Последовательности

Привет, мир! Короче, тут небольшой вступительный текст.

Это петр!

Понятие последовательности

Начем наше погружение в мир последовательностей с разбора самого этого понятия. Что это вообще такое?

Проведем аналогии с реальность жизнью. Например, вот последовательность действий для приготовления макарон:

  1. Заполнить кастрюлю водой
  2. Довести воду до кипения
  3. Засыпать макароны
  4. Готовить в течении 10 минут

Заметьте, что во всех примерах выше мы

О

Последовательность — функция , которая каждому натуральному числу ставит в соответствие какой-то элемент множества .

Числовая последовательность

Из введенного ранее определения последовательности следует, что мы нумеруем элементы какого-то произвольного множества . Так вот, если множество состоит только из чисел, то есть , то выходит, что мы нумеруем числа. Поэтому, такие последовательности называют числовыми.

О

Числовая последовательность — последовательность, значениями которой являются числа.

Работа в процессе!

Рассказать про обозначения, чтобы не делать этого потом!

Арифметическая прогрессия

Взгляните на последовательности ниже. Можете ли вы установить закономерность, по которой получены элементы каждой из них?

В первом случае все очевидно. Это последовательность натуральных чисел. Что более важно для нас — каждый член этой последовательности получается прибавлением к предыдущему члену. При этом, самый первый член этой последовательности равен . Говоря более формально, последовательность натруальных чисел можно описать вот так:

Аналогичные рассуждения можно провести и для последовательности справа. Замечаем, что каждый следующий ее член получаем при вычитании (или прибавлении ) из предыдущего члена. Первый член равен . Формально эту последовательность можно описать так:

Заметьте, что обе эти последовательности похожи друг на друга в том смысле, что для получения следующего члена мы всегда прибавляем одно и то же число к предыдущему. Все подобные последовательности называются арифметическими прогрессиями.

О

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, каждый член которой (кроме первого) получается прибавлением к предыдущему константы, называемой разностью прогрессии.

Член арифметической прогрессии

Т
Общий член арифметической прогрессии

Член , «сдвинутый» относительно члена на «номеров» вправо или влево, отличается от него на число :

Следствия:

  • Общий член через произвольный:
  • Общий член через первый член:
Доказательство

Если , то получаем очевидно выполняющееся равенство:

Докажем теперь справедливость формулы для натурального с помощью метода математической индукции.

База индукции: при получаем

Это равенство выполняется по определению арифметической прогрессии. База индукции доказана.

Индукционный переход: пусть доказываемое равенство выполняется при :

По определению арифметической прогрессии следующий член можно получить, прибавив разность к предыдущему члену :

Заменим на формулу выше и получаем следующее равенство:

Мы доказали, что равенство выполняется и для . То есть, формула работает для любых натуральных .

Доказательство для отрицательных целых проводится так же по методу математической индукции по .

Т
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Если — арифметическая прогрессия, то для любого выполняется равенство

Обратное тоже верно. Если равенство выше выполняется для любого , то — арифметическая прогрессия.

Монотонная последовательность

Содержимое этого раздела пересекается со статьей «Монотонная функция». Возможно (но не факт), что для полного понимания вам потребуется ознакомится и с ней тоже.