Рациональные числа

Вид чисел, позволяющий обозначать части от целых объектов, целые объекты и даже целые вместе с частями. Рациональные числа появились как решение проблем целых чисел: провалов в делении и невозможности обозначать «часть от целого». Но они способны на гораздо больше и обладают удивительными свойствами…

Статья

Конспект

Задачи

Когда «целых» недостаточно…

У нас и так уже есть два типа чисел. Натуральные числа нужны для простого подсчёта объектов: 100 баллов на экзамене, 53 овцы на ферме, 4 стула за столом, 1 мозг в голове. Добавляя к этим числам 0 для обозначения отсутствия объектов и отрицательные числа (–1, –2, и т.д.) для обозначения долгов, мы получаем целые числа.

Нафига придумывать ещё один тип чисел? Ведь это крайне сложная и трудоёмкая задача. Нужно не только дать им определение, но и как-то их записывать, связать с другими числами, сравнивать между собой, выполнять действия: складывать, вычитать, умножать и делить.

Поэтому новые типы чисел появляются только в самых крайних случаях, когда предыдущие типы не справляются с задачами, которые перед ними ставятся. Нужны крайне веские причины. И сейчас мы их перечислим.

Проблема деления

Деление — вечная заноза в заднице математики.
Мало того, что делить на ноль нельзя, так ещё и просто деление двух ненулевых чисел может привести к непонятным результатам. Некоторые числа делятся друг на друга нацело, то есть результатом деления двух целых чисел будет целое число:

6 : 3 = 2

1000 : 10 = 100

-8 : 4 = -2

0 : 7 = 0

Однако можно привести множество примеров, когда числа друг на друга не делятся нацело и нам просто нечего ответить:

7 : 2 = \ ?

5 : 3 = \ ?

-9 : 4 = \ ?

Интуитивно мы понимаем, что результатом деления 5 : 2 будет «две целых» и «ещё половинка». Вот только в целых числах не существует никаких «половинок»! Ответы на эти примеры невозможно записать в виде целых чисел! На языке математики говорят, что целые числа не замкнуты относительно операции деления — есть дыры, через которые можно вывалиться из мира целых чисел куда-то глубже… Надеюсь, у вас нет страха глубины…

Так мы приходим к первой причине необходимости придумать новый тип чисел:

1. Целых чисел не хватает для операции деления!

Проблема «части от целого»

Целые числа очень удобно использовать для подсчёта, внезапно, «целых» объектов: 1 корова, 100 рублей, 0 игр, –2 доллара. Однако в нашей жизни очень часто происходят ситуации, когда нужно как-то обозначить «часть от целого». Целые числа для этого использовать невозможно:

Слева целое число «1», а остальное целыми числами не выразить!

У нас есть бытовые слова для обозначения частей: «половина», «четверть», «треть» и так далее, но в математике их использовать неудобно. Во-первых, это именно слова из букв, что занимает много места. Во-вторых, у нас есть слова только для самых часто встречающихся «частей от целого», но эти самые «части» могут быть вообще любыми!

Так мы приходим ко второй причине необходимости придумать новый тип чисел:

2. Целые числа не позволяют обозначать «части от целого»!

Построение новых чисел

Итак, у нас есть несколько весьма веских причин придумать что-то более глубокое и гибкое, чем «целые числа». Нам нужен новый тип чисел, которые решат следующие проблемы:

1
Любое деление, кроме деления на ноль, всегда будет иметь ответ.
2
Позволят обозначать «части от целого».

Математика — это наука об абстракциях. И прямо сейчас мы будем придумывать и связывать между собой новые абстракции — построим абсолютно новый тип чисел! Это чрезвычайно ответственный процесс, требующий максимальной концентрации и внимания!

Доля

Представьте ситуацию — на семейный ужин вы заказали пиццу. Работать как с целым числом «1» с ней бесполезно, можно только целиком её съесть, а так нельзя! Эх, придется резать на куски или доли, причем обязательно одинаковые, чтобы все было честно.

Пиццу решили разрезать на 6 равных долей. Начинается трапеза. Кто-то съел «1 кусочек из 6», кто-то «2 из 6». Кто-то возможно осилил аж «3 из 6». Подобные части от целого (съеденные куски от целой пиццы) очень удобно визуализировать при помощи кругов:

Обратите внимание, что для обозначения «части от целого» мы используем доли:

«1 из 6» означет «шестую часть» целого (пиццы)
«2 из 6» означает «треть» целого
«3 из 6» означает «половину» целого
«0 из 6» означает просто 0 — никакая часть не была съедена

Общий алгоритм понятен — для обозначения «части от целого» мы сначала делим целое на одинаковые доли, а потом берём какое-то количество этих долей, которые вместе эту самую «часть» и обозначают/изображают/визуализируют. Всегда для обозначения «части от целого» требуется два целых числа:

1
Общее количество долей — кусков, на которые изначально была разрезана пицца.
2
Количество использованных долей — кусков, которые были съедены.

По отдельности эти числа бесполезны. Если сказать только, сколько кусков ты съел, то непонятно, много это или мало. Не с чем сравнивать. С другой стороны, если сказать только, на сколько кусков была разрезана пицца, то непонятно, про какую съеденную часть идёт речь.

Вот мы и придумали, как обозначать «части от целого» при помощи двух целых чисел…

Но мы можем пойти дальше.
Если взять все «6 долей из 6», то из них собирается одна целая пицца. Выходит, при помощи долей мы можем получить целое число!

Если отбросить ограничение на количество долей, то можно взять и «8 долей из 6» — целую пиццу и ещё 2 кусочка. Или даже «12 долей из 6» — две целые пиццы!

«8 долей из 6»
1 целая пицца и ещё 2 доли

Наконец, скажем пару слов и про «негативные» или «отрицательные» доли. Например «–4 доли из 6» можно представить как 4 куска пиццы, которые вы кому-то должны. С другой стороны, можно всю пиццу разделить на «должностные» –6 кусков. Тогда «4 доли из –6» означает все тот же долг в 4 куска пиццы. Короче, без разницы где стоит минус — суть одна.

-4 \text{ из } 6 = 4 \text{ из } -6 = - ( 4 \text{ из } 6 )

А если минусы стоят у обоих долей, например «–4 из –6»? Тут можно сравнить с воровством. Если у вас украли 6 долей пиццы (–6), а потом вы украли уже украденные 4 доли, то по сути вы вернули себе свои же 4 доли пиццы!

-4 \text{ из } -6 = 4 \text{ из } 6

Получается, долями можно обозначать «части от целого», объекты целиком, целые объекты вместе с частями и даже оперировать отрицательными долями! Объединим всё это вместе и сформулируем теперь абстрактное и ключевое понятие «доля»:

Доля

Один из одинаковых «кусков», на которые был разделен целый объект.

Долей бесконечно много, они не могут закончится. Задействуя разное количество долей, можно:

1
Обозначать части целого объекта: «1 из 2», «3 из 6»
2
Обозначать объекты целиком: «2 из 2», «6 из 6»
3
Обозначать несколько целых объектов вместе с частями: «5 из 2», «9 из 3»
4
Всё перечисленное делать с отрицательными долями: «–4 из 6», «4 из –6»

На основе долей строятся обыкновенные дроби и рациональные числа.

Обыкновенная дробь

Мы научились обозначать «части от целого», «целые» и «целые вместе с частями» при помощи долей. Но всё ещё есть проблема — длинные и неудобные в математике предложения «количество долей, на которые был разделен объект» и «количество взятых долей». Надо всё это как-то коротко и лаконично записывать. Для этого вводим понятие «обыкновенная дробь»:

Обыкновенная дробь

Удобная и компактная запись долей. Количество «взятых» долей называется числителем. Общее количество долей, на которые был разделен объект, называется знаменателем.

Числитель находится сверху (слева), а знаменатель снизу (справа). Между ними находится дробная черта:

\underbrace{ \frac{1}{2} \quad 1/2 }_{\small\text{1 доля из 2}}

\underbrace{ \frac{100}{1} \quad 100/1 }_{\small\text{100 долей из 1}}

\underbrace{ \frac{0}{8} \quad 0/8 }_{\small\text{0 долей из 8}}

\underbrace{ \frac{-10}{11} \quad -10/11 }_{\small\text{-10 долей из 11}}

Обыкновенные дроби являются основным способом записи рациональных чисел.

Так как обыкновенные дроби являются просто удобной записью выражений с долями, то для них так же распространяются все те рассуждения и равенства, которые мы вывели для отрицательных долей:

\frac{-1}{2} = \frac{1}{-2} = - \frac{1}{2};

\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}

Дробный домострой

Если вам тяжело запомнить, где находятся числитель и знаменатель, то воспользуйтесь ассоциацией «Числитель = Чердак» в доме. А чердак находится где? Наверху! Значит и числитель обыкновенной дроби находится сверху!

Теперь у нас появилась возможность кратко и компактно обозначать «части от целого», записывая их в виде обыкновенных дробей. Больше никаких «делим на столько-то долей, берём столько-то». Теперь в моде дробная черта!

$\dfrac{1}{6} \enspace \text{или} \enspace 1/6$

$\dfrac{2}{6} \enspace \text{или} \enspace 2/6$

$\dfrac{3}{6} \enspace \text{или} \enspace 3/6$

Обратите внимание, что во всех примерах выше числитель всегда меньше знаменателя. То есть обыкновенная дробь используется для обозначения «части от одного целого объекта» в том смысле, что «часть» меньше, чем «целый объект». Такие дроби называются правильными:

Правильная дробь

Обыкновенная дробь, в которой числитель меньше знаменателя:

\frac{1}{2} \quad 1/2

\frac{100}{9999} \quad 100/9999

\frac{0}{3} \quad 0/3

Правильные дроби обозначают часть от целого объекта.

Да, вы всё правильно поняли. Раз есть «правильные» дроби, то бывают и «неправильные» дроби. Такие обыкновенные дроби появляются, когда мы расширяем сознание и говорим, что долей можем брать сколько угодно — собирать из них целые объекты или целые объекты вместе с частями!

$\dfrac{6}{6} \enspace \text{или} \enspace 6/6$
1 целая пицца

$\dfrac{8}{6} \enspace \text{или} \enspace 8/6$
1 целая пицца и ещё 2 доли

$\dfrac{12}{6} \enspace \text{или} \enspace 12/6$
2 целые пиццы

Неправильная дробь

Обыкновенная дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю:

\frac{6}{6} \quad 6/6

\frac{8}{6} \quad 8/6

\frac{666}{1} \quad 666/1

Неправильные дроби обозначают целые объекты и целые объекты с частями.

Рациональное число

Думаете, тут будет что-то новое? Нет, мы и так уже в предыдущих двух разделах неявно пользовались рациональными числами. Да-да, вот эти самые сдвоенные «долевые числа», «числа через доли», когда мы бьем объект на доли и берем сколько нам надо — это как раз они и есть!

Рациональное число

Число, состоящее из двух целых чисел p и q:

1
Целое число p — количество «взятых» долей (взять можно сколько угодно)
2
Целое число q — ненулевое количество долей, на которые был разделен целый объект.

Основным (но не единственным) способом записи рациональных чисел является обыкновенная дробь: $\dfrac{p}{q}$ или p/q.

\frac{1}{2};

7/5;

\frac{69}{69};

0/4;

\frac{-10}{11};

8/-7

Рациональные числа обозначаются буквой $\mathbb{Q}$ .

Проясним все важные и непонятные моменты в определении рациональных чисел:

Почему знаменатель q не может быть равен 0?
Потому что невозможно разделить целый объект так, чтобы образовалось 0 кусков/долей. Если никак не делить, то будет всё равно 1 доля в виде целого объекта, а не 0! Поэтому и обыкновенные дроби, и рациональные числа с нулевым знаменателем не имеют смысла.
Почему «рациональные»?
Потому что «ratio» в переводе с латинского означает «отношение/деление/дробь». Ещё одно объяснение состоит в том, что слово «рациональный» означает «разумный» и «логичный». Получается, рациональные числа это «разумные» и «логичные» числа, в противовес ломающим мозги иррациональным числам, о которых позже (да, такие тоже есть).
Почему буква $\mathbb{Q}$ ?
Потому что это первая буква слова «quotient» (частное), что подчеркивает прямую связь рациональных чисел с операцией деления — рациональные числа придумали как решение проблемы деления целых чисел.
Почему буквы p и q?
А просто так. Тут никакого скрытого смысла нет. В целом по миру для обозначения обыкновенных дробей используют буквы p/q. В России регулярно используют буквы n/m. Разницы никакой. Используйте то, что вам удобнее.
Рациональные числа — абстракция!
Обыкновенная дробь — запись!
Рациональные числа, как и целые числа, не существуют в реальном мире. Мы их придумали. Но надо же наши выдумки как-то записывать, чтобы можно было с ними работать, делиться с другими людьми и т.д.
Целые числа мы записываем арабскими цифрами 1, 2, 3…, а рациональные числа записываем обыкновенными дробями. Вы же не путаете слово «медведь» на бумаге и реального медведя, который собирается вас сожрать? Вот и запись «p/q» не путайте с абстрактным понятием «рациональное число»!

Решение проблем

Посмотрим теперь, ради чего мы так долго страдали и придумывали новые числа. Решают ли введённые нами рациональные числа проблемы целых чисел?

Острее всего ощущается проблема деления целых чисел — в некоторых случаях результат деления не является целым числом:

1 : 2 = \ ?

7 : 2 = \ ?

5 : 3 = \ ?

-9 : 4 = \ ?

Посмотрим на эту проблему с точки зрения долей и рациональных чисел. Делимое является количеством взятых долей (числителем), а делитель — количеством всех долей (знаменателем). Знак деления « : » превращается в дробную черту « – ». Теперь любое такое деление имеет решение и равно рациональному числу:

1 : 2 = \frac{1}{2}

7 : 2 = \frac{7}{2}

5 : 3 = \frac{5}{3}

-9 : 4 = \frac{-9}{4}

Вторая проблема была про невозможность обозначить «часть от целого» при помощи целых чисел. При помощи целых чисел это действительно невозможно. А вот для рациональных чисел этой проблемы не существует — любые правильные дроби являются обозначением «части от целого».

Теперь всё можно выразить рациональными числами!

Все проблемы целых чисел решены!
Математика спасена!
Рассмотрим несколько примеров задач, в которых используются рациональные числа:

Половина Алексея

На день рожденья Алексей купил себе большую пиццу. К вечеру он съел 4 куска, что составляет $\dfrac{1}{2}$ пиццы. На сколько всего кусков изначально разрезана пицца?

Решение

4 куска составляют 1/2 пиццы. То есть пицца была разделена на 2 одинаковых доли и в одной из долей 4 куска пиццы. Так как доли одинаковые, то в другой доле тоже 4 куска. Всего в двух долях 4 + 4 = 8 кусков пиццы!

Задача на неделю

В школе Васе поставили задачу на неделю вперед — решить 27 уравнений. Сколько уравнений он решит, когда выполнит 2/3 от поставленной задачи?

Решение

Всё недельное задание, 27 уравнений, разбили на 3 доли. Это значит, что в каждой доле содержится из 27 : 3 = 9 уравнений. В «двух третях» или «2 долях из 3» содержится 9 + 9 = 18 уравнений.

Кто в лес, кто по дрова

Прогуливаясь в парке, Катя обратила внимание, что на некоторых деревьях есть птичьи гнезда. Всего таких деревьев она насчитала 15 штук. Эти деревья составляют $\dfrac{1}{10}$ от общего количества деревьев в парке. Сколько всего деревьев в парке? А сколько берез в парке, если они составляют «10 долей из 15» от общего количества деревьев?

Решение

Все деревья в парке поделили на 10 одинаковых долей. Катя насчитала 15 деревьев в одной доле. Раз в одной доле 15 деревьев, то и во всех остальных тоже по 15, ведь доли одинаковые по определению. Всего имеем 10 долей по 15 деревьев в каждой, то есть всего $10 \cdot 15 = 150$ деревьев в парке!

Теперь разберёмся с берёзами. Всего 150 деревьев в парке делим на 15 одинаковых долей: 150 : 15 = 10 деревьев в одной доле. Из этих 15 долей 10 долей составляют берёзы. 10 «берёзовых» долей по 10 деревьев в каждой доле, значит всего $10 \cdot 10 = 100$ берёз в парке!

Целые тоже рациональные

Мы сотворили рациональные числа для решения всего двух проблем. Но они способны на гораздо, гораздо большее… Рациональные числа не только добавляют «части от целого» к целым числам, но и прекрасно могут выполнять роль самих целых чисел! Сейчас вы в этом убедитесь.

Возьмём целое число 1. Ну разве можно его записать как рациональное число, как дробь? Да легко! 1 целый объект можно разделить, например, на 3 доли. Если взять все 3 доли, рациональное число 3/3, то, сложив их вместе, можно собрать исходный 1 целый объект. Если взять 6 долей, помним, что доли никогда не кончаются, то из них можно собрать два целых объекта — целое число 2. Если вообще не брать долей, то собрать ничего не выйдет — это целое число 0. А может, мы кому-то задолжали 3 доли! Тогда из задолженных 3 долей получится долг в 1 целый объект — целое число –1!

-1 = \frac{-3}{3}

0 = \frac{0}{3}

1 = \frac{3}{3}

2 = \frac{6}{3}

Такие рассуждения можно проводить бесконечно, в виде рациональных чисел получая любые целые числа! А ведь можно разделить не на 3 доли, а на 2, или вообще не делить — тогда объект сам будет являться одной большой долей! Одна такая большая доля — это и есть этот 1 целый объект. Две большие доли — это 2 целых объекта. Одна доля в долг — это долг в 1 целый объект — целое число –1!

-1 = \frac{-1}{1}

0 = \frac{0}{1}

1 = \frac{1}{1}

2 = \frac{2}{1}

На схеме ниже приведен весь масштаб «бедствия». Мало того, что любое целое число оказывается является рациональным, так еще и каждое целое число можно записать в виде разных дробей, в зависимости от того, на сколько долей бы делили!

Впечатляет, правда?
Реально мощные новые числа придумали!
Все эти размышления по «замене» целых чисел на рациональные можно выразить в одном утверждении:

Любое целое число является рациональным

Любое целое число m можно никак не разделить. Тогда оно будет являться одной долей. Взяв m положительных или отрицательных таких долей мы и получим m целых объектов с нужным знаком. Значит, целое число m является рациональным числом:

m = \frac{m}{1} = m/1

Превращаем целые в рациональные

Каждое из целых чисел ниже запишите в виде 3 разных обыкновенных дробей:

8;

-11;

666.

Реставрация рациональных чисел

Найдите, какие целые числа скрываются за знаками вопросов в примерах:

1) \enspace \frac{?}{1} = 2025;

2) \enspace \frac{27}{?} = 9;

3) \enspace \frac{?}{999} = 0;

4) \enspace \frac{40}{?} = -20;

5) \enspace \frac{?}{-5} = 100

Деление = дробная черта

Для целых чисел, которые не делятся друг на друга нацело, мы придумали рациональные числа. Поэтому в таких случаях операция деления « : » превращается в дробную черту « – ». Деление целых чисел можно записать как дробь, а дробь можно обратно записать как деление целых чисел:

5 : 3 \rightleftarrows \frac{5}{3} \rightleftarrows 5/3;

-7 : 2 \rightleftarrows \frac{-7}{2} \rightleftarrows -7/2

Но даже если целые числа делятся нацело, операция деления « : » и дробная черта « – » всё равно полностью совпадают по смыслу! Например, «7 : 1 = 7». С точки зрения долей объект был никак не поделён, то есть он целиком и есть одна доля. Если взять 7 таких целиковых долей «из 1», то вместе получится 7 целых объектов!

\underbrace{7 : 1}_{\text{Деление}} \rightleftarrows \underbrace{ \frac{7}{1} \rightleftarrows 7/1 }_{\text{Рациональные числа}} \rightleftarrows \underbrace{ 7 }_{\text{Целое число}}

Или вот «6 : 3 = 2». С точки зрения долей объект был разделён на 3 доли. Если взять 6 таких долей «из 3», то из них получится собрать 2 целых объекта!

\underbrace{6 : 3}_{\text{Деление}} \rightleftarrows \underbrace{ \frac{6}{3} \rightleftarrows 6/3 }_{\text{Рациональные числа}} \rightleftarrows \underbrace{ 2 }_{\text{Целое число}}

Но это всё конкретные примеры. То, что деление нацело и рациональные числа совпадают в нескольких конкретных случаях, не значит, что так происходит со всеми целыми числами. Совпадение для всех целых чисел надо доказать. Сделаем это:

Деление = дробная черта

Любое деление (нацело и ненацело) всегда можно записать как рациональное число с дробной чертой и наоборот, любое рациональное число можно записать как деление двух целых чисел. Разницы между « : » и « – » нет никакой! В выражениях эти записи можно в любой момент менять одну на другую и ничего не поменяется!

Доказательство

Имеем целые числа p и q.
Возможно три варианта:

Число q равно 0
Если q = 0 то деление p : q не может быть выполнено, так как поделить на ноль нельзя. Рациональное число p/q тоже не имеет смысла и не обозначает никакого числа.
В этом варианте деление и дробная черта имеют один и тот же смысл, состоящий в отсутствии смысла 🤣
Число p не делится нацело на q
В таком случае деление и дробная черта тоже полностью совпадают по смыслу, ведь рациональные числа как раз и были придуманы для того, чтобы стать ответом на деление «неделящихся» целых чисел:
$p : q = \frac{p}{q}$
Число p делится нацело на q
Вот тут уже придется даже немного включить голову. Раз p делится нацело на q, то результатом их деления является некое целое число m:
$p : q = m$
По определению, деление — это операция, обратная умножению. Поделить p на q значит найти такое m, чтобы $p = m \cdot q$ . Запомним это.
Теперь нам нужно доказать, что и рациональное число p/q тоже обозначает целое число m:
$\frac{p}{q} \overset{?}{=} m$
Представим, что мы некий объект разделили на q долей. Нам известно, что было взято p таких долей. Но $p = m \cdot q$ (как мы показали выше).
То есть p долей это буквально m раз взяли по q долей. Из q долей можно собрать 1 целый объект. Если взять m раз по q долей, то из них получится собрать m целых объектов. Поэтому наше рациональное число p/q обозначает целое число m!
$\frac{p}{q} \overset{\checkmark}{=} m$
Даже в случае деления нацело операция деления и дробная черта полностью совпадают по смыслу!

Итак, мы рассмотрели все возможные варианты и во всех них операция деления «:» и дробная черта «–» совпадают по смыслу. Значит в любых ситуациях абсолютно любое деление целых чисел можно записать как дробь, а любую дробь можно записать как деление целых чисел!

$\blacksquare$

Может показаться странным, что в интуитивно понятной и банальной мысли «деление и дробь — это одно и то же» нужно что-то доказывать. Нафига доказывать очевидное?

Дело в том, что наши новые рациональные числа вообще никак изначально с операцией деления не связаны! Можете перепроверить — ни в долях, ни в обыкновенных дробях, ни в рациональных числах нигде нет ни слова про арифметическую операцию «деление»! Всеми этими абстракциями мы лишь заткнули проблему с делением «неделящихся» целых чисел. Там всё равно ответа нет, поэтому мы сказали — теперь ответ есть, и он вот такой-то.

А вот с делящимися нацело целыми числами всё и так прекрасно было безо всяких дробей! Там деление работает и есть конкретные целые ответы! Поэтому нужно именно доказывать, что рациональные числа, наша выдумка с долями, полностью согласуется с другой выдумкой — делением нацело целых чисел!

Два в одном

Именно из-за того, что деление и дробная черта в выражениях играют одну и ту же роль, в англоязычных странах на всяких калькуляторах знак деления имеет вид $\div$

1 \div 2

10 \div 5

-7 \div 3

В этом символе одновременно присутствуют и деление как двоеточие «:», и дробная черта от рациональных чисел «–»!

Окей, мы доказали взаимозаменяемость деления и рациональных чисел. И что дальше? Что это даёт? Даёт очень много всего, ведь мы арифметически связали целые числа с рациональными числами! Примеры с этими числами теперь можно решать при помощи обычных действий (сложения, вычитания, умножения и деления), без постоянных аналогий к «долям» и «делению целого на части»! Вот так это выглядит в деле:

Деление в дробь, и наоборот…

Найдите целые числа, которые скрываются за знаками вопроса:

1) \enspace \frac{666}{333} = \ ?;

2) \enspace \frac{?}{-8} = 512;

3) \enspace \frac{4}{1} : \frac{4}{2} = \ ?

4) \enspace \frac{\dfrac{8}{4} + 2}{\dfrac{20}{10}} = \ ?

Заметили, как в последних примерах резко поменялось восприятие рациональных чисел? Они стали просто инструментом! Сначала что-то там закапываешься, думаешь про доли, про деление объектов, про долги и отрицательность, а потом это всё превращается просто в циферки, которые ты не задумываясь складываешь, вычитаешь, умножаешь и делишь! Глубокие идеи так и остаются в глубине. А на поверхности остаются только удобные инструменты для работы с числами!

Этим и прекрасна математика. Выстраиваешь прочную и логичную основу, и она будет стоять вечно — никогда не предаст и не подведёт. Вымышленные конструкции, построенные на аналогиях с реальностью, которые ПРОСТО РАБОТАЮТ!

Единый тип чисел

Мы уже разобрались, что рациональные числа — это не просто затычка для неделящихся целых чисел. Целые числа, оказывается, тоже можно записать как рациональные, и операция деления полностью взаимозаменяема с дробной чертой. Получается, рациональные числа не только расширяют целые числа, но и включают в себя как целые числа, так и натуральные!

Известные классы чисел можно изобразить графически. Самым «маленьким» классом чисел будут натуральные числа. Если к натуральным числам добавить число 0 и отрицательные числа, то получится класс «побольше» — целые числа. Наконец, добавляя к целым числа, обозначающие «части от целого», получаем «самый большой» (на данный момент) класс чисел — рациональные числа:

Натуральные внутри целых, целые внутри рациональных
Каждый тип чисел добавляет что-то новое

Казалось бы, такая простая и логичная схема! Но не дайте этой мнимой простоте себя обмануть! То, что вы в простой и понятной форме усваиваете сейчас — это результат тысяч лет развития математики. Каждый новый тип чисел появлялся постепенно, шаг за шагом, как ответ на всё более сложные задачи, с которыми не справлялись предыдущие типы чисел.

Классифицируем числа

Для всех чисел ниже укажите, являются ли они натуральными, целыми, рациональными:

1;

0;

-10;

\frac{1}{2};

\frac{10}{-5}

Рациональная числовая прямая

Для работы с числами и пояснения их свойств очень часто используют «числовую прямую», которая на самом деле никакая не прямая, а ось, потому что имеет направление. Точками на этой оси можно отметить целые числа: положительные, 0 и отрицательные. Но сразу возникает вопрос: а что лежит между этими точками? Ничего? Пустота?

Теперь у нас есть ответ на этот вопрос. Всё пространство между целыми числами заполняют те самые неделящиеся нацело 5:3, 7:2 и прочие рациональные числа, обозначающие части от целого! В многочисленных примерах выше мы делили на доли пиццу, уравнения, деревья. А что же мы делим на доли на числовой прямой? На числовой прямой за целый объект мы принимаем единицу или единичный отрезок, например, от 0 до 1. И вот уже его делим на доли!

Между целыми числами всё пространство заполняют нецелые рациональные числа

Если учитывать, что любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, то эти самые рациональные числа не просто заполняют промежутки, но и берут на себя роль самих целых чисел. И числовая прямая превращается в «прямую рациональных чисел», потому что на ней все можно записать в виде дробей:

Может показаться, что мы полностью заполнили числовую прямую, но не обольщайтесь. На самом деле даже в таком виде она дырявая, как дуршлаг или швейцарский сыр. И не видим мы этих дырок только потому, что они бесконечно маленькие.

Чтобы заполнить её по-настоящему, потребуется ввести ещё один вид чисел, которые называются иррациональными, то есть буквально «ирр» («не») и «ratio» («отношение/деление») — неделимые или «не рациональные (числа)». Такие числа невозможно записать в виде дроби. Но об этих удивительных числах мы поговорим в другой раз. Нам бы с рациональными числами разобраться, у которых хватает своих секретов и тонкостей!

Ориентация на числовой прямой

Найдите, какие рациональные числа скрываются за буквами A, B, C, D:

Решение

Видим, что единичный отрезок от 0 до 1 разделен на 5 равных кусочков — долей. Считаем, сколько кусочков от 0 до A. Их 8. Поэтому под буквой A скрывается рациональное число 8/5:

A = \frac{8}{5}

По такой же логике до буквы B всего 12 долей. Значит под буквой B скрывается рациональное число 12/5:

B = \frac{12}{5}

Отрицательный единичный отрезок же разделен на 3 доли. До буквы C 5 таких долей. Значит под буквой C скрывается рациональное число –5/3:

C = \frac{-5}{3}

Наконец, до буквы D всего 9 долей. Значит под буквой D скрывается рациональное число –9/3 или, если заменить дробную черту на деление, целое число –9 : 3 = –3:

D = \frac{-9}{3} = -9 : 3 = -3

Эквивалентные дроби

Целое число при помощи арабских цифр можно записать лишь одним способом. Один баран, одно яблоко, один доллар — все это одно и то же целое число «1». Отсутствие денег, бензина в баке или конфеток в буфете можно обозначить только одним способом — «0». Ну и так далее.

А вот с обыкновенными дробями, при помощи которых записываются рациональные числа, всё гораздо интереснее. Запись дроби зависит от того, на сколько долей мы разделим объект. Например, пиццу можно разделить на 2 доли и взять 1, съев половину. Но эту же половину можно получить, разделив пиццу на 4 доли и взяв 2, или взяв 3 доли из 6! Все три записи разные, а обозначают одну и ту же часть от целого — абстрактную идею — «половину»:

Абстрактная «половина» (слева) и 6 разных способов её записать (3 кругами и 3 числами)
Не важно, на сколько долей разделен объект, «закрашенная» часть всегда одна и та же!

Мы с этим уже не раз сталкивались, когда показывали, что любое целое число это рациональное. Например, число 1 в виде дроби можно записать как «1/1» или «2/2» или «1000/1000». Не важно, на сколько долей был разделен объект. Если мы возьмем все эти доли, то из них как раз и соберется один целый объект!

Такие рациональные числа, которые с виду разные, но по сути обозначают одно и то же, просто в разных долях, называют эквивалентными. Не пугайтесь этого сложного слова. «Эквивалентный» — это у математиков заумный способ сказать «равный» или «одинаковый».

Эквивалентные дроби

Равные рациональные числа, которые записаны с использованием разного количества долей, в виде разных обыкновенных дробей:

\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{1000}{1000};

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}

Долговая яма

Яна взяла в долг у подруги 30 рублей. Мама даст ей 120 рублей, но только через неделю. Какой дробью можно описать «количество денег» у Яны сейчас, относительно денег, которые она получит через неделю?

Решение

В данный момент у Яны имеется долг, который можно обозначить целым числом «–30». Если все 120 рублей поделить, собственно, на рубли (одна доля = один рубль), то в виде дроби текущее количество денег Яны можно записать как дробь «–30/120». Можно заметить, что это ровно четверть от всей суммы, поэтому если всё сумму разделить на 4 доли (по 30 рублей в каждой), то получится «–1/4».

\frac{-30}{120} = \frac{-1}{4}

Есть и другой очень наглядный способ показать, что разные по записи дроби обозначают одну и ту же «часть от целого» — так называемая стена дробей. Вся ширина стены обозначается за единицу. Её делят пополам и получают две половины — две дроби. А можно поделить на 3 части и получить три дроби. Ну и так далее хоть до бесконечности:

Можно брать куски одинакового размера и получать эквивалентные дроби. Например, из двух половин стены можно собрать всю ширину стены. Две четверти означают половину стены. Но и три шестых тоже означают половину стены. Поэтому это тоже эквивалентные дроби.

\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = 1;

\frac{2}{4} = \frac{3}{6}

Изучаем стену дробей

При помощи стены дробей найдите по две эквивалентные дроби к следующим дробям:

\frac{1}{1};

\frac{1}{2};

\frac{1}{3}

Решение

Просто ищем куски такого же размера, как и заданные дроби:

\frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{10}{10};

\frac{1}{2} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10};

\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}

Основное свойство дроби

Теперь нам известно, что одно и то же рациональное число может иметь разные записи в виде обыкновенных дробей. Мы даже научились искать некоторые эквивалентные дроби при помощи стены дробей. Логичный следущий вопрос — а можно ли как-то быстро и без вандальной разрисовки стен из одной дроби получить другую дробь, эквивалентную исходной? Оказывается, можно, причём делается это элементарно!

Возьмём дробь 1/2 (абстрактная идея «половина»). Это дробь озанчает, что объект был разделен на 2 доли и 1 долю мы взяли. Но мы ведь можем каждую из имеющихся долей разрезать, например, на 3 более маленькие доли. Тогда взятая 1 доля превращается в $1\cdot 3 = 3$ доли, а всего 2 доли превращаются в $2\cdot 3 = 6$ долей!

\frac{1}{2} = \frac{1 \times \brand{3}}{2 \times \brand{3}} = \frac{3}{6}

Получили дробь 3/6. Но суть никак не поменялась! Закрашенная область, обозначающая «часть от целого», осталась той же самой! Это всё та же часть, просто записанная в виде большего количества долей.

Получается, умножив числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, мы получаем эквивалентную дробь с большим количеством долей:

Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число
Получаем эквивалентную дробь с *большим* количеством долей

В обратную сторону это тоже прекрасно работает. Если мы возьмём дробь 4/6 и поделим числитель и знаменатель на 2, то получим дробь 2/3. Мы как-бы «склеили» много маленьких долей в доли побольше, причём «склеили» в одинаковом соотношении что в числителе, что в знаменателе.

Получается, поделив числитель и знаменатель дроби на одно и то же число мы получаем эквивалентную дробь с меньшим количеством долей:

Деление числителя и знаменателя на одно и то же число
Получаем эквивалентную дробь с *меньшим* количеством долей

Два выведенных нами алгоритма работают только когда мы умножаем или делим на натуральное число (1, 2, 3…). Делить на ноль мы не можем. Умножать на ноль тоже не можем, потому что тогда в знаменателе появится ноль, а там он находиться не может. Умножению и делению на отрицательное число посвящена отдельная задача, искать логику в этом мы тут не будем, да и не нужно.

Вместе эти два интуитивных представления о записи дробей через большее или через меньшее количество долей образуют ключевое правило во всей теории дробей:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число, то получится новая дробь, эквивалентная исходной дроби.

\frac{p}{q} = \frac{p \brand{\cdot n}}{q \brand{\cdot n}};

\frac{p}{q} = \frac{p \brand{: n}}{q \brand{: n}}

Умножение обеих частей дроби на одно и то же число называют домножением. Деление обеих частей дроби на одно и то же число называют сокращением.

Доказательство

Как и в случае с равнозначностью деления и дробной черты, тут нужно рассмотреть два варианта:

1
p и q не делятся нацело друг на друга
В этом варианте доказательство излишне, поскольку рациональные числа и были созданы как решение проблемы деления целых чисел, которые не делятся нацело. Когда мы конструируем новую математическую абстракцию (рациональные числа), мы можем определять её свойства так, чтобы они согласовывались с нашими интуитивными представлениями о «частях от целого».
Основное свойство дроби в этом случае является естественным следствием того, как мы понимаем доли: если каждую долю разрезать на несколько более мелких долей в одинаковом соотношении, то «часть от целого» остается неизменной.
Поскольку эти рациональные числа не пересекаются с областью применения уже существующих целых чисел (там, где деление выполняется нацело), никаких противоречий не возникает. Ничего доказывать не надо.
2
p и q делятся нацело друг на друга
Здесь мы заходим на территорию другой математической конструкции — целых чисел, где деление уже определено. Нам нужно доказать, что наше основное свойство дроби согласуется с операцией деления целых чисел.
По условию, p нацело делится на q, поэтому существует целое число m такое, что:
$p = m \cdot q$
Выпишем теперь следующие целые числа:
$p\brand{\cdot n};$
$p\brand{: n}$
Заменяем p на $(m \cdot q)$ в этих выражениях, ведь это одно и то же число:
$p\brand{\cdot n} = (m \cdot q) \brand{\cdot n};$
$p\brand{: n} = (m \cdot q) \brand{: n}$
В обоих выражениях уже по арифметическим правилам с целыми числами мы можем скобки поменять так, чтобы m стояло отдельно. В случае умножения это можно сделать из-за «сочетательного закона», а в случае деления — потому что нам уже заранее известно, что q нацело делится на n:
$p\brand{\cdot n} = m \cdot (q \brand{\cdot n});$
$p\brand{: n} = m \cdot (q \brand{: n})$
Полученные два выражения можно перезаписать в виде деления нацело:
$(p\brand{\cdot n}) : (q \brand{\cdot n}) = m;$
$(p \brand{: n}) : (q \brand{: n}) = m$
А эти записи, по уже доказанной равнозначности деления и дробной черты, можно записать в виде дробей:
$\frac{p\brand{\cdot n}}{q \brand{\cdot n}} = m;$
$\frac{p \brand{: n}}{q \brand{: n}} = m$
Но m можно записать в виде дроби p/q. Заменим m на эту дробь в обоих выражениях:
$\frac{p\brand{\cdot n}}{q \brand{\cdot n}} = \frac{p}{q};$
$\frac{p \brand{: n}}{q \brand{: n}} = \frac{p}{q}$
Вот и всё! Основное свойство дроби выполняется и для случая, когда p и q делятся нацело друг на друга.

Итак, в обоих случаях мы доказали, что основное свойство дроби выполняется. Значит его можно использовать для деления абсолютно любых целых чисел — как делящихся нацело, так и не делящихся нацело!

$\blacksquare$

Прикольное свойство… А нафига оно нужно?

1
Позволяет сравнивать разные дроби (определять, какая из двух больше, меньше или обе равны).
2
Сложение и вычитание дробей возможно только благодаря этому свойству.
3
Оно также позволяет упрощать дроби, записывать их с меньшим количеством долей, что делает их более удобными для восприятия и работы.

Первые два пункта мы в подробностях разберем в следующей теме, посвященной действиям с дробями. Не просто же так мы их придумывали, чтобы потом ничего с ними не делать! А вот последний пункт разберем прямо сейчас:

Примеры домножений и сокращений

Для каждой дроби найдите три эквивалентные ей дроби с большим количеством долей, а потом сокращайте «до упора», пока есть такая возможность:

\frac{6}{12};

\frac{0}{100};

\frac{-14}{7}

Загадочные части дробей

В цепочках эквивалентных дробей найдите все целые числа, которые скрываются за знаками вопроса:

1) \enspace \frac{?}{16} = \frac{7}{4};

2) \enspace \frac{10}{?} = \frac{100}{200};

3) \enspace \frac{0}{-666} = \frac{?}{5}

Несократимые дроби

Обратите внимание, что увеличивать количество долей в дроби можно бесконечно. А вот бесконечно сокращать не выйдет — рано или поздно у числителя и знаменателя просто не останется общих делителей, на которые можно было бы дробь сократить. Конечно, всегда есть общий делитель 1, но сокращение на него дробь никак не поменяет.

Таким дробям, которые состоят из минимального количества долей, дали говорящее название несократимые дроби, то есть буквально «дроби, которые нельзя сократить»:

Несократимая дробь

Дробь, которую нельзя сократить — поделить числитель и знаменатель на число, не равное 1.

\frac{1}{2}

\frac{-7}{3}

\frac{11}{37}

\frac{2}{1}

\frac{0}{1}

Числитель и знаменатель несократимых дробей не имеют общих делителей, кроме 1.

Несократимые дроби используют при строгом доказательстве разных формул и теорем методом «от противного». Сначала говорят «предположим, что у нас есть несократимая дробь», потом делают какие-то действия, танцуют с бубном, прыгают через костер, и внезапно оказывается, что дробь все же сократимая. Это противоречие, которое доказывает формулу или теорему.

Интересующиеся математикой наверняка слышали про доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$ — прямое свидетельство того, что рациональных чисел не хватает для корней (прямо как целых чисел не хватает для деления). Вот оно как раз полностью основывается на использовании несократимой дроби вместе с выводом «от противного». Но это уже более продвинутые темы. В практикуме вы тоже поработаете с несократимыми дробями.

Письменное домножение

При письменной записи и преобразовании дробей на бумаге, как правило, не хватает места, чтобы дописать умножение числителя и знаменателя на какое-то число. Тогда число, на которое вы умножаете, надо записывать сверху от числителя и снизу от знаменателя дроби:

Пример письменного домножения дроби
Сначала умножили на 3, потом на 2, потом снова на 2

При такой записи сразу видно, на какое число вы умножили, и в то же время остаётся место, чтобы записать, какая получится эквивалентная дробь.

Письменное сокращение

С сокращением дроби ситуация похожая, только сокращаемые числа зачёркиваются, а рядом с ними записываются новые значения числителя и знаменателя, образующиеся после деления на одно и то же число:

Пример письменного сокращения дроби
Сначала поделили на 2, потом снова на 2, потом на 3

Если одна и та же дробь сокращается несколько раз подряд, то все сокращения можно провести за один раз, вычёркивая числа и записывая новые результаты делений друг с другом. Получается «лесенка» из действий, вместо длинной цепочки равенств:

Ошибки при сокращении

Новички постоянно наступают на грабли во время сокращения дробей. То они пытаются сократить только часть числа, то вклинивают сокращение в сложение, вычитание и деление. Всё это приводит к бесконечным и очень досадным ошибкам:

Как НЕЛЬЗЯ сокращать
Числа связаны сложением, вычитанием, делением — сокращать нельзя!

Железное правило сокращения

Если число в числителе или знаменателе связано сложением, вычитанием или делением — вы не можете его сокращать! Сокращать в дроби можно только свободные множители, которые связаны умножением!

Как МОЖНО сокращать
Только если числа связаны умножением

Сокращаем правильно вместе!

Во всех примерах ниже определите, можно ли провести сокращение или нет. Если можно, проведите его и решите пример.

1) \enspace \frac{2 + 3}{3}

2) \enspace \frac{7\cdot 4}{4}

3) \enspace \frac{7}{7\cdot 11 - 2}

4) \enspace \frac{22}{22\cdot (2 + 3)}

Непонимание того, как работает основное свойство дроби, и использование его «в тупую» регулярно порождает уморительные конфузы. Ситуация настолько частая, что её даже увековечили в виде мема, где у $\sin x$ сокращают букву n, из-за чего получается английское слово «six» — «шесть»:

Так будет с каждым, кто неправильно сокращает!