Рациональные числа

Возможно ли задать рациональное, указав только число «взятых» долей, без указания, на сколько долей объект был «разрезан»? Приведите пример, поясняющий ваш ответ.

Изобразите при помощи кругов следующие рациональные числа, заштриховывая «взятые» доли:

• «половина»
• «1 кусок пиццы из 3»
• 2/4
• $\dfrac{3}{3}$
• «0 долей из 2»

Опишите доли из которых состоят изображенные на рисунке рациональные числа:

В коробке лежит 13 старых игрушек и 17 новых. Какую часть всех игрушек составляют старые игрушки? А новые?

У ребят было 120 рублей. 1/2 из них забрал себе Петя. Остаток разделили ещё на три части. 2/3 забрал Ваня. Остальное досталось Артёму. Сколько рублей у каждого из ребят?

В парке две трети деревьев сосны, половина из оставшихся берёзы, остальное — 8 дубов. Посчитайте количество деревьев каждого вида.

Мы ведь уже показывали в статье, что существует алгоритм, как любое целое число обозначить при помощи рационального числа. Так нафига мы потом ещё раз отдельно доказывали, что деление и дробная черта взаимозаменяемы? Мы проделали одну и ту же работу дважды?

Про каждое число из списка ниже установите, является ли оно натуральным, целым, рациональным, обыкновенной дробью:

Зарплата Василия выросла со $100 \ 000$ рублей до $150 \ 000$ рублей. В разговоре со своим другом Василий хвастается, что теперь его зарплата выросла на треть, так как $50 \ 000$ рублей это 1/3 от $150 \ 000$ рублей. Друг же утверждает, что Василий посчитал неправильно. Кто из друзей прав? На сколько «частей» действительно выросла зарплата Василия?

Рите пришла зарплата. В первый день она потратила 1/4 всей зарплаты на ужин в ресторане. На следующий день она потратила 3/15 всей зарплаты на покупку одежды. На третий день она потратила 2/6 всей зарплаты, 30 000 рублей, на новый телефон. Какова зарплата Риты, сколько она тратила каждый день и сколько у нее осталось?

Вопрос со звездочкой — хватит ли у нее денег на четвертый день купить себе сумочку за 4999 рублей?

В школе 1/3 учеников — левши. Остальные 350 учеников — правши. Выпендрёжников амбидекстров в школе нет. Сколько учеников в школе всего и сколько левшей?

Почему доли, используемые для конструирования рациональных чисел, всегда одинаковые? Можно ли убрать это требование и тупо делить объект «как попало»?

На ферме Фёдора курицы снесли яйца. Он продал 3/5 яиц. Из оставшихся яиц 1/4 разбились. У него осталось 24 яйца. Сколько яиц было у Фёдора?

Катя каждый день ходит на пробежку. Когда она пробежала 5/8 пути и ещё 200 метров, то до финиша ей оставалось 400 метров. Сколько метров пробежала Катя и какова дистанция всей пробежки?

Найдите среди следующих дробей равные между собой и запишите их в виде цепочки равенств:

Последний экзамен по математике будет длиться 1 час. Учитель сказал, что со всеми вопросами можно ознакомиться за 5 минут, ответ на каждый вопрос занимает 2 минуты, а остальное время уйдет на проверку работ. Весь экзамен состоит из 20 вопросов. Какую часть от общего времени экзамена составляет время на проверку работ? Ответ запишите в виде нескольких дробей.

Строго докажите, что любое целое число m можно записать в виде обыкновенной дроби, что несократимая дробь для него имеет вид m/1, и что она равна любой дроби вида km/k, где k — любое натуральное число.

После этого выберите три любых целых числа и запишите их как в виде несократимой дроби, так и с домножением на 69, 171 и 2025.

Докажите «очевидный» факт, что если у эквивалентных (равных) рациональных чисел одинаковые знаменатели, то одинаковые и числители. И наоборот, если одинаковые числители, то одинаковые и знаменатели.

Примеры:

Существуют ли несократимые дроби с четными числителем и знаменателем?

Вот есть рациональное число $\dfrac{a}{b}$. Если его перевернуть вверх ногами, то получится новое $\dfrac{b}{a}$, которое называется «обратной дробью» по отношению к исходной. Примеры:

Какими должны быть целые числа a и b, чтобы дробь оказалась равна своей обратной дроби?

Приведите три примера рациональных чисел, которые равны своим обратным.

1. 1
   Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.
2. 2
   Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.
3. 3
   Запишите все неправильные несократимые дроби со знаменателем 7.

Пропорцией в математике называют равенство двух отношений (двух делений) (двух дробей):

Докажите основное свойство пропорции — из равенства двух дробей следует равенство произведений их числителей и знаменателей «крест-накрест», и наоборот:

Примите «на веру» основное свойство пропорции и с его помощью докажите основное свойство дроби.

Докажите, что если две дроби равны, то равны будут и перевернутые вверх ногами дроби:

Для каждой дроби найдите, чему равно целое число, скрывающееся за буквой x:

Укажите общий алгоритм, позволящий легко составлять подобные равенства, быстро находить x или же определять, что x не может быть целым числом.

Допустим у нас есть пропорция:

Докажите два свойства пропорции:

Обязательно запомните их, ведь дальше они вам ни разу не пригодятся!

Когда мы поясняли суть основного свойства дроби, мы говорили, что сокращение дробей — это деление числителя и знаменателя на одно и то же число. В нашем «долевом» понимании этого процесса мы делим нацело количество «задействованных» долей, склеиваем их, а также делим нацело и общее количество долей.

Но ведь если еще и «неиспользованные» доли! Например в дроби 6/8 при сокращении мы 6 «взятых» долей превращаем в 3, 8 «всех долей» в 4. А сокращаются ли «неиспользованные» 2 доли? А что если иногда сокращаются, а иногда нет? Ведь это же ломает логику основного свойства дроби!

В основном свойстве дроби дробь умножать и делить можно только на натуральные числа. Выполняется ли это свойство при домножении или сокращении на отрицательные числа?

Докажите, что любое рациональное число может быть сведено к несократимой дроби.

Докажите, что у любого рационального числа есть только одна несократимая форма.

В задании Аннигиляция нулей мы выяснили, что нули в числителе и знаменателе можно сокращать «на месте», прямо вычеркивая их из чисел:

Бывают ли еще какие-нибудь другие числа или ситуации, в которых можно так же «на месте» вычеркнуть из чисел сверху и снизу одинаковую последнюю цифру и чтобы получилась равная дробь?