Квадратные уравнения

Сад ломает уравнения!

Почти все элементарные уравнения мы решаем путем упрощения их шаг за шагом до тех пор, пока не получим тривиальное равенство вида x = A или A = x (что одно и то же), где A это какое-то число, которое и является решением уравнения. Может показаться, что теперь мы всесильны и можем решать вообще любые уравнения!

Ну что же, давайте это проверим! Представьте себе роскошный сад площадью 36 квадратных метров. Известно, что одна сторона этого сада на 5 метров длиннее другой. Какова длина каждой стороны сада? Обозначаем длину меньшей стороны сада за x метров, тогда длина большей стороны будет равна x + 5 метров. Площадь сада равна произведению его сторон, то есть получаем уравнение:

Ну и что с этим делать?
Можно раскрыть скобки, можно сгруппировать все данные на одной стороне. Но как будто все становится только хуже… Попробуйте самостоятельно попытаться получить решение.

Как ни крути, что-то не получается привести это уравнение к виду x = A и получить красивый ответ. Ведь переменная у нас как в виде $x^2$, так и в виде x. И они неподобны, их нельзя объединить. Что делать с такими монстрами?! Неужели просто пытаться угадать ответ?

Негоже, когда чертов сад на заднем дворе может сломать наши уравнения и завести нас в тупик! Надо срочно придумать, как решать подобные уравнения!

Квадратное уравнение

Чтобы решать квадратные уравнения, надо сначала понять, с чем мы имеем дело. Кажется очевидным квадратными считать уравнения, в которых есть $x^2$. Но, как и всегда, самое очевидное решение может оказаться не самым лучшим. У такого подхода есть серьезные недостатки:

1. 1
   Квадрата может не быть, а уравнение все равно квадратное!

   В примере с садом выше мы уже убедились, что квадратным может оказаться уравнение, в котором вообще нет никаких квадратов.

   $$x(x+5) = 36$$
2. 2
   Квадрат может быть, а уравнение не квадратное!

   Иногда имеющийся $x^2$ в процессе преобразований уничтожается и роли никакой не играет:

   $$x^2 + x = x^2 + 5 \\ \brand{ - \ x^2 \ } | \ x^2 + x = x^2 + 5 \ | \brand{ - x^2 } \\ - \cancel{x^2} + \cancel{x^2} + x = \cancel{x^2} + 5 - \cancel{x^2} \\ \boxed{x = 5}$$

Наш враг хитер и коварен! Квадратные уравнения могут мимикрировать, пряча свой квадрат, а могут, имея явный квадрат, вовсе не являться квадратными! Но математики тоже не промах и смогли придумать классный способ точно определить, является ли уравнение квадратным или нет.

Как и в любом хорошем детективе, сначала математики проанализировали все уравнения и выделили «модус операнди», общий портрет, который характерен для всех квадратных уравнений. Этот портрет они совершенно вульгарно назвали квадратным трехчленом.

• Почему квадратный?

  Потому что в нем обязательно есть $x^2$, «икс в квадрате».
• Почему трехчлен?

  Потому что состоит из трех слагаемых (одночленов): $Ax^2$, Bx и C. А даже если их и меньше, как например у $x^2 + 3$, то недостающее слагаемое можно считать равным нулю: $x^2 + 0x + 3$.
• Почему $A \neq 0$?

  Потому что при A = 0, $x^2$ обнуляется и исчезает. И многочлен уже никакой не квадратный! «Квадрата», то есть второй степени, в нем нет.

Вполне естественно, что все эти многочисленные упоминания «членов» вызывают смешки, особенно у скучающих на уроках подростков: одночлен, двучлен, трёхчлен, многочлен… Трёхчленам в этом плане не повезло больше всех, ведь им и вытекающим из них квадратным уравнениям достаётся львиная доля учебного времени. В итоге, словно в акте отчаянного бунта против принудительной закачки знаний, руками гениальных анонимных художников из 7 «Г» класса человечество получило бессмертные произведения искусства (18+) про квадратные трёхчлены. Один раз это увидев, развидеть уже невозможно…

Теперь уже известный общий портрет, форму квадратного трёхчлена, можно использовать для составления твёрдого и чёткого определения квадратных уравнений.

Теперь мы узнали врага в лицо и поняли, что коэффициенты зависят не от положения в уравнении, а от того, рядом с какой степенью x они стоят. Давайте потренируемся определять, являются ли уравнения квадратными и находить их коэффициенты A, B и C.

Новички и в целом плохо разобравшиеся в этой теме люди регулярно путаются и используют термины «квадратный трёхчлен» и «квадратное уравнение» как синонимы. На всякий случай ещё раз внесём ясность. Квадратный трёхчлен и квадратное уравнение это и близко НЕ одно и то же, а совершенно разные математические объекты! Квадратный трёхчлен это просто выражение определённого вида, которое может (и будет позже) использоваться для самых разнообразных целей:

Иногда квадратные трёхчлены могут встретиться в уравнениях. Тогда такие уравнения мы называем «квадратными»:

Неполное квадратное уравнение

Прежде чем браться за решение полноценных квадратных уравнений общего вида, давайте сначала начнем с чего-нибудь попроще. Бывает так, что у квадратного уравнения отсутствуют какие-то части из общего вида. Такие квадратные уравнения называются неполными.

Кстати, коэффициент A тоже может быть равен нулю, но тогда это будет уже не квадратное, а самое обыкновенное линейное уравнение с x в первой степени.

Хорошая новость состоит в том, что такие неполные квадратные уравнения решаются очень просто! Если нулю равен коэффициент B, то в уравнении нет x и его можно решить так же, как и элементарные уравнения — упростив его одинаковыми действиями с обеих сторон до тривиального вида $x^2 = \cdots$.

Если нулю равен коэффициент C, то достаточно вынести за скобки x и представить уравнение в виде произведения множителей, которое равно нулю. Отработке таких уравнений посвящена отдельная задача в теме про элементарные уравнения, но повторим суть еще раз.

Предположим, нам надо решить уравнение $x^2 + x = 0$. Выносим x за скобки и получаем x(x + 1) = 0. Чтобы получить 0 в левой части, достаточно, чтобы любой из двух множителей (x и x + 1) стал равен нулю. Если множитель x станет равным 0, то уже не важно, что там будет в скобках, ведь на эту скобку умножится 0 и вся левая часть целиком станет равна 0. Точно так же если внутри скобок получится 0, то есть при x = –1 уже этот ноль из скобок умножится на x рядышком и вся левая часть целиком станет равна 0. То есть наше уравнение разбивается на два подуравнения:

Получили два решения уравнения: 0 и –1.

Итак, любые неполные квадратные уравнения можно довольно просто решить, не прибегая к сложным и хитрым преобразованиям. Ах если бы так просто можно было решать и квадратные уравнения в общем виде! Но там все несколько сложнее…

Выделение полного квадрата

Есть две замечательные и очень полезные формулы, которые называются «квадратом суммы» и «квадратом разности». Выглядят они вот так:

Это две из трех формул сокращённого умножения (ФСУ). В их верности вы можете убедиться, если просто раскроете скобки в левой части равенства и приведете подобные слагаемые.

Применяя какую-то из этих формул, мы «распаковываем» скобку в квадрате, получая развернутое выражение. Но раз скобку можно «распаковать» в длинное выражение, то можно провернуть и обратный процесс — «запаковать» длинное выражение в скобку с квадратом? Можно. Такой процесс называется выделением полного квадрата!

Именно такой обратный процесс «запаковки», выделение полного квадрата, и является ключом к решению любых квадратных уравнений в общем виде! Давайте ознакомимся с этим процессом подробно и с примерами.

Геометрическое выделение

Любой математический процесс крайне желательно визуализировать и наглядно представлять, чтобы он лучше отложился в памяти. К счастью, у выделения полного квадрата есть такая простая, наглядная и понятная визуализация.

Начнем с вот такого развернутого выражения:

Попробуем запаковать его в скобку с квадратом, то есть выделить полный квадрат. Это выражение можно представить как сумму площадей трех фигур:

1. 1
   Квадрата со стороной p. Его площадь равна $p^2$.
2. 2
   Прямоугольника со сторонами 6 и p. Его площадь равна 6p.
3. 3
   Квадрата с площадью 9.

Прямоугольник с площадью 6p можно «разрезать» на два одинаковых прямоугольника со сторонами 3 и p. А у квадрата с площадью 9 стороны равны 3.

Все эти фигуры можно совместить друг с другом по сторонам с одинаковыми длинами. Тогда получится составить один большой квадрат со стороной p + 3!

Общая площадь этого большого квадрата равна $(p + 3)\cdot(p+3) = (p+3)^2$. С другой стороны, мы начинали с того, что исходное выражение это тоже сумма площадей, дающая общую площадь. Мы ничего не добавляли и не вырезали, только переставляли фигуры. Значит это все еще одна и та же общая площадь!

В правильности полученного результата можно убедиться, если просто раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Итак, теперь вы наглядно увидели, что из себя представляет выделение полного квадрата. И название теперь уже не кажется таким загадочным. Потому что мы из имеющихся данных: неизвестного квадрата $p^2$, прямоугольника 6p и еще одного квадрата $3^2$ собираем или выделяем новый большой квадрат со стороной p + 3.

Алгебраическое выделение

Как бы хорошо ни выглядела визуализация, у неё есть несколько минусов. Не всегда под рукой есть место, чтобы рисовать прямоугольники и квадраты. Ещё эта визуализация хорошо работает только с плюсами. Если же некоторые члены вычитаются, то приходится менять подход и всячески извращаться. Поэтому важно научиться проводить этот процесс без всяких рисунков.

Начнём с вот такого развёрнутого выражения:

Для начала, надо понять, к какой формуле сокращённого умножения можно привести это выражение: квадрату суммы $(a+b)^2$ или квадрату разности $(a-b)^2$. Видим, что в центре у нас стоит минус, а значит будем запаковывать в квадрат разности $(a-b)^2$.

Дальше надо переписать это выражение так, чтобы оно приняло вид $a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $25p^2$ можно представить в виде $(5p)^2$. В центре число –20p можно представить как $-2 \cdot 5p \cdot 2$. Справа число 4 можно представить как $2^2$.

Мы успешно привели выражение к виду развёрнутой формулы квадрата разности. Замечаем, что роль a в этом выражении играет 5p, а роль b — число 2. Значит мы можем запаковать это выражение в квадрат разности $(a-b)^2$:

Выделение полного квадрата прошло успешно:

Потренируемся выполнять этот процесс на нескольких примерах, чтобы привыкнуть к нему:

Выделение с неполными данными

До сих пор все данные для выделения полного квадрата были заложены в исходном выражении. Но бывает и так, что данных не хватает. Рассмотрим такой пример:

Видим плюс, значит можно это выражение попробовать запаковать в квадрат суммы $(a+b)^2$. Для этого его надо привести к виду $a^2 + 2ab + b^2$. Слева у нас уже есть $x^2$, значит a = x. А вот дальше начинаются проблемы. Двойки для 2ab у нас нет, как и b с $b^2$. Встречаются такие ситуации постоянно.

К счастью, нам никто не мешает добавить недостающие данные и сразу их компенсировать, чтобы общее значение выражения не изменилось. Например, мы можем добавить умножение на 2 и прямо там же разделить на 2. Финальное значение не изменилось, но нужные данные мы добавили:

У нас уже есть a, то есть x. Есть и 2ab, то есть $2 \cdot x \cdot \frac{5}{2}$. Тогда b получается это $\frac{5}{2}$. Осталость только прибавить $b^2$, то есть $\dfrac{25}{4}$ и сразу же его вычесть, чтобы финальное значение не изменилось:

Выделение полного квадрата прошло успешно, пускай у нас и остался «хвостик» в виде лишних данных:

Как видите, мы можем добавлять вообще любые данные, которые нам нужны. Главное не забывать их сразу же компенсировать! Опробуем на примерах расширенный процесс выделения полного квадрата, с добавлением необходимых данных:

Решение уравнений

Возможно вы этого даже не заметили, но вы уже научились решать квадратные уравнения, причём любые! Дело в том, что выделение полного квадрата позволяет очень легко перейти от квадратного уравнения к обычному линейному (без степеней), которое решается элементарно. Попробуем решить наше первое в жизни квадратное уравнение:

Для начала выделим полный квадрат выражения в левой части уравнения. Данных для выделения нам не хватает, но мы уже умеем работать с такими ситуациями.

По правилу одинакового действия прибавим к обеим частям уравнения число 16. Тогда в левой части останется только полный квадрат без лишних данных:

Теперь минимально подключаем мозги. Слева у нас квадрат числа x + 3, который равен 16. Чему должно быть равно число x + 3, чтобы оно в квадрате дало 16? Оно должно быть равно 4 или –4. Получается, исходное уравнение разбивается на два подуравнения:

Вычитаем по правилу одинакового действия 3 из обеих частей каждого подуравнения и получаем два решения:

Поздравляю, вы только что решили своё первое квадратное уравнение! Уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$ имеет два решения: 1 и –7. В верности этих решений можно убедиться, если подставить их в исходное уравнение и получить верное равенство.

Закрепим полученные знания на нескольких разнообразных примерах:

Формула корней квадратного уравнения

Каждый раз при решении квадратного уравнения решать мини-головоломку с выделением полного квадрата неудобно. Хорошо бы иметь общий и универсальный алгоритм действий, который подходит вообще для любого квадратного уравнения. Вот просто формулу, в которую числа подставь и получишь ответ.

Оказывается, такая формула существует! И получить её довольно просто. Для этого надо просто выделить полный квадрат не в конкретном уравнении с конкретными числами, а в квадратном уравнении в общем виде, с буквенными коэффициентами вместо чисел!

Обязательно внимательно разберите каждый шаг вывода формул! Повторите эти шаги самостоятельно! Вывод решений квадратного уравнения — это довольно редкий случай в базовой математике, где надо и преобразовывать выражения, и анализировать полученные результаты. Великолепная возможность прокачать свои мозги!

Квадратные уравнения в базовой и высшей математике встречаются сплошь и рядом. Поэтому после того как вы убедились, что осознали и поняли каждый шаг вывода, формулы дискриминанта и корней надо запомнить наизусть. Хотя бы ради того, чтобы каждый раз не тратить целый лист бумаги на их вывод 😂

Но это все мелочи. У нас на руках появился универсальный алгоритм решения абсолютно любого квадратного уравнения! Не надо больше ничего выделять, ничего подбирать и придумывать. Просто подставляй числа в формулы и получай ответ. Пробуем:

Разложение на множители

Мы уже встречались с самыми разными формами, под которые может «мимикрировать» квадратный трёхчлен (или уравнение). «Квадрата», то есть второй степени, в явной форме вообще может не быть, как например в выражении (x – 3)(x + 2). Никаких квадратов нет, но стоит раскрыть скобки и получится квадратный трёхчлен:

Из запакованной формы получить квадратный трёхчлен элементарно — достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. А вот можно ли как-то из уже «распакованного» квадратного трёхчлена получить обратно «запакованную» форму в виде умножающихся скобок? Оказывается, можно!

Разложение квадратного трёхчлена на множители чаще всего используется при решении неравенств, а также для упрощения сложных выражений. Разбираться с неравенствами мы будем как-нибудь потом, это отдельная большая и интересная тема. А вот поупрощать выражения можем прямо сейчас!

Формулы Виета

Самое сложное мы уже освоили — преодолели трудности в выведении общих формул корней квадратных уравнений, а также научились раскладывать квадратные трёхчлены на множители. Эти два навыка позволяют очень легко вывести ещё одну занятную теорему, при помощи которой удобно изучать и даже строить квадратные уравнения с нужными свойствами! Что ещё более важно, эта теорема даёт ещё один способ решать квадратные уравнения, зачастую даже устно!

Как видно, формулы Виета позволяют получить много полезной информации о корнях квадратного уравнения, даже не зная, чему они равны. А уж если удалось угадать один корень, то второй находится элементарно в одно действие.

Решение квадратных уравнений в уме

Быстро решать квадратные уравнения позволяют формулы Виета. Но есть одна проблема. Если у квадратного трёхчлена коэффициент A не равен 1, то формулы Виета использовать неудобно, ведь в них образуются дроби. А вот если A равно 1, то в знаменателях обеих формул оказывается единица, что очень сильно их упрощает и позволяет решать уравнения буквально в уме!

Из-за того, что уравнения с A = 1 проще решать и ещё по ряду других причин, им дали своё отдельное название:

Итак, приведённые уравнения просто решать с помощью формул Виета. Вот только проблема в том, что далеко не все квадратные уравнения приведённые. Неужели такие неприведённые уравнения остаётся просто решать на бумаге через общие формулы? Оказывается, что хитрые математики даже из этой ситуации умудрились выкрутиться!

Эта замечательная связка позволяет быстро решать не только приведённые, но и неприведённые квадратные уравнения! Достаточно «перенести» A к коэффициенту C, решить (возможно даже в уме) полученное приведённое уравнение и поделить его корни на A. Такой вот лайфхак для быстрого решения любых «школьных» квадратных уравнений, которые обычно имеют «красивые» корни. Давайте опробуем его в деле:

Квадратные уравнения в жизни

Квадратные уравнения сплошь и рядом встречаются в прикладных и даже жизненных задачах. Разберём несколько ярких проблем и задач, которые сводятся к решению квадратных уравнений. Умение решать квадратные уравнения позволяет находить решения более сложных и комплексных прикладных задач.

Да и вообще вся классическая механика с законами Ньютона, формулами движения, законами сохранения энергии и импульса, везде так или иначе всплывают выражения с квадратами. Поэтому важно очень хорошо уметь с такими выражениями работать, в том числе и решать уравнения с ними.

Квадрат это не предел!

Мы полностью препарировали квадратные уравнения, вывели полезные формулы с ними, научились их решать самыми разными способами. А что дальше? Ведь есть ещё и кубические уравнения, где x уже в третьей степени. Их тоже можно похожим образом изучить и научиться решать? Конечно! Для кубических уравнений тоже существует общий вид:

У таких уравнений может быть до трёх разных корней! Очень хорошенько повозившись с формулами и преобразованиями, можно даже вывести общие формулы корней кубических уравнений, которые называют «формулами Кардано». Но ради сохранения вашей психики и нервов, мы не будем их здесь приводить. Да и необходимости решать такие уравнения в общем виде почти никогда не возникает.

Уравнения четвёртой степени тоже можно решить в общем виде. Все 4 корня всегда можно найти. Для этого надо следовать определённому алгоритму действий, который имеет модное название «метод Феррари». Как вы догадываетесь, приятного в этом процессе очень мало.

Может показаться, что раз всё так хорошо идёт, то можно вообще для любых уравнений любых степеней найти общие формулы корней. Самое удивительное, что это не так! Уравнения четвёртой степени это абсолютный максимум, для которого существуют универсальные методы нахождения корней!