо просто выделить полный квадрат не в конкретном уравнении с конкретными числами, а в квадратном уравнении в общем виде, с буквенными коэффициентами вместо чисел!

Формула корней квадратного уравнения

Для любого квадратного уравнения в общем виде:

Ax^2 + Bx + C = 0, \quad A \neq 0

Можно найти особое число, дискриминант D, по формуле:

\boxed{D = B^2 - 4AC}

Дискриминант многое говорит о квадратном уравнении:

1
Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то у квадратного уравнения нет корней.
2
Если дискриминант равен нулю (D = 0), то у квадратного уравнения есть один корень.
3
Если дискриминант больше нуля (D > 0), то у квадратного уравнения есть два корня.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

\boxed{x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}}

Обязательно внимательно разберите каждый шаг вывода формул! Повторите эти шаги самостоятельно! Вывод решений квадратного уравнения — это довольно редкий случай в базовой математике, где надо и преобразовывать выражения, и анализировать полученные результаты. Великолепная возможность прокачать свои мозги!

Квадратные уравнения в базовой и высшей математике встречаются сплошь и рядом. Поэтому после того как вы убедились, что осознали и поняли каждый шаг вывода, формулы дискриминанта и корней надо запомнить наизусть. Хотя бы ради того, чтобы каждый раз не тратить целый лист бумаги на их вывод 😂

Но это все мелочи. У нас на руках появился универсальный алгоритм решения абсолютно любого квадратного уравнения! Не надо больше ничего выделять, ничего подбирать и придумывать. Просто подставляй числа в формулы и получай ответ. Пробуем:

Квадратные уравнения по общей формуле

Решите квадратные уравнения при помощи общей формулы:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{lllll} 1) & x^2 - 2x - 8 = 0 && 2) & 4y^2 + 20y + 30 = 0 \\ 3) & 6t = 9t^2 && 4) & -z^2 + 10z - 9 = 0 \\ 5) & 16x^2 = 100 && 6) & (2t - 7)^2 = 0 \\ \end{array}

Разложение на множители

Мы уже встречались с самыми разными формами, под которые может «мимикрировать» квадртаный трехчлен (или уравнение). «Квадрата», то есть второй степени, в явной форме вообще может не быть, как например в выражении (x – 3)(x + 2). Никаких квадратов нет, но стоит раскрыть скобки и получится квадртаный трехчлен:

(x-3)(x+2) = x^2 - x - 6

Из запакованной формы получить квадратный трехчлен элементарно — достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. А вот можно ли как-то из уже «распакованного» квадратного трехчлена получить обратно «запакованную» форму в виде умножающихся скобок? Оказывается, можно!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если у квадратного трехчлена есть корни (например $x_1$ и $x_2$ ), то этот трехчлен всегда можно разложить на множители:

\underbrace{Ax^2 + Bx + C}_{\text{Слагаемые}} = \underbrace{A(x-x_1)(x-x_2)}_{\text{Множители}}

Это две разные записи (через сложение и через умножение), которые обозначают одно и то же значение, подобно тому как 10 + 6 и $2 \cdot 8$ обозначают одно и то же число. Поэтому форму квадратного трехчлена можно менять на форму через множители и наоборот.

Доказательство

Подобно тому как мы можем $\frac{8}{4}\cdot \small{3}$ преобразовать сначала в $2\cdot 3$ , а потом в 6, при этом все три записи означают число 6, сейчас мы будем квадратный трехчлен преобразовывать в произведение множителей, которое означает то же самое.

Доказательство проводится путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена. Шаги почти такие же, как и при выводе общих формул. Только там мы работали с уравнением, а здесь у нас уравнения нет и нужно все действия проводить над выражением напрямую, никак не меняя его значение.

Начинаем с квадратного трехчлена:

Ax^2 + Bx + C

Вынесем за скобки A:

A\left[x^2 + \frac{B}{A}x + \frac{C}{A}\right]

Допишем умножение на 2 в центре и сразу же компенсируем его делением на 2:

A\left[x^2 + \yellow{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{B}{A} \cdot x + \frac{C}{A}\right] = A\left[x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{B}{2A} + \frac{C}{A}\right]

Чтобы завершить выделение полного квадрата, нам не хватает $\left(\frac{B}{2A}\right)^2$ . Добавим и сразу вычтем эту дробь в квадрате, чтобы не менять значение выражения. Тогда можно запаковать часть выражения по квадрату суммы:

A\left[x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{B}{2A} \yellow{+ \left(\frac{B}{2A}\right)^2 - \left(\frac{B}{2A}\right)^2} + \frac{C}{A}\right] = \\ = A\left[\underbrace{x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{B}{2A} + \left(\frac{B}{2A}\right)^2}_{\text{Квадрат суммы}} - \left(\frac{B}{2A}\right)^2 + \frac{C}{A}\right] = \\ = A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \left(\frac{B}{2A}\right)^2 + \frac{C}{A}\right]

Лишние данные, оставшиеся после выделения полного квадрата, можно «запаковать» в одну дробь. Для этого надо вынести минус за скобки и привести дроби к общему знаменателю:

A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{B^2 - 4AC}{4A^2}\right]

Заменяем числитель дроби справа на дискриминант D:

A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{\overbrace{B^2 - 4AC}^{\text{Дискриминант}}}{4A^2}\right] = A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{D}{4A^2}\right]

Остался последний шаг. Нам нужно воспользоваться третьей формулой сокращенного умножения (ФСУ), которая называтеся разностью квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

В ее верности можно убедиться, если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Используем эту формулу, чтобы разность в скобках представить в виде произведения множителей:

A\overbrace{\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{D}{4A^2}\right]}^{\text{Разность квадратов}} = A\left[\left(x + \frac{B}{2A} - \sqrt{\frac{D}{4A^2}}\right)\left(x + \frac{B}{2A} + \sqrt{\frac{D}{4A^2}}\right)\right] = \\ = A\left(x + \frac{B}{2A} - \frac{\sqrt{D}}{2A}\right)\left(x + \frac{B}{2A} + \frac{\sqrt{D}}{2A}\right)

В обеих скобках записываем дроби под одной чертой:

A\left(x + \frac{B - \sqrt{D}}{2A}\right)\left(x + \frac{B + \sqrt{D}}{2A}\right)

Теперь из знаменателей обеих дробей вынесем –1:

A\left(x - \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}\right)\left(x - \frac{-B - \sqrt{D}}{2A}\right)

Обратите внимание, что в обеих скобках справа теперь стоят выражения, которые равны общим формулам корней квадратного уравнения. Поэтому эти выражения можно заменить на обозначения корней $x_1$ и $x_2$ :

A\left(x - \underbrace{\frac{-B + \sqrt{D}}{2A}}_{\text{Корень 1}}\right)\left(x - \underbrace{\frac{-B - \sqrt{D}}{2A}}_{\text{Корень 2}}\right) = A\left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right)

Итак, мы начали с квадратного трехчлена $Ax^2 + Bx + C$ и одинаковыми, эквивалентными преобразованиями пришли к произведению множителей $A(x - x_1)(x - x_2)$ . Значение же выражения мы никак не меняли. Все, что добавлялось тут же компенсировалось. Поэтому мы получили две разные записи одного и того же, одну через сумму слагаемых, а другую через произведение множителей:

Ax^2 + Bx + C = A(x - x_1)(x - x_2)

$\blacksquare$

Примеры разложения на множители

Разложите квадратные трехчлены на множители:

1) \enspace x^2 + 2x + 5

2) \enspace 2y^2 - 8y + 6

3) \enspace 3z^2 + z

Разложение квадратного трехчлена на множители чаще всего используется при решении неравенств, а так же для упрощения сложных выражений. Разбираться с неравенствами мы будем как-нибудь потом, это отдельная большая и интересная тема. А вот поупрощать выражения можем прямо сейчас!

Упрощение выражений с квадратами

Упростите выражения:

1) \enspace \frac{-5x^2 -10x + 15}{x^2 + 2x - 3}

2) \enspace \frac{4y^2 + 24y + 36}{y^2 + y - 6}

Формулы Виета

Самое сложное мы уже освоили — преодолели трудности в выведении общих формул корней квадратных уравнений, а также научились раскладывать квадратные трехчлены на множители. Эти два навыка позволяют очень легко вывести еще одну занятную теорему, при помощи которой удобно изучать и даже строить квадратные уравнения с нужными свойствами! Что еще более важно, это теорема дает еще один способ решать квадратные уравнения, зачастую даже устно!

Формулы Виета

Если у квадратного трехчлена $Ax^2 + Bx + C$ есть корни $x_1$ и $x_2$ , то эти корни связаны с его коэффициентами следующими формулами:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \end{cases}

Формулы Виета также частно называют Теоремой Виета.

Вывод формул

Итак, у нас имеется квадратный трехчлен:

Ax^2 + Bx + C

Нам известно, что у него есть корни $x_1$ и $x_2$ . Значит, его можно разложить на множители:

A(x - x_1)(x - x_2)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

A(x - x_1)(x - x_2) \\ = A\left[ x^2 - x_2 \cdot x - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2 \right] \\ = A\left[ x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2 \right] \\ = Ax^2 - A(x_1 + x_2) \cdot x + A \cdot x_1 \cdot x_2

Замечаем, что мы по сути этими действиями обратно пришли к форме квадратного трехчлена $Ax^2 + Bx + C$ . Только коэффициенты B и C теперь записаны через коэффициент A и корни $x_1$ , $x_2$ :

Ax^2 \underbrace{- A(x_1 + x_2)}_{B} \cdot x + \underbrace{A \cdot x_1 \cdot x_2}_{C}

Отсюда получаем формулы коэффициентов B и C через корни $x_1$ и $x_2$ :

\begin{cases} -A(x_1 + x_2) = B \\ A \cdot x_1 \cdot x_2 = C \end{cases}

Первое равенство по правилу одинакового действия делим на –A, а второе просто на A и получаем итоговый вид формул Виета:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \end{cases}

$\blacksquare$

Решение уравнений по формулам Виета

Решите квадратные уравнения в уме или устно, используя формулы Виета:

1) \enspace x^2 - 14x + 40 = 0

2) \enspace x^2 + 205x + 606 = 0

3) \enspace 67x^2 - 105x - 172 = 0

Как видно, формулы Виета позволяют получить много полезной информации о корнях квадратного уравнения, даже не зная, чему они равны. А уж если удалось угадыванием найти один корень, то второй находится элементарно в одно действие.

Быстрое решение квадратных уравнений

Быстро решать квадратные уравнения позволяют формулы Виета. Но есть одна проблема. Если у квадратного трехчлена коэффициент A не равен 1, то формулы Виета использовать неудобно, ведь в них образуются дроби. А вот если A равно 1, то в знаменателях обеих формул оказывается единица, что очень сильно их упрощает и позволяет решать уравнения буквально в уме!

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \end{cases} \quad \overset{A = 1}{{\large\Rightarrow}} \quad \begin{cases} x_1 + x_2 = -B \\ x_1 \cdot x_2 = C \end{cases}

Из-за того, что уравнения с A = 1 проще решать и еще по ряду других причин, им дали своё отдельное название:

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, у которого старший коэффициент A равен 1:

x^2 + Bx + C = 0

Итак, приведенные уравнения просто решать с помощью формул Виета. Вот только проблема в том, что далеко не все квадратные уравнения приведенные. Неужели такие неприведенные уравнения остается просто решать на бумаге через общие формулы? Оказывается, что хитрые математики даже из этой ситуации умудрились выкрутиться!

Связь корней неприведенного и приведенного уравнений

Пускай имеется любое квадратное уравнение в общем виде. Его корни (если они есть) обозначим за $x_1$ и $x_2$ .

Ax^2 + Bx + C = 0

Из этого уравнения всегда можно составить приведенное квадратное уравнение, «перенеся» A от $x^2$ к коэффициенту C. Его корни обозначим за $x_1'$ и $x_2'$ .

x^2 + Bx + A\cdot C = 0

Тогда корни исходного квадратного уравнения можно получить из корней приведенного уравнения, просто поделив их на A:

x_1 = \frac{x'_1}{A}

x_2 = \frac{x'_2}{A}

Доказательство

Найдем дискриминант исходного, неприведенного уравнения. Его коэффициенты равны A, B и C:

D = B^2 - 4AC

Теперь найдем дискриминант приведенного уравнения. Его коэффициенты равны 1, B и $A\cdot C$ :

D' = B^2 - 4\cdot 1 \cdot (A\cdot C) = B^2 - 4AC

Как видим, дискриминанты у этих уравнений одинаковые, D = D'. А раз они равны, то общие формулы корней будут отличаться только коэффициентом A в знаменателе:

x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{1}{A}\cdot \underbrace{\frac{-B \pm \sqrt{D'}}{2}}_{\small x_{1,2}'} \\ \boxed{x_{1,2} = \frac{x_{1,2}'}{A}}

$\blacksquare$

Эта замечательная связка позволяет быстро решать не только приведенные, но и неприведенные квадратные уравнения! Достаточно «перенести» A к коэффициенту C, решить (возможно даже в уме) полученное приведенное уравнение и поделить его корни на A. Такой вот лайфхак для быстрого решения любых «школьных» квадратных уравнений, которые обычно имеют «красивые» корни. Давайте опробуем его в деле:

Решение квадратных уравнений в уме

Решите квадратные уравнения в уме или устно, используя связь корней неприведенного и приведенного уравнений:

1) \enspace 2x^2 - 6x + 4 = 0

2) \enspace 3x^2 + 9x + 6 = 0

3) \enspace 3x^2 - 17x - 6 = 0

Квадратные уравнения в жизни

Квадратные уравнения сплошь и рядом встречаются в прикладных и даже жизненных задачах. Разберем несколько ярких проблем и задач, которые сводятся к решению квадратных уравнений. Умение решать квадратные уравнения позволяет находить решения более сложных и комплексных прикладных задач.

Эталонные рамки

Насмотревшись новостей и уловив тренд, вы решили открыть новый бизнес по производству крепких рамок из стали. Для уменьшения веса и цены продукта вы решили, что площадь сечения рамки должна быть равна 120 квадратным сантиметрам. Внутренние размеры рамки равны 4 сантиметрам по высоте и 6 сантиметрам по ширине. Какова должна быть толщина рамки?

Экскурсия на пароме

Вы отправились на экскурсию по реке на пароме. Все мероприятие продлилось 3 часа, в течении которых паром проплыл 8 километров против течения, а затем вернулся обратно. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Какова скорость парома и сколько времени он плыл против течения?

Квадрат это не предел!

Мы полностью препарировали квадратные уравнения, вывели полезные формулы с ними, научились их решать самыми разными способами. А что дальше? Ведь есть еще и кубические уравнения, где x уже в третьей степени. Их тоже можно похожим образом изучить и научиться решать? Конечно! Для кубических уравнений тоже существует общий вид:

Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0, \enspace A \neq 0

У таких уравнений может быть до трех разных корней! Очень хорошенько повозившись с формулами и преобразованиями, можно даже вывести общие формулы корней кубических уравнений, которые называют «формулами Кардано». Но ради сохранения вашей психики и нервов, мы не будем их здесь приводить. Да и необходимости решать такие уравнения в общем виде почти никогда не возникает.

Уравнения четвертой степени тоже можно решить в общем виде. Все 4 корня всегда можно найти. Для этого надо следовать определенному алгоритму действий, который имеет модное название «метод Феррари». Как вы догадываетесь, приятного в этом процессе очень мало.

Может показаться, что раз все так хорошо идет, то можно вообще для любых уравнений любых степеней найти общие формулы корней. Самое удивительное, что это не так! Уравнения четвертой степени это абсолютный максимум, для которого существуют универсальные методы нахождения корней!

Неразрешимость уравнений высших степеней

Было строго доказано, что для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул корней. Больше никаких «формул Кардано» и «методов Феррари». Можно искать корни приблизительно, используя численные методы. Но общих формул просто нет!

Сад ломает уравнения!

Квадратное уравнение

Неполное квадратное уравнение

Выделение полного квадрата

Геометрическое выделение

Алгебраическое выделение

Решение уравнений

Формула корней квадратного уравнения

Разложение на множители

Формулы Виета

Быстрое решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения в жизни

Квадрат это не предел!

Источники3