Квадратные уравнения

Полный и подробный обзор квадратных уравнений: квадратные трехчлены, формулы Виета, дискриминант, выделение полного квадрата, разложение на множители, применение в реальной жизни. Вы даже научитесь решать квадратные уравнения в уме!

Статья

Конспект

Задачи

Общая схема понятий и формул

Стрелки указывают порядок логики вывода

Способы решения квадратных уравнений

Основные понятия

Квадратный трехчлен

Любой многочлен, записанный в следующем виде:

Ax^2 + Bx + C, \quad A \neq 0

Примеры:

\underset{{\large\phantom{A}} A = 3, \ B = 1, \ C=10 {\large\phantom{A}}}{3x^2 + x + 10}

\underset{{\large\phantom{A}} A = 1, \ B = 0, \ C=-5 {\large\phantom{A}}}{x^2 - 5}

\underset{{\large\phantom{A}} A = -1, \ B = 0, \ C=0 {\large\phantom{A}}}{-x^2}

Квадратное уравнение

Общим видом квадратного уравнения называется любое уравнение, в котором с одной стороны стоит квадратный трехчлен, а с другой ноль:

\underbrace{\overbrace{Ax^2 + Bx + C}^{\text{Квадратный трехчлен}} = 0}_{\text{Квадратное уравнение}}, \quad A \neq 0

Любое уравнение, которое имеет этот общий вид или может быть к нему сведено преобразованиями, называется квадратным уравнением.

Важна степень, а не положение!

Подавляющее количество новичков путается при определении коэффициентов A, B и C в квадратном уравнении. Коэффициенты привязаны к x и его степени. А вот положения, в которых они стоят, не имеют значения!

1
Коэффициент A всегда стоит рядом с $x^2$ .
2
Коэффициент B всегда стоит рядом с x.
3
Коэффициент C всегда стоит в одиночестве. Никаких иксов рядом с ним нет!

Рассмотрим пример $-3 + 4x^2 - 2x = 0$ . Помним, что A всегда перед $x^2$ , поэтому он равен 4. B всегда перед x, поэтому он равен –2. В одиночестве стоит –3, это коэффициент C.

Квадратное или нет?

Проверьте, какие из уравнений являются квадратными, а какие нет. Если уравнение квадратное, приведите его к общему виду и найдите, чему равны его коэффициенты A, B и C.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{lllll} 1) & 2x^2 + 3x - 5 = 0 && 2) & 3x + 5 = 0 \\ 3) & - 4 + x^2 = 0 && 4) & x^2 = 5 \\ 5) & x^2 + x = 0 && 6) & x(x + 1) = 0 \\ 7) & (x - 2)(x + 3) = 5 && 8) & 3 = x^2 + x \\ 9) & x + \dfrac{1}{x} = 2 && 10) & x^2 + 2x = x^2 \\ \end{array}

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, у которого равен нулю коэффициент B или C или оба сразу:

\underbrace{x^2 + x = 0}_{C = 0}

\underbrace{3x^2 + 8 = 0}_{B = 0}

\underbrace{10x^2 = 0}_{B = 0 \ и \ C = 0}

Любое неполное квадратное уравнение является элементарным уравнением и может быть решено простейшими преобразованиями:

Примеры уравнений при B = 0

Решите неполные квадратные уравнения:

1) \quad 10x^2 = 0

2) \quad x^2 - 16 = 0

3) \quad x^2 + 25 = 0

4) \quad \frac{x^2}{4} - 9 = 0

Примеры уравнений при C = 0

Решите неполные квадратные уравнения:

1) \quad x^2 + 5x = 0

2) \quad -10x = 4x^2

3) \quad \frac{x^2}{3} = 7x

Общие формулы

Любой квадратный трёхчлен можно «запаковать» в одну из двух формул сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Процесс такой «упаковки» называется выделением полного квадрата.

При помощи выделения полного квадрата можно решать любые квадратные уравнения:

Квадратные уравнения через полный квадрат

Решите квадратные уравнения через выделение полного квадрата:

1) \enspace x^2 - x - 1 = 0

2) \enspace -z^2 + 5z - 9 = 0

3) \enspace 4y^2 + 20y + 30 = 0

4) \enspace 6t = 9t^2

Если же отбросить частные случаи и попытаться выделить полный квадрат из квадратного уравнения в общем виде, то получится вывести универсальные формулы для решения любого квадратного уравнения:

Формула корней квадратного уравнения

Для любого квадратного уравнения в общем виде:

Ax^2 + Bx + C = 0, \quad A \neq 0

Можно найти особое число, дискриминант D, по формуле:

\boxed{D = B^2 - 4AC}

Дискриминант многое говорит о квадратном уравнении:

1
Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то у квадратного уравнения нет корней.
2
Если дискриминант равен нулю (D = 0), то у квадратного уравнения есть один корень.
3
Если дискриминант больше нуля (D > 0), то у квадратного уравнения есть два корня.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

\boxed{x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}}

Квадратные уравнения по общей формуле

Решите квадратные уравнения при помощи общей формулы:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{lllll} 1) & x^2 - 2x - 8 = 0 && 2) & 4y^2 + 20y + 30 = 0 \\ 3) & 6t = 9t^2 && 4) & -z^2 + 10z - 9 = 0 \\ 5) & 16x^2 = 100 && 6) & (2t - 7)^2 = 0 \\ \end{array}

Разложение на множители

Выделить полный квадрат можно не только из квадратного уравнения, но и напрямую из квадратного трёхчлена, используя эквивалентные преобразования. Тогда получится интересный результат — любой квадратный трёхчлен с корнями можно представить в виде произведения. Процесс перехода от формы через сложение к форме умножения называется разложением квадратного трёхчлена на множители.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Если у квадратного трёхчлена есть корни (например $x_1$ и $x_2$ ), то этот трёхчлен всегда можно разложить на множители:

\underbrace{Ax^2 + Bx + C}_{\text{Слагаемые}} = \underbrace{A(x-x_1)(x-x_2)}_{\text{Множители}}

Это две разные записи (через сложение и через умножение), которые обозначают одно и то же значение, подобно тому как 10 + 6 и $2 \cdot 8$ обозначают одно и то же число. Поэтому форму квадратного трёхчлена можно менять на форму через множители и наоборот.

Доказательство

Подобно тому как мы можем $\frac{8}{4}\cdot \small{3}$ преобразовать сначала в $2\cdot 3$ , а потом в 6, при этом все три записи означают число 6, сейчас мы будем квадратный трёхчлен преобразовывать в произведение множителей, которое означает то же самое.

Доказательство проводится путём выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена. Шаги почти такие же, как и при выводе общих формул. Только там мы работали с уравнением, а здесь у нас уравнения нет и нужно все действия проводить над выражением напрямую, никак не меняя его значение.

Начинаем с квадратного трёхчлена:

Ax^2 + Bx + C

Вынесем за скобки A:

A\left[x^2 + \frac{B}{A}x + \frac{C}{A}\right]

Допишем умножение на 2 в центре и сразу же компенсируем его делением на 2:

A\left[x^2 + \yellow{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{B}{A} \cdot x + \frac{C}{A}\right] = A\left[x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{B}{2A} + \frac{C}{A}\right]

Чтобы завершить выделение полного квадрата, нам не хватает $\left(\frac{B}{2A}\right)^2$ . Добавим и сразу вычтем эту дробь в квадрате, чтобы не менять значение выражения. Тогда можно запаковать часть выражения по квадрату суммы:

A\left[x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{B}{2A} \yellow{+ \left(\frac{B}{2A}\right)^2 - \left(\frac{B}{2A}\right)^2} + \frac{C}{A}\right] = \\ = A\left[\underbrace{x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{B}{2A} + \left(\frac{B}{2A}\right)^2}_{\text{Квадрат суммы}} - \left(\frac{B}{2A}\right)^2 + \frac{C}{A}\right] = \\ = A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \left(\frac{B}{2A}\right)^2 + \frac{C}{A}\right]

Лишние данные, оставшиеся после выделения полного квадрата, можно «запаковать» в одну дробь. Для этого надо вынести минус за скобки и привести дроби к общему знаменателю:

A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{B^2 - 4AC}{4A^2}\right]

Заменяем числитель дроби справа на дискриминант D:

A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{\overbrace{B^2 - 4AC}^{\text{Дискриминант}}}{4A^2}\right] = A\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{D}{4A^2}\right]

Остался последний шаг. Нам нужно воспользоваться третьей формулой сокращённого умножения (ФСУ), которая называется разностью квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

В её верности можно убедиться, если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Используем эту формулу, чтобы разность в скобках представить в виде произведения множителей:

A\overbrace{\left[\left(x + \frac{B}{2A}\right)^2 - \frac{D}{4A^2}\right]}^{\text{Разность квадратов}} = A\left[\left(x + \frac{B}{2A} - \sqrt{\frac{D}{4A^2}}\right)\left(x + \frac{B}{2A} + \sqrt{\frac{D}{4A^2}}\right)\right] = \\ = A\left(x + \frac{B}{2A} - \frac{\sqrt{D}}{2A}\right)\left(x + \frac{B}{2A} + \frac{\sqrt{D}}{2A}\right)

В обеих скобках записываем дроби под одной чертой:

A\left(x + \frac{B - \sqrt{D}}{2A}\right)\left(x + \frac{B + \sqrt{D}}{2A}\right)

Теперь из знаменателей обеих дробей вынесем –1:

A\left(x - \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}\right)\left(x - \frac{-B - \sqrt{D}}{2A}\right)

Обратите внимание, что в обеих скобках справа теперь стоят выражения, которые равны общим формулам корней квадратного уравнения. Поэтому эти выражения можно заменить на обозначения корней $x_1$ и $x_2$ :

A\left(x - \underbrace{\frac{-B + \sqrt{D}}{2A}}_{\text{Корень 1}}\right)\left(x - \underbrace{\frac{-B - \sqrt{D}}{2A}}_{\text{Корень 2}}\right) = A\left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right)

Итак, мы начали с квадратного трёхчлена $Ax^2 + Bx + C$ и одинаковыми, эквивалентными преобразованиями пришли к произведению множителей $A(x - x_1)(x - x_2)$ . Значение же выражения мы никак не меняли. Все, что добавлялось тут же компенсировалось. Поэтому мы получили две разные записи одного и того же, одну через сумму слагаемых, а другую через произведение множителей:

Ax^2 + Bx + C = A(x - x_1)(x - x_2)

$\blacksquare$

Примеры разложения на множители

Разложите квадратные трёхчлены на множители:

1) \enspace x^2 + 2x + 5

2) \enspace 2y^2 - 8y + 6

3) \enspace 3z^2 + z

Разложение на множители используется для упрощения сложных выражений с квадратами и решения неравенств.

Формулы Виета

Если в разложенном на множители квадратном трёхчлене раскрыть скобки, то получится связать его корни с коэффициентами A, B и C:

Формулы Виета

Если у квадратного трёхчлена $Ax^2 + Bx + C$ есть корни $x_1$ и $x_2$ , то эти корни связаны с его коэффициентами следующими формулами:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \end{cases}

Формулы Виета также часто называют Теоремой Виета.

Вывод формул

Итак, у нас имеется квадратный трёхчлен:

Ax^2 + Bx + C

Нам известно, что у него есть корни $x_1$ и $x_2$ . Значит, его можно разложить на множители:

A(x - x_1)(x - x_2)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

A(x - x_1)(x - x_2) \\ = A\left[ x^2 - x_2 \cdot x - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2 \right] \\ = A\left[ x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2 \right] \\ = Ax^2 - A(x_1 + x_2) \cdot x + A \cdot x_1 \cdot x_2

Замечаем, что мы по сути этими действиями обратно пришли к форме квадратного трёхчлена $Ax^2 + Bx + C$ . Только коэффициенты B и C теперь записаны через коэффициент A и корни $x_1$ , $x_2$ :

Ax^2 \underbrace{- A(x_1 + x_2)}_{B} \cdot x + \underbrace{A \cdot x_1 \cdot x_2}_{C}

Отсюда получаем формулы коэффициентов B и C через корни $x_1$ и $x_2$ :

\begin{cases} -A(x_1 + x_2) = B \\ A \cdot x_1 \cdot x_2 = C \end{cases}

Первое равенство по правилу одинакового действия делим на –A, а второе просто на A и получаем итоговый вид формул Виета:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \end{cases}

$\blacksquare$

Формулы Виета используются для анализа квадратных уравнений и удобного их построения. Кроме того, с их помощью квадратные уравнения с «красивыми» корнями можно решать в уме.

Решение уравнений по формулам Виета

Решите квадратные уравнения в уме или устно, используя формулы Виета:

1) \enspace x^2 - 14x + 40 = 0

2) \enspace x^2 + 205x + 606 = 0

3) \enspace 67x^2 - 105x - 172 = 0

Быстрое решение квадратных уравнений

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, у которого старший коэффициент A равен 1:

x^2 + Bx + C = 0

Оказывается, существует удобная связь между корнями неприведённого квадратного уравнения и его «приведённого» варианта, когда коэффициент A «перенесли» к коэффициенту C:

Связь корней неприведённого и приведённого уравнений

Пускай имеется любое квадратное уравнение в общем виде. Его корни (если они есть) обозначим за $x_1$ и $x_2$ .

Ax^2 + Bx + C = 0

Из этого уравнения всегда можно составить приведённое квадратное уравнение, «перенеся» A от $x^2$ к коэффициенту C. Его корни обозначим за $x_1'$ и $x_2'$ .

x^2 + Bx + A\cdot C = 0

Тогда корни исходного квадратного уравнения можно получить из корней приведённого уравнения, просто поделив их на A:

x_1 = \frac{x'_1}{A}

x_2 = \frac{x'_2}{A}

Доказательство

Найдём дискриминант исходного, неприведённого уравнения. Его коэффициенты равны A, B и C:

D = B^2 - 4AC

Теперь найдём дискриминант приведённого уравнения. Его коэффициенты равны 1, B и $A\cdot C$ :

D' = B^2 - 4\cdot 1 \cdot (A\cdot C) = B^2 - 4AC

Как видим, дискриминанты у этих уравнений одинаковые, D = D'. А раз они равны, то общие формулы корней будут отличаться только коэффициентом A в знаменателе:

x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{1}{A}\cdot \underbrace{\frac{-B \pm \sqrt{D'}}{2}}_{\small x_{1,2}'} \\ \boxed{x_{1,2} = \frac{x_{1,2}'}{A}}

$\blacksquare$

Эту связь можно использовать для решения в уме даже неприведённых квадратных уравнений:

Решение квадратных уравнений в уме

Решите квадратные уравнения в уме или устно, используя связь корней неприведённого и приведённого уравнений:

1) \enspace 5x^2 + 16x - 16 = 0

2) \enspace -4x^2 + 33x - 8 = 0

3) \enspace 3x^2 - 17x - 6 = 0

Источники10

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Если рядом с названием стоит звездочка, то это избранный источник и с ним стоит ознакомиться, если вы хотите глубже погрузиться в материал.

LibreTexts Mathematics

Свободные онлайн учебники на системе LibreTexts

Solve Quadratic Equations Completing the Square

Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula

Math Us!

Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике. Игорь Вячеславович Яковлев

Замена переменной

Math is Fun

Обучающие статьи по математике

Real World Examples of Quadratic Equations

Brilliant

Образовательная платформа по математике и IT