Квадратные уравнения

Составьте квадратное уравнение с переменной v из данных коэффициентов A, B и C:

Маше нужно было решить неполное квадратное уравнение при C = 0:

Она решила по правилу одинакового действия поделить обе части уравнения на x:

Решая это элементарное уравнение, она нашла корень $-\frac{3}{2}$ и сдала работу на проверку учителю. Правильно ли она решила уравнение? Если нет, подробно объясните, в чём ошибка Маши.

Во время выделения полного квадрата мы неявно берем корни. Но ведь взятие корня может приводить к разным результатам:

Куда деваются все эти знаки и почему у нас получается нормально выделять полный квадрат? Докажите, что мы можем игнорировать неоднозначность взятия корней и выделять полный квадрат без возьни со знаками.

В уме найдите пары чисел (m;n), удовлетворяющие условиям:

При каких значениях p и q корни уравнения $x^2 + px + q = 0$ равны 2p и $\dfrac{q}{2}$?

Пускай $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения в общем виде $Ax^2 + Bx + C = 0$. Будем считать, что и корни и коэффициенты не равны нулю. Составьте новое уравнение, корни которого:

1. 1
   Противоположны корням данного
2. 2
   Обратны корням данного
3. 3
   В 5 раз больше корней данного

Применяя полученные формулы, запишите 3 новых уравнения из $3x^2 - x - 1 = 0$.

Не вычисляя корней уравнения $2x^2 - 5x + 1 = 0$, найдите просто разность и разность квадратов его корней. Почему в обоих случаях получается два возможных ответа?

При каких значениях параметра a один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

Покажите свое полное интеллектуальное превосходство над мудрецами древности и всеми возможными способами найдите размеры проклятого сада, который ставит их в тупик:

Сумма числа и его обратного равна $\dfrac{5}{2}$. Найдите число.

Сумма квадратов двух идущих друг за другом четных чисел равна 244. Найдите эти числа.

Решите квадратные уравнения не используя общих формул корней:

Поезд проезжает 200 километров с постоянной скоростью. Если бы он ехал на 10 километров в час быстрее, то проехал бы это расстояние на 1 час меньше. С какой скоростью ехал поезд?

Выведите общие формулы для решения любых квадратных уравнений вида:

При каких условиях у этого уравнения есть решения?

Правда ли, что если все слагаемые квадратного уравнения в общем виде со знаком +, например $3x^2 + x + 100 = 0$, то у него нет решений? Ведь мы складываем три положительных числа, которые в сумме уж никак не могут дать 0! Если это не так, то приведите контрпример и подробно объясните, почему эта логика ошибочна.

Три уравнения ниже имеют одинаковые корни и отличаются друг от друга только единым множителем, на которые были умножены все коэффициенты.

Поделив обе части второго уравнения на 2, а третьего на 3, мы вновь получим исходное первое уравнение. Умножив обе части второго уравнения на $\frac{3}{2}$, мы получим третье уравнение. Короче, все три уравнения можно свести друг к другу умножением на какое-то число.

А существуют ли два уравнения с одинаковыми корнями, которые невозможно свести друг к другу умножением на какое-то число? Если существуют, приведите пример таких уравнений. Если не существуют, строго докажите это.