Рациональные числа

Вид чисел, позволяющий обозначать части от целых объектов, целые объекты и даже целые вместе с частями. Рациональные числа появились как решение проблем целых чисел: провалов в делении и невозможности обозначать «часть от целого». Но они способны на гораздо больше и обладают удивительными свойствами…

Статья

Конспект

Задачи

Зачем рациональные числа?

1
Целых чисел не хватает для операции деления!
Есть целый ряд примеров деления целых чисел, ответы на которые невозможно записать в виде целого числа:
$7 : 2 = \ ?$
$5 : 3 = \ ?$
$-9 : 4 = \ ?$

1
Операции деления приводят к неизвестным результатам.
2
Необходимость выражать часть целого.

Рациональное число

Для решения этих проблем мы вводим рациональные числа.

Бла-бла определения.

Развернуть мысли.

Дробь

Половина Алексея

На день рожденья Алексей купил себе большую пиццу. К вечеру он съел 4 куска, что составляет $\dfrac{1}{2}$ пиццы. На сколько всего кусков изначально разрезана пицца?

Решение

4 куска составляют 1/2 пиццы. То есть пицца была разделена на 2 одинаковых доли и в одной из долей 4 куска пиццы. Так как доли одинаковые, то в другой доле тоже 4 куска. Всего в двух долях 4 + 4 = 8 кусков пиццы!

Задача на неделю

В школе Васе поставили задачу на неделю вперед — решить 27 уравнений. Сколько уравнений он решит, когда выполнит 2/3 от поставленной задачи?

Решение

Всё недельное задание, 27 уравнений, разбили на 3 доли. Это значит, что в каждой доле содержится из 27 : 3 = 9 уравнений. В «двух третях» или «2 долях из 3» содержится 9 + 9 = 18 уравнений.

Долговая яма

Яна взяла в долг у подруги 30 рублей. Мама даст ей 120 рублей, но только через неделю. Какой дробью можно описать «количество денег» у Яны сейчас, относительно денег, которые она получит через неделю?

Решение

В данный момент у Яны имеется долг, который можно обозначить целым числом «–30». Если все 120 рублей поделить, собственно, на рубли (одна доля = один рубль), то в виде дроби текущее количество денег Яны можно записать как дробь «–30/120». Можно заметить, что это ровно четверть от всей суммы, поэтому если всё сумму разделить на 4 доли (по 30 рублей в каждой), то получится «–1/4».

\frac{-30}{120} = \frac{-1}{4}

Эквивалентные дроби

Равные рациональные числа, которые записаны с использованием разного количества долей, в виде разных обыкновенных дробей:

\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{1000}{1000};

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}

Рациональное число

Число, состоящее из двух целых чисел p и q:

1
Целое число p — количество «взятых» долей (взять можно сколько угодно)
2
Целое число q — ненулевое количество долей, на которые был разделен целый объект.

Основным (но не единственным) способом записи рациональных чисел является обыкновенная дробь: $\dfrac{p}{q}$ или p/q.

\frac{1}{2};

7/5;

\frac{69}{69};

0/4;

\frac{-10}{11};

8/-7

Рациональные числа обозначаются буквой $\mathbb{Q}$ .

Натуральные внутри целых, целые внутри рациональных
Каждый тип чисел добавляет что-то новое

Если речь идет о разделении объекта на части, то такое число мы называем «дробью». А в целом натуральные, целые и «дроби» вместе называются «рациональными числами».

С другой стороны, так как любое целое число Error: Error: Unique "article|integer-is-fraction" does not exist! в виде дроби, то разница между понятиями «дробь» и «рациональное число» довольно размытая. Поэтому их вполне можно использовать как синонимы!

Дроби на числовой прямой

Дроби на числовой прямой заполняют все промежутки между целыми числами:

Между целыми числами всё пространство заполняют нецелые рациональные числа

Способы записи дробей

Новый вид чисел это конечно прекрасно, но это всё еще абстракция, которая находится только в наших головах. Для того, чтобы было удобно работать с дробями: преобразовывать, выполнять с ними действия и делиться с другими людьми, нам нужно их как-то записывать. Мы уже рассмотрели пару способов это сделать: записи вида «x из y» или изображение в виде разрезанных кругов.

1
Обыкновенные дроби
2
Десятичные дроби
3
Проценты