Рациональные числа

4 куска составляют 1/2 пиццы. То есть пицца была разделена на 2 одинаковых доли и в одной из долей 4 куска пиццы. Так как доли одинаковые, то в другой доле тоже 4 куска. Всего в двух долях 4 + 4 = 8 кусков пиццы!

Всё недельное задание, 27 уравнений, разбили на 3 доли. Это значит, что в каждой доле содержится из 27 : 3 = 9 уравнений. В «двух третях» или «2 долях из 3» содержится 9 + 9 = 18 уравнений.

Все деревья в парке поделили на 10 одинаковых долей. Катя насчитала 15 деревьев в одной доле. Раз в одной доле 15 деревьев, то и во всех остальных тоже по 15, ведь доли одинаковые по определению. Всего имеем 10 долей по 15 деревьев в каждой, то есть всего $10 \cdot 15 = 150$ деревьев в парке!

Теперь разберёмся с берёзами. Всего 150 деревьев в парке делим на 15 одинаковых долей: 150 : 15 = 10 деревьев в одной доле. Из этих 15 долей 10 долей составляют берёзы. 10 «берёзовых» долей по 10 деревьев в каждой доле, значит всего $10 \cdot 10 = 100$ берёз в парке!

Имеем целые числа p и q.
Возможно три варианта:

• Число q равно 0

  Если q = 0 то деление p : q не может быть выполнено, так как поделить на ноль нельзя. Рациональное число p/q тоже не имеет смысла и не обозначает никакого числа.

  В этом варианте деление и дробная черта имеют один и тот же смысл, состоящий в отсутствии смысла 🤣
• Число p не делится нацело на q

  В таком случае деление и дробная черта тоже полностью совпадают по смыслу, ведь рациональные числа как раз и были придуманы для того, чтобы стать ответом на деление «неделящихся» целых чисел:

  $$p : q = \frac{p}{q}$$
• Число p делится нацело на q

  Вот тут уже придется даже немного включить голову. Раз p делится нацело на q, то результатом их деления является некое целое число m:

  $$p : q = m$$

  По определению, деление — это операция, обратная умножению. Поделить p на q значит найти такое m, чтобы $p = m \cdot q$. Запомним это.

  Теперь нам нужно доказать, что и рациональное число p/q тоже обозначает целое число m:

  $$\frac{p}{q} \overset{?}{=} m$$

  Представим, что мы некий объект разделили на q долей. Нам известно, что было взято p таких долей. Но $p = m \cdot q$ (как мы показали выше).

  То есть p долей это буквально m раз взяли по q долей. Из q долей можно собрать 1 целый объект. Если взять m раз по q долей, то из них получится собрать m целых объектов. Поэтому наше рациональное число p/q обозначает целое число m!

  $$\frac{p}{q} \overset{\checkmark}{=} m$$

  Даже в случае деления нацело операция деления и дробная черта полностью совпадают по смыслу!

Итак, мы рассмотрели все возможные варианты и во всех них операция деления «:» и дробная черта «–» совпадают по смыслу. Значит в любых ситуациях абсолютно любое деление целых чисел можно записать как дробь, а любую дробь можно записать как деление целых чисел!

$\blacksquare$

Видим, что единичный отрезок от 0 до 1 разделен на 5 равных кусочков — долей. Считаем, сколько кусочков от 0 до A. Их 8. Поэтому под буквой A скрывается рациональное число 8/5:

По такой же логике до буквы B всего 12 долей. Значит под буквой B скрывается рациональное число 12/5:

Отрицательный единичный отрезок же разделен на 3 доли. До буквы C 5 таких долей. Значит под буквой C скрывается рациональное число –5/3:

Наконец, до буквы D всего 9 долей. Значит под буквой D скрывается рациональное число –9/3 или, если заменить дробную черту на деление, целое число –9 : 3 = –3:

Как и в случае с равнозначностью деления и дробной черты, тут нужно рассмотреть два варианта:

1. 1
   p и q не делятся нацело друг на друга

   В этом варианте доказательство излишне, поскольку рациональные числа и были созданы как решение проблемы деления целых чисел, которые не делятся нацело. Когда мы конструируем новую математическую абстракцию (рациональные числа), мы можем определять её свойства так, чтобы они согласовывались с нашими интуитивными представлениями о «частях от целого».

   Основное свойство дроби в этом случае является естественным следствием того, как мы понимаем доли: если каждую долю разрезать на несколько более мелких долей в одинаковом соотношении, то «часть от целого» остается неизменной.

   Поскольку эти рациональные числа не пересекаются с областью применения уже существующих целых чисел (там, где деление выполняется нацело), никаких противоречий не возникает. Ничего доказывать не надо.
2. 2
   p и q делятся нацело друг на друга

   Здесь мы заходим на территорию другой математической конструкции — целых чисел, где деление уже определено. Нам нужно доказать, что наше основное свойство дроби согласуется с операцией деления целых чисел.

   По условию, p нацело делится на q, поэтому существует целое число m такое, что:

   $$p = m \cdot q$$

   Выпишем теперь следующие целые числа:

   $$p\brand{\cdot n};$$

   $$p\brand{: n}$$

   Заменяем p на $(m \cdot q)$ в этих выражениях, ведь это одно и то же число:

   $$p\brand{\cdot n} = (m \cdot q) \brand{\cdot n};$$

   $$p\brand{: n} = (m \cdot q) \brand{: n}$$

   В обоих выражениях уже по арифметическим правилам с целыми числами мы можем скобки поменять так, чтобы m стояло отдельно. В случае умножения это можно сделать из-за «сочетательного закона», а в случае деления — потому что нам уже заранее известно, что q нацело делится на n:

   $$p\brand{\cdot n} = m \cdot (q \brand{\cdot n});$$

   $$p\brand{: n} = m \cdot (q \brand{: n})$$

   Полученные два выражения можно перезаписать в виде деления нацело:

   $$(p\brand{\cdot n}) : (q \brand{\cdot n}) = m;$$

   $$(p \brand{: n}) : (q \brand{: n}) = m$$

   А эти записи, по уже доказанной равнозначности деления и дробной черты, можно записать в виде дробей:

   $$\frac{p\brand{\cdot n}}{q \brand{\cdot n}} = m;$$

   $$\frac{p \brand{: n}}{q \brand{: n}} = m$$

   Но m можно записать в виде дроби p/q. Заменим m на эту дробь в обоих выражениях:

   $$\frac{p\brand{\cdot n}}{q \brand{\cdot n}} = \frac{p}{q};$$

   $$\frac{p \brand{: n}}{q \brand{: n}} = \frac{p}{q}$$

   Вот и всё! Основное свойство дроби выполняется и для случая, когда p и q делятся нацело друг на друга.

Итак, в обоих случаях мы доказали, что основное свойство дроби выполняется. Значит его можно использовать для деления абсолютно любых целых чисел — как делящихся нацело, так и не делящихся нацело!

$\blacksquare$

В данный момент у Яны имеется долг, который можно обозначить целым числом «–30». Если все 120 рублей поделить, собственно, на рубли (одна доля = один рубль), то в виде дроби текущее количество денег Яны можно записать как дробь «–30/120»:

И числитель и знаменатель этой дроби делятся на 2 нацело, поэтому по основному свойству дроби можно сократить эту дробь на 2:

Числа –15 и 60 тоже делятся на 15 нацело, поэтому можно сократить дробь ещё раз:

Это логично, 30 рублей из 120 рублей это действительно четверть всей суммы, что и отражает полученная дробь! Получается, долг Яны можно выразить следующими дробями: