Сочетания

Сколькими способами можно выбрать три различных краски из имеющихся пяти различных красок?

Сколькими способами на шахматную доску $8 \times 8$ клеток можно поставить 8 одинаковых ладей? А если расставлять k ладей на поле размером $n\times m$ клеток?

У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого — 9 книг. Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на одну книгу другого? А 3 книги одного на 3 книги другого?

Сколькими способами можно вывезти со склада 12 ящиков на двух одинаковых машинах, если на каждую машину грузят по 6 ящиков?

Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами это можно сделать?

А сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в так называемой шведской эстафете 100 + 200 + 400 + 800?

Труппа состоит из 10 артистов. Сколькими способами можно выбирать из неё в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?

Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если среди них есть двое, которых нельзя выбирать вместе?

Сколькими способами можно выбрать m человек из n так, чтобы данные p человек не были выбраны вместе?

Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов (кубоидов), у которых длина каждого ребра является целым числом от 1 до 10?

На плоскости проведены n прямых линий, из которых никакие две не являются параллельными и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

У мамы два одинаковых яблока и три одинаковых груши. Каждый день в течение 5 дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано? Решите аналогичную задачу, если если яблок n, а груш k.

Олег решил задачу Фруктовые дни следующим образом. Он выписал все фрукты в один ряд, а над ними стал проставлять номера дней. Например:

Каждый вариант раздать фрукты является размещением без повторений из 5 дней по 5 фруктам. Олег получает ответ: $A_5^5 = 120$.

Найдите ошибку в рассуждениях Олега и подробно поясните, почему именно его подход оказался неверен. Приведите конкретный пример, наглядно демонстрирующий несостоятельность решения.

Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждую команду должен входить хотя бы один юноша.

Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, надо избрать президиум в составе 5 человек и делегацию в составе 3 человек. Сколькими способами может быть произведен выбор, если члены президиума могут войти в состав делегации? А если не могут?

В компьютерной игре «Dota 2» между собой сражаются две команды: «Силы Света» и «Силы Тьмы». Из 124 доступных для выбора героев в каждую команду выбирается по 5 героев. Брать одних и тех же героев нельзя.

Сколькими различными способами герои могут распределиться по командам? Могли ли сразиться между собой все возможные пятерки героев, если за время существования игры было сыграно около 8 миллиардов матчей?

Какое максимальное количество точек пересечения диагоналей может быть в выпуклом n-угольнике, если никакие три из них не пересекаются в одной точке?

Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий должны написать по 5 глав, второй — 4, а четвертый — 3 главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между авторами?

Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания? А в порядке убывания? А если цифры должны быть разными?

На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй — 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими способами это может быть сделано?

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти?

Сколькими способами могут выпасть три одинаковые игральные кости? Во скольких случаях хотя бы на одной кости выпадет 6 очков? Во скольких случаях ровно на одной кости выпадет 6 очков? Во скольких случаях ровно на одной кости выпадет 6 очков, а на другой — 3 очка?

Сколькими способами число n можно разложить на m слагаемых при условии, что ноль тоже считается за отдельное слагаемое?

Порядок слагаемых имеет значение!

Выписаны все сочетания с повторениями из n букв по n. Покажите, что каждая буква встретится $C_{2n-1}^n$ раз.

В восточной игре «нарды» 15 белых и 15 черных шашек стоят на 24 полях так, что каждое поле или пустое, или занято несколькими белыми шашками, или занято несколькими черными шашками. Сколькими способами можно расставить шашки на полях по этим правилам?