Основы математики
Уравнения

Элементарные уравнения

Научимся решать уравнения и преобразовывать равенства. Просто, наглядно, с примерами и без заучивания наизусть кучи странных правил. Это ключевой и необходимый навык в математике и всех остальных точных науках.
Разработка
Статья
Конспект
Задачи

Зачем столько слов?

Казалось бы, примитивная тема! Что может быть проще, чем элементарные уравнения? В них действительно нет ничего сложного. Однако почему-то всегда получается так, что разбор самых простых вопросов требует самых тщательных объяснений. Потому что это база и основа, которую критически важно понять правильно.

Поэтому здесь всё расписано так, чтобы вы на 100% поняли основные принципы работы с равенствами и уравнениями. Чтобы базовые действия не вызывали у вас никаких противоречий и недопонимания. Чтобы при необходимости вы сами смогли в деталях объяснить каждый шаг решения любого уравнения.

Буквально вы, после того как прочитаете статью

Статья может показаться слишком большой для такой простой темы, но не волнуйтесь — ничего сложного тут нет. Большую часть текста занимают разнообразные примеры, гарантирующие, что вы всё поймёте верно и не будете совершать типовых ошибок.

Равенство

Присмотримся к слову «уравнение» внимательнее. «Уравнение», «уравнять», то есть сделать равными, сделать равенство. Поэтому, прежде чем говорить об уравнениях, надо сначала разобраться, а что такое «равенство»!

В математике один и тот же абстрактный объект мы можем записывать разными способами. Например, число 3 можно записать бесконечным количеством разных способов:

  • 3

  • 1 + 2

  • 1 + 1 + 1

  • 5 – 2

  • и так далее…

Записи разные, но все они обозначают один и тот же абстрактный объект — «число три». Чтобы показать, что разные записи обозначают один и тот же объект, в математике используют знак равно =.

3=1+2=1+1+1=5−2=…3 = 1 + 2 = 1 + 1 + 1 = 5 - 2 = \ldots

Теперь, когда нам понятно назначение знака равно, мы можем сформулировать определение равенства в математике:

Равенство

Два выражения, между которыми стоит знак «равно» (=).

5=55 = 5
1+2=31 + 2 = 3
0=40 = 4
8x=1a8x = \frac{1}{a}

По бокам от знака равно могут стоять не только числа, но и более сложные конструкции. Даже уже упомянутое число 3 можно записать в виде одного числа «3», так и в виде сложной конструкции как «1 + 1 + 1». Иногда там могут даже стоять буквы, обозначающие какие-то числа, которые нам не известны. Чтобы каждый раз не уточнять, что именно должно стоять по бокам от знака равенства (числа, буквы, сложения, умножения, функции, …), всё это вместе называют общим словом выражение. Поэтому в определении равенства речь идёт именно о «выражениях».

Никаких ограничений на то, что может стоять по бокам от знака равенства, нет. Вы можете записать туда всё что угодно. Поэтому равенства делятся на две категории: верные/истинные и неверные/ложные. Верным (истинным) называется равенство, в котором выражения слева и справа от знака равно обозначают одинаковые объекты. Если же объекты разные, то равенство неверное (ложное).

Равенства в реальной жизни

Как и у многих других математических понятий, у равенства есть аналогии в реальной жизни. Причём весьма наглядные и точные, с которыми вы точно сталкивались.

На детской площадке почти всегда можно встретить «качели-балансиры» — конструкцию, которая состоит из длинной доски, лежащей на опоре посередине. Если на обеих сторонах сидят дети с одинаковым весом, то качели находятся в равновесии и не наклоняются ни в одну из сторон. Это пример верного равенства.

Верное равенство можно получить и более интересным способом: например, взрослый может сесть на одну сторону, а пара детей на другую. Тогда слева от «знака равенства» будет вес одного взрослого, а справа — сумма весов двух детей.

Верное равенство 80кг=40кг+40кг80\text{кг} = 40\text{кг} + 40\text{кг}
Равенство 5 = 3 + x
Вес неизвестного грузика равен 2

Более удобная аналогия — механические весы. По сути, это те же качели-балансиры, но только более точные и предназначенные не для развлечения, а для взвешивания самых разных предметов в разных количествах. Есть и специальные грузики. Вес некоторых грузиков известен (это обычные числа в равенствах), а некоторых нет (это неизвестные: a, b или x).

Аналогия с механическими весами нам ещё очень пригодится далее, запомните её. Она не только хорошо иллюстрирует само понятие равенства, но ещё и поможет визуализировать их преобразования.

Уравнение

Теперь, когда мы разобрались с понятием равенства, можно перейти к уравнениям. Тут всё совсем просто. Бывает так, что в равенстве присутствует неизвестное нам число. Такое неизвестное число можно обозначить, например, вопросительным знаком:

? +2=5? \ + 2 = 5
5 ⋅ ?=255 \ \cdot \ ? = 25
8?=4\frac{8}{?} = 4
4⋅8= ?4 \cdot 8 = \ ?

Легко догадаться, какие числа скрываются за вопросительными знаками: 3, 5, 2 и 32. В математике принято обозначать неизвестные числа буквами, например, x, y, z и так далее. Так удобнее записывать уравнения с несколькими неизвестными, и можно показывать, какие неизвестные равны друг другу. Сравните сами:

? + ?=2 ⋅ ?−?? \ + \ ? = 2 \ \cdot \ ? - ?
x+y=2x−yx + y = 2x - y

Слева вообще фиг поймёшь, что есть что. А справа чётко понятно, что неизвестных всего две (x и y), а не четыре, как могло показаться исходя из левого равенства. И если мы найдём, например, x, то сможем сразу подставить его в двух местах!

Уравнение

Равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных (переменных).

x+3=5x + 3 = 5
t2+8t=100t^2 + 8t = 100
z=1xz = \frac{1}{x}
Первое напечатанное уравнение

Первое печатное появление знака равенства, а заодно и уравнения в «околосовременном» виде произошло в 1557 году в книге «The Whetstone of Witte» английского математика и врача Роберта Рекорда. Сам знак равенства он ввёл чтобы, цитата «избежать утомительного повторения». А уравнение выглядело вот так:

Выглядит страшненько, но вполне читабельно.
А вот это же уравнение в современной записи:

14x+15=7114x + 15 = 71

Итак, уравнение — это в первую очередь равенство. А мы помним, что равенство может быть истинным или ложным. Подставив в уравнение вместо неизвестных какие-нибудь числа, мы можем получить как истинные, так и ложные равенства:

10⋅x+2=1210 \cdot x + 2 = 12

Подставив вместо x число 1, мы получим истинное равенство. А если подставим любое другое число, например 2, то получим ложное равенство.

10⋅1+2⏟12=12\underbrace{10 \cdot 1 + 2}_{12} = 12
10⋅2+2⏟22=12\underbrace{10\cdot 2 + 2}_{22} = 12

То есть мы буквально «уравниваем» равенство, балансируем абстрактные весы в поисках равновесия, ищем значения, при которых левая часть будет равна правой. При x = 1 весы уравновешены, а при x = 2 левая чаша весов тяжелее правой и они наклоняются влево.

Решение уравнения

Решениями или корнями уравнения называют такие числа, которые при подстановке вместо неизвестных превращают его в истинное равенство.

«Решить уравнение» — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Решение уравнений угадыванием

Решите три уравнения:

1)x+3=51) \enspace x + 3 = 5
2)y2=162) \enspace y^2 = 16
3)0⋅z=153) \enspace 0\cdot z = 15

До сих пор мы угадывали решения уравнений. Но всегда угадывать не получится. Попробуйте-ка угадать корни вот такого красавца:

x+743 63928−18x=2025x\frac{x+743 \ 639}{28} - 18x = 2025x

Уже не так просто, правда? Для решения подобных и ещё более сложных уравнений нам нужен способ как-то их упрощать, сводить к очевидным равенствам…

Правило одинакового действия

Мы определились, что такое равенства и уравнения. Но просто так выдумывать абстрактные объекты, чтобы потом ничего с ними не делать, абсолютно бесполезно. Обычно разные объекты выдумывают, чтобы потом совершать над ними какие-то действия.

Для примера возьмём истинное равенство 6 + 3 = 9.
Изобразим его в виде весов:

Совершим какое-нибудь действие с левой частью этого равенства. Например, добавим к ней число 2. В случае весов это равносильно добавлению грузика весом 2 на левую чашу весов. Равновесие нарушится, и весы наклонятся влево. Истинное равенство 6 + 3 = 9 превратится в ложное равенство 6 + 3 + 2 = 9 или 11 = 9.

Неравенство стало ложным, потому что мы совершили действие только с одной стороны — левой. Если мы совершим ровно точно такое же действие и с правой частью равенства, добавим 2, то получим уже третье равенство, 6 + 3 + 2 = 9 + 2 или 11 = 11, и оно уже является истинным.

Получается, совершенно неважно, что мы сделаем с одной частью истинного равенства. Если мы при этом сделаем то же самое и с другой частью, то вновь получим истинное равенство! Поздравляю, мы только что открыли одно из самых важных и фундаментальных правил математики!

Правило одинакового действия

Если над обеими частями истинного равенства совершить одно и то же действие (прибавить, вычесть, умножить, разделить или любое другое так далее), то полученное новое равенство тоже будет истинным.

1+1=2 (истинное)+6 ∣ 1+1=2 ∣ +66+1+1=2+68=8 (истинное)\begin{array}{} 1 + 1 = 2 \ \text{\small (истинное)} \\[5px] {\footnotesize \brand{+6}} \ | \ 1 + 1 = 2 \ | \ {\footnotesize \brand{+6}} \\ 6 + 1 + 1 = 2 + 6 \\[5px] 8 = 8 \ \text{\small (истинное)} \end{array}

Есть и совсем простая формулировка.
Запомните её на всю жизнь:

ЧТО СДЕЛАЛИ СЛЕВА, ТО ЖЕ ДЕЛАЕМ И СПРАВА!

Доказательство. С утками и коммунистами!

Есть такой шуточный «утиный тест»:

«Если это выглядит как утка, плавает как утка и крякает как утка, то это и есть утка.»

Вот только оказалось, что это никакая не шутка. Раньше при помощи этого теста вполне реально выясняли, является ли человек коммунистом.

А математики пошли ещё дальше и буквально сделали тест основным принципом (или аксиомой) своей науки. Пусть у нас есть два объекта. Если эти два объекта ведут себя одинаково при любых действиях с ними, то это и означает, что это одинаковые или равные объекты.

Теперь отметём шутки, коммунистов и уток в сторону. Такое сравнение по «реакции» действительно весьма логичный способ определять равенство объектов. Если никаким способом, никаким действием нельзя от двух объектов получить различную реакцию, то эти объекты действительно можно считать одинаковыми.

Пользуясь этим принципом, мы можем доказать правило одинакового действия.

В истинном равенстве у нас по бокам от знака = лежат одинаковые объекты. Мы совершаем над обоими этими объектами одинаковое действие, и они одинаково реагируют на действие — превращаются в другую пару тоже одинаковых объектов. А значит, новое равенство тоже истинно.

■\blacksquare

Примеры сохранения истинности

Придумайте четыре истинных равенства. Проведите с ними какое-нибудь действие согласно правилу одинакового действия. По одному равенству на каждое действие: сложение, вычитание, умножение и деление.

Ну и зачем нам это правило? К чему эти бесполезные примеры? А дело в том, что именно это правило позволяет нам преобразовывать любые равенства. Например, сводить сложные равенства к элементарным без изменения их типа! Начали с истинного? Хоть сто раз его преобразуй, в итоге всё равно будет истинное равенство!

Преобразование равенств с использованием правила одинакового действия — основной и невероятно мощный инструмент, при помощи которого решаются почти все уравнения что в математике, что в других точных науках.

Решение уравнений

Опробуем правило одинакового действия на практике. Чтобы понять, как его правильно использовать, решим какое-нибудь простое уравнение:

x+3=10x + 3 = 10

Вспоминаем, что «решить уравнение» — значит найти такие числа, которые превращают его в истинное равенство. Значит, мы уже можем как бы «заочно» считать, что это равенство истинное. Вычтем из обеих частей уравнения число 3. По правилу одинакового действия мы получим новое истинное равенство:

x+3−3=10−3x=7x + 3 - 3 = 10 - 3 \\ x = 7

Из истинного равенства x + 3 = 10 мы получили истинное равенство x = 7. Раз равенство x = 7 истинное, значит x и 7 — это одно и то же, то есть неизвестное число x является числом 7. Вот мы и нашли решение уравнения! Можем даже выполнить проверку и подставить число 7 вместо x в исходном уравнении x + 3 = 10:

7+3=1010=107 + 3 = 10 \\ 10 = 10

Для наглядности представим решение этого уравнения в виде действий с весами. В отличие от прочих примеров, здесь в левой чаше весов у нас есть грузик с неизвестным весом x. С левой чаши снимаем грузик весом 3, а в правой «отрываем» кусочек такого же веса от грузика весом 10. На полученных новых весах мы уже по сути взвешиваем грузик с неизвестным весом x. И «весит» он ровно 7:

Упрощение до очевидного

Решение почти всех уравнений в математике и других точных науках сводится к постепенному, шаг за шагом, упрощению исходного равенства при помощи правила одинакового действия до тех пор, пока не станет очевидно, чему равно неизвестное.

Главный вопрос в решении уравнений состоит в том, сколько и каких действий нужно совершить, чтобы упростить уравнение до очевидного равенства. Сейчас мы разберёмся с этим вопросом на примере самых элементарных арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение и вычитание

Со сложением и вычитанием всё совсем просто. Основная задача — добавить или вычесть число так, чтобы получился 0. Таким образом можно избавляться от лишних и мешающих кусков равенств. Посмотрим на примеры. Обязательно внимательно изучите решение каждого, там есть хитрые нюансы:

Уравнения со сложением и вычитанием

Решите уравнения:

1)100+x=20251) \enspace 100 + x = 2025
2)−8=−8+t2) \enspace -8 = -8 + t
3)5+y=2y3) \enspace 5 + y = 2y

Умножение и деление

При сложении и вычитании мы упрощали равенства путём «уничтожения» мешающих кусков через сведение их к 0. С умножением и делением есть похожий инструмент упрощения. Вместо «уничтожения» через ноль для этих действий используется сокращение:

Уравнения с умножением и делением

Решите уравнения:

1)2x=101) \enspace 2x = 10
2)−5=y32) \enspace -5 = \frac{y}{3}

Кстати, у тех, кто только учится решать уравнения, довольно часто возникает желание резко упростить уравнение путём умножения обеих частей на 0.

⋅ 0 ∣ 2x=10 ∣⋅00⋅2x=10⋅00=0\brand{\cdot \ 0} \ | \ 2x = 10 \ | \brand{\cdot 0} \\ 0 \cdot 2x = 10 \cdot 0 \\ 0 = 0

Ничего плохого в этом нет, и это действие не является ошибкой. Однако, хотя мы и получили верное равенство, но потеряли абсолютно всю информацию о нём, включая информацию о неизвестной переменной! Из 0 = 0 больше никак не получить никакой информации про x. Поэтому такое действие абсолютно бесполезно.

Цепочки действий

Все предыдущие уравнения элементарные, и их вполне можно решить банальным угадыванием. Для их решения мы использовали только одно действие с обеими частями равенства. Но ведь никто не запрещает совершать над уравнением несколько действий друг за другом или даже целую цепочку действий!

В этом и заключается вся мощь правила одинакового действия, с помощью которого можно решать даже самые запутанные и сложные уравнения. Пришло время эту самую мощь продемонстрировать на примере:

Уравнения с цепочкой действий

Решите уравнения:

1)4x−4=5+x1) \enspace 4x - 4 = 5 + x
2)x+108=−182) \enspace \frac{x + 10}{8} = -\frac{1}{8}

Способов много — итог один

Почти всегда уравнения можно решить несколькими способами. Какие-то можно решить быстро, но с использованием необычных действий (возведение в степень, взятие корней и т.д.). А какие-то более громоздкие, но с использованием элементарных арифметических действий.

Да даже в рамках элементарных действий есть много разных вариантов:

Решение уравнений по-разному

Решите оба уравнения из примера выше другими способами:

1)4x−4=5+x1) \enspace 4x - 4 = 5 + x
2)x+108=−182) \enspace \frac{x + 10}{8} = -\frac{1}{8}

Нет «правильного» или «неправильного» способа решения уравнений. Важно только всегда придерживаться правила одинакового действия и не забывать, что действие происходит со всем равенством, а не только с одной его частью. А навык сходу распознавать короткий путь придёт со временем и опытом решения большого количества уравнений.

Действие всегда «глобально»

Когда вы решаете умножить, разделить, прибавить, вычесть или сделать что-то ещё с частью равенства, это действие должно быть выполнено над всей частью как единым целым, а не только над отдельными её элементами. Если умножаете или делите, то делайте это со всей частью, помещая её в скобки. Нельзя умножить/разделить только на одну дробь или только на одно слагаемое!

Новички об этом крайне важном аспекте правила одинакового действия регулярно забывают, когда хотят поскорее избавиться от неудобной дроби или сложного выражения. Разберём типовую ошибку:

Ошибка при умножении уравнения

Решите уравнение:

x3+4=5\frac{x}{3} + 4 = 5
Неправильное решение

Новички могут захотеть сначала избавиться от 3 в знаменателе. Для этого они «умножают» обе части на 3 и получают что-то подобное:

x3+4=5⋅3 ∣ x3+4=5 ∣⋅33⋅x3+4=5⋅3\frac{x}{3} + 4 = 5 \\ \red{\cdot 3} \ | \ \frac{x}{3} + 4 = 5 \ | \red{\cdot 3} \\ \frac{\cancel{\red{3}} \red{\cdot} x}{\cancel{3}} + 4 = 5 \red{\cdot 3}

От дроби они действительно избавились, а вот про то, что 4 — это тоже часть равенства, они забыли. И получается ошибка:

x+4=15−4 ∣ x+4=15 ∣−4x+4−4=15−4x=11x + 4 = 15 \\ \brand{-4} \ | \ x + 4 = 15 \ | \brand{-4} \\ x + \cancel{4} - \cancel{4} = 15 - 4 \\ \boxed{x = 11}
Правильное решение

Чтобы такого не происходило, при умножении, делении и других сложных действиях всегда используйте скобки:

⋅3 ∣ x3+4=5 ∣⋅33⋅(x3+4)=(5)⋅33⋅x3+4⋅3=5⋅3x+12=15−12 ∣ x+12=15 ∣−12x+12−12=15−12x=3\brand{\cdot 3} \ | \ \frac{x}{3} + 4 = 5 \ | \brand{\cdot 3} \\ 3 \cdot \brand{\Big(} \frac{x}{3} + 4 \brand{\Big)} = \brand{(}5\brand{)} \cdot 3 \\ \frac{\cancel{3} \cdot x}{\cancel{3}} + 4 \cdot 3 = 5 \cdot 3 \\ x + 12 = 15 \\ \brand{-12} \ | \ x + 12 = 15 \ | \brand{-12} \\ x + \cancel{12} - \cancel{12} = 15 - 12 \\ \boxed{x = 3}
Действие всегда «глобально»

При преобразовании равенств всегда применяйте действие ко всей стороне равенства целиком как единому целому, и никогда к отдельным её частям!

⋅ 3 ∣ 2x+5=8+x ∣⋅33⋅(2x+5)=(8+x)⋅3\red{\cdot \ 3} \ | \ 2x + 5 = 8 + x \ | \red{\cdot 3} \\ 3 \cdot \red{(} 2x + 5 \red{)} = \red{(}8 + x \red{)} \cdot 3

Тайна «летающих» чисел

К огромному сожалению, подавляющее большинство школьников и студентов не знакомы с концепцией равенства как «весов» и интуитивно следующим из него правилом одинакового действия. Поэтому уравнения они решают по целому набору зазубренных правил: числа с плюсом и минусом перелетают через знак равно с противоположным знаком; дроби по разные стороны от равенства выравниваются методом «крест на крест» и прочие мистические истории прямиком со страниц журнала «Тайны 20-го века».

Естественно, просьба объяснить суть производимых действий почти всегда вызывает лишь удивлённое хлопание глазами… «ну это правило такое» — вот и весь ответ, который они могут дать. Запомните раз и навсегда:

ЧИСЛА — ЭТО НЕ ПЕРЕЛЁТНЫЕ ПТИЦЫ! ОНИ НЕ УМЕЮТ ЛЕТАТЬ!

Сравните два подхода при решении уравнения x – 5 = 8:

  1. 1

    Танцуем с бубном, три раза прыгаем через костёр и переносим –5 направо с противоположным знаком. Получаем x = 8 + 5. Ответ 13. А почему и как так вышло даже не думай…

  2. 2

    Число –5 мешает оставить x в одиночестве. Нам нужно от него избавиться. Для этого прибавляем к левой части равенства 5. –5 и 5 в сумме дают 0, и x остаётся один: x−5+5=8x - \cancel{5} + \cancel{5} = 8. Прибавив 5 слева, мы нарушили равновесие. Сделав что-то с одной частью равенства, то же действие надо совершить и с другой, тогда оно сохранит свою истинность. Поэтому прибавляем 5 и справа тоже: x = 8 + 5. Ответ 13.

Первый вариант короче. И это единственный его плюс. Но если ритуал забыть, то его невозможно восстановить, потому что нет понимания, зачем выполняются те или иные действия. Заученные ритуалы также невозможно адаптировать под иные ситуации, потому что не ясна логика, которая породила эти ритуалы.

Второй вариант использует универсальное и интуитивно понятное правило. Каждый шаг логичен и обоснован. Один раз понял — и запоминаешь суть/идею навсегда.

Никогда не пользуйтесь ритуалами в математике. Они ущербны и никак вас не развивают. Нет ничего хуже, чем бездумно зубрить «готовые алгоритмы» вместо полноценного понимания совершаемых действий.

Зачем всё это нужно?

Равенства и уравнения буквально повсюду! Бесчисленное количество жизненных ситуаций можно свести к уравнениям, то есть буквально перевести на язык математики. Поэтому преобразование равенств и решение уравнений — базовый и ключевой навык не только в математике, но и в любой точной науке. Уверенное владение этим навыком — всё равно что надёжный и универсальный верстак для работы с мыслями и идеями.

Треугольник идиота

Самый вопиющий, показательный и смешной пример неумения работы с равенствами и уравнениями, когда заучивание ставится выше понимания — так называемые «волшебные треугольники формул» для «простого» запоминания формул в физике и даже математике!

Эпидемия магических треугольников

Работают такие треугольники очень просто — пальцем вы закрываете букву, которую хотите найти, и из оставшихся букв получаете готовую формулу. Если буквы на одном уровне, то они умножаются, если на разных — делятся:

И что же в этом смешного? Наоборот, весьма остроумно! Придумано-то действительно остроумно, и выглядит красиво, но вот смысла ровно ноль. Обладая самыми элементарными навыками работы с равенствами, никакие волшебные треугольники вообще не нужны!

Достаточно понять и запомнить хоть какой-то один вариант формулы. В случае со скоростью проще всего понять, что скорость — это расстояние, «разбитое» по отрезкам времени, то есть расстояние, поделенное на время:

V=StV = \frac{S}{t}

Это всё, что нужно знать. А если в задаче просят найти расстояние? Значит, в равенстве выше нужно, чтобы S осталось в одиночестве. По правилу одинакового действия умножим обе части равенства на t. Тогда в правой части t и t сократятся (t : t = 1), и там останется только S:

V=StV = \frac{S}{t}
⋅ t ∣ V=St ∣⋅t\brand{\cdot \ t} \ | \ V = \frac{S}{t} \ | \brand{\cdot t}
V⋅t=St⋅tV \cdot t = \frac{S}{\cancel{t}} \cdot \cancel{t}
V⋅t=S\boxed{V \cdot t = S}

Пожалуйста, за 10 секунд из формулы скорости мы получили формулу расстояния. Время через скорость находится аналогичным образом. Без всяких волшебных треугольников и прочей ерунды!

Вот так вот, зная всего одну основную формулу, больше ничего запоминать не надо, ведь всегда можно элементарными действиями над равенствами получить все остальные формулы, которые вам нужны. Это касается не только скорости, но и всех остальных формул в физике и математике. Учитесь понимать суть, а не заучивать красивые картинки!

«Бытовые» уравнения

Одна из суперсил уравнений состоит в том, что с их помощью можно переводить бытовые и жизненные ситуации на «математические рельсы». А раз нам удалось записать задачу в виде уравнения, то для его решения мы можем использовать уже расписанные выше правила и методы:

Новый телефон Алины

Алина хочет купить новый телефон, который стоит 10 000 рублей. Каждый день она откладывает по 100 рублей. Сколько дней ей нужно откладывать деньги, чтобы накопить нужную сумму?

Решение

В задаче есть неизвестная величина — количество дней, в течение которых Алина будет откладывать деньги. Обозначим её какой-нибудь буквой, например t.

Если количество дней t умножить на 100 рублей, то получится общая сумма, которую Алина отложит за это время. И эта сумма должна быть равна 10 000 рублей. Всё это можно записать в виде уравнения:

t⋅100=10 000t \cdot 100 = 10 \ 000

Ну а дальше уже чисто дело техники. Нам нужно оставить t в одиночестве слева. Сейчас ему мешает умножение на 100. Чтобы избавиться от него, по правилу одинакового действия разделим обе части уравнения на 100. Тогда в левой части 100 и 100 сократятся (100 : 100 = 1), и там останется только t:

t⋅100=10 000:100 ∣ t⋅100=10 000 ∣:100100t100=10 000100t=100t \cdot 100 = 10 \ 000 \\ \brand{:100} \ | \ t \cdot 100 = 10 \ 000 \ | \brand{:100} \\ \frac{\cancel{100}t}{\cancel{100}} = \frac{10\ 000}{100} \\ \boxed{t = 100}

Итак, Алина должна откладывать деньги 100 дней, чтобы накопить на новый телефон.

Это довольно простой пример. До нужного действия (разделить общую сумму на сумму за день) можно было бы догадаться и без уравнения. Не беда, вот задачка поинтереснее, ответ которой вы уже никак не угадаете:

Встречное движение

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 80 км, и встретились через 2 часа. Скорость второго велосипедиста на 2 км/ч больше, чем скорость первого. Какова скорость каждого из велосипедистов?

Решение

Казалось бы, в задаче есть две неизвестные величины — скорость первого велосипедиста и скорость второго. Но на самом деле скорость второго выражается через скорость первого. Если обозначить скорость первого велосипедиста через x, то скорость второго на 2 км/ч больше, то есть x + 2.

Расстояние равно скорости, умноженной на время. Первый за 2 часа со скоростью x прошёл расстояние x⋅2x \cdot 2. Второй за эти же 2 часа со скоростью x + 2 прошёл расстояние (x+2)⋅2(x + 2) \cdot 2. А в сумме они прошли 80 км. Поэтому можно записать уравнение:

x⋅2⏟Путь 1-го велосипедиста+(x+2)⋅2⏟Путь 2-го велосипедиста=80\underbrace{x\cdot 2}_{\text{Путь 1-го велосипедиста}} + \underbrace{(x+2)\cdot 2}_{\text{Путь 2-го велосипедиста}} = 80

По правилу разделим обе части уравнения на 2. При этом не забываем, что слева деление происходит над всей частью!

x⋅2+(x+2)⋅2=80:2 ∣ x⋅2+(x+2)⋅2=80 ∣:2x⋅2+(x+2)⋅22=802x⋅22+(x+2)⋅22=802x+x+2=402x+2=40x\cdot 2 + (x+2)\cdot 2 = 80 \\ \brand{:2} \ | \ x\cdot 2 + (x+2)\cdot 2 = 80 \ | \brand{:2} \\ \frac{x\cdot 2 + (x+2)\cdot 2}{2} = \frac{80}{2} \\ \frac{x\cdot \cancel{2}}{\cancel{2}} + \frac{(x+2)\cdot \cancel{2}}{\cancel{2}} = \frac{80}{2} \\ x + x+2 = 40 \\ 2x + 2 = 40

Теперь в левой части уравнения нам мешает сложение с числом 2 и умножение на 2. Опять поделим обе части уравнения на 2. Тогда в левой части в обоих слагаемых 2 и 2 сократятся (2 : 2 = 1), и там останется только x + 1:

2x+2=40:2 ∣ 2x+2=40 ∣:22x+22=4022x2+22=402x+1=202x + 2 = 40 \\ \brand{:2} \ | \ 2x + 2 = 40 \ | \brand{:2} \\ \frac{2x + 2}{2} = \frac{40}{2} \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} + \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}} = \frac{40}{2} \\ x + 1 = 20

Теперь нашей неизвестной величине x мешает сложение с числом 1. Чтобы избавиться от него, по правилу одинакового действия вычтем из обеих частей уравнения число 1. Тогда в левой части +1 и –1 уничтожат друг друга, и там останется только x:

x+1=20−1 ∣ x+1=20 ∣−1x+1−1=20−1x=19x + 1 = 20 \\ \brand{-1} \ | \ x + 1 = 20 \ | \brand{-1} \\ x + \cancel{1} - \cancel{1} = 20 - 1 \\ \boxed{x = 19}

Итак, скорость первого велосипедиста 19 км/ч. Скорость второго велосипедиста на 2 км/ч больше, то есть 21 км/ч.

Прекрасный пример того, как задачу можно перевести с бытового языка на язык математики и уравнений. А уж с уравнениями можно разобраться преобразованиями по правилу одинакового действия!

Действия могут быть любыми

Мы рассмотрели только самые элементарные действия над равенствами и уравнениями: сложение, вычитание, умножение и деление. Но в математике есть ещё много других действий:

  • Возведение в степень

  • Извлечение корня

  • Логарифмирование

  • Взятие модуля

И для всех них, естественно, работает правило одинакового действия!

(x+2)2=(8)2log⁡2x+2=log⁡28\brand{(}x + 2\brand{)}^{\brand{2}} = \brand{(}8\brand{)}^{\brand{2}} \\ \brand{\log_{2}{}}x + 2 = \brand{\log_{2}{}}8
x+23=83∣x+2∣=∣8∣\brand{\sqrt[3]{x + 2}} = \brand{\sqrt[3]{8}} \\ \brand{|}x + 2\brand{|} = \brand{|}8\brand{|}

В равенствах могут участвовать не только числа с буквами, но и целые функции. Тогда их можно, например, интегрировать или находить пределы:

f(x)=g(x)⇒∫f(x)dx=∫g(x)dxf(x)=g(x)⇒lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)f(x) = g(x) \Rightarrow \brand{\int} f(x)dx = \brand{\int} g(x)dx \\ f(x) = g(x) \Rightarrow \brand{\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x)}

Сами объекты и действия становятся всё более абстрактными. В высшей математике вы столкнётесь с матрицами, негеометрическими векторами, операторами, функционалами и так далее… Удобные аналогии с весами уже потеряют всякий смысл, а правило одинакового действия всё так же будет прекрасно работать! Это один из самых универсальных принципов математики, который действует на всех её уровнях.

Источники2

Список внешних источников, которые использовались при написании этого материала. Для более глубокого погружения в материал рекомендуются ознакомиться с ними подробнее, особенно с избранными источниками, которые отмечены звездочкой:

Википедия
Свободная энциклопедия
Robert Recorde
Английский математик и врач
«Утиный тест»
Не такой уж и безобидный «шуточный» тест на очевидность происходящего