Элементарные уравнения

Научимся решать уравнения и преобразовывать равенства. Просто, наглядно, с примерами и без заучивания наизусть кучи странных правил. Это ключевой и необходимый навык в математике и всех остальных точных науках.

Разработка

Статья

Конспект

Задачи

Равенство

Два выражения, между которыми стоит знак «равно» (=).

5 = 5

1 + 2 = 3

0 = 4

8x = \frac{1}{a}

Уравнение

Равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных (переменных).

x + 3 = 5

t^2 + 8t = 100

z = \frac{1}{x}

Решение уравнения

Решениями или корнями уравнения называют такие числа, которые при подстановке вместо неизвестных превращают его в истинное равенство.

«Решить уравнение» — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Решение уравнений угадыванием

Решите три уравнения:

1) \enspace x + 3 = 5

2) \enspace y^2 = 16

3) \enspace 0\cdot z = 15

Правило одинакового действия

Если над обеими частями истинного равенства совершить одно и то же действие (прибавить, вычесть, умножить, разделить или любое другое так далее), то полученное новое равенство тоже будет истинным.

\begin{array}{} 1 + 1 = 2 \ \text{\small (истинное)} \\[5px] {\footnotesize \brand{+6}} \ | \ 1 + 1 = 2 \ | \ {\footnotesize \brand{+6}} \\ 6 + 1 + 1 = 2 + 6 \\[5px] 8 = 8 \ \text{\small (истинное)} \end{array}

Есть и совсем простая формулировка.
Запомните её на всю жизнь:

ЧТО СДЕЛАЛИ СЛЕВА, ТО ЖЕ ДЕЛАЕМ И СПРАВА!

Доказательство. С утками и коммунистами!

Есть такой шуточный «утиный тест»:

«Если это выглядит как утка, плавает как утка и крякает как утка, то это и есть утка.»

Вот только оказалось, что это никакая не шутка. Раньше при помощи этого теста вполне реально выясняли, является ли человек коммунистом.

А математики пошли ещё дальше и буквально сделали тест основным принципом (или аксиомой) своей науки. Пусть у нас есть два объекта. Если эти два объекта ведут себя одинаково при любых действиях с ними, то это и означает, что это одинаковые или равные объекты.

Теперь отметём шутки, коммунистов и уток в сторону. Такое сравнение по «реакции» действительно весьма логичный способ определять равенство объектов. Если никаким способом, никаким действием нельзя от двух объектов получить различную реакцию, то эти объекты действительно можно считать одинаковыми.

Пользуясь этим принципом, мы можем доказать правило одинакового действия.

В истинном равенстве у нас по бокам от знака = лежат одинаковые объекты. Мы совершаем над обоими этими объектами одинаковое действие, и они одинаково реагируют на действие — превращаются в другую пару тоже одинаковых объектов. А значит, новое равенство тоже истинно.

$\blacksquare$

Примеры сохранения истинности

Придумайте четыре истинных равенства. Проведите с ними какое-нибудь действие согласно правилу одинакового действия. По одному равенству на каждое действие: сложение, вычитание, умножение и деление.

Решение уравнений

Уравнения с цепочкой действий

Решите уравнения:

1) \enspace 4x - 4 = 5 + x

2) \enspace \frac{x + 10}{8} = -\frac{1}{8}

Решение уравнений по-разному

Решите оба уравнения из примера выше другими способами:

1) \enspace 4x - 4 = 5 + x

2) \enspace \frac{x + 10}{8} = -\frac{1}{8}

Действие всегда «глобально»

При преобразовании равенств всегда применяйте действие ко всей стороне равенства целиком как единому целому, и никогда к отдельным её частям!

\red{\cdot \ 3} \ | \ 2x + 5 = 8 + x \ | \red{\cdot 3} \\ 3 \cdot \red{(} 2x + 5 \red{)} = \red{(}8 + x \red{)} \cdot 3

Источники2

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Для более глубокого погружения в материал рекомендуются ознакомиться с ними подробнее, особенно с избранными источниками, которые отмечены звездочкой:

Википедия

Свободная энциклопедия

Robert Recorde

Английский математик и врач

«Утиный тест»

Не такой уж и безобидный «шуточный» тест на очевидность происходящего