Модуль

В этой статье введем и очень подробно разберем такое важное понятие, как модуль числа. Разберемся, откуда модуль взялся, какими свойствами обладает. Научимся решать уравнения и неравенства с модулем.

«Величина» числа

Сначала попытаемся сформулировать понятие о «величине» числа. Из этого понятия естественным образом получим понимание, откуда взялся и как определить модуль.

Геометрический смысл

Представьте, что вы стоите в точке на числовой оси. Слева от вас, в точке , находится школа. Справа, в точке , находится ваш дом. Математически число меньше, чем . Но вот идти до школы метров влево гораздо дольше, чем пройти метров до дома вправо. В этом смысле «величина» пройденного расстояния в метров больше, чем метров.

Пусть теперь школа находится в точке , а дом в точке . Математически вновь получаем, что меньше . Но вот нам, находящимся в , совершенно нет разницы: идти метров влево или метров вправо. В обоих случаях мы пройдем метров. То есть, по «величине» числа и равны.

Количественный смысл

Рассмотрим числа и . В математическом смысле гораздо меньше . А давайте посмотрим на эти числа под другим углом. У вас есть всего рублей и вы задолжали другу. Ваш долг составляет рублей. В этом смысле «величина» вашего долга в рублей гораздо больше имеющихся у вас рублей. Получается, что математически меньше , но по «величине» больше .

Теперь рассмотрим числа и . Математически, опять же, меньше . Но, пользуясь нашей аналогией с долгом, своими рублями вы полностью покроете долг в рублей. То есть, по «величине» число равно числу .

Понятие величины

Мы поняли, что каждое число имеет свою «величину». Причем эта величина не зависит от того, положительным или отрицательным является число. Можно даже сказать, что «величина» числа это и есть само число, от которого «отбросили» его знак.

Модуль числа

Сформулируем на строгом языке математики наше интуитивное представление о «величине» числа, которое мы сформировали в предыдущем разделе.

О

Модуль или абсолютная величина вещественного числа — само число , если оно неотрицательно, иначе .

Допустим, мы хотим найти модуль какого-то числа . Согласно определению, нам надо провести элементарную проверку. Если число положительное или равно , то модулем и является само . Если же меньше , то результатом модуля будет .

П
Примеры значений модуля

Легко убедиться, что модуль числа полностью соответсвует по смыслу «величине» числа, рассмотренной в предыдущем разделе. Там мы утверждали, что по «величине» больше , а равно . И действительно:

Т

Положение знака нестрогого неравенства в определении модуля не имеет значения:

Доказательство

Обозначим второе определение модуля числа как . Покажем, что какой не возьми, будет выполняться .

Пусть . По классическому определению . По второму: . То есть .

Пусть . По классическому определению . А вот во втором определении попадает уже под второе условие, то есть . Опять имеем .

Наконец, пусть . По классическому определению . У второго определения та же ситуация: . Получается, что и в этом случае .

Итак, мы рассмотрели все возможные значения для и во всех случаях . Это и означает, что между двумя определениями нет никакой разницы

Такое определение иногда бывает полезно. Например, если лежит в следующих пределах: , то можно сразу сказать, что , даже несмотря на то, что для так выражаться будет некорректно, ведь , а не .

Свойства модуля

У модуля есть очень много полезных свойств, которые сильно помогают при решении уравнений, неравенств, доказательстве теорем и так далее. Рассмотрим самые полезные из них. Все свойства ниже формулируем для любых вещественных чисел и .

Очевидные свойства

Наиболее очевидные свойства модуля напрямую вытекают из рассмотренного ранее понятия о «величине» числа. Например, мы определили «величину» числа как само число с «отброшенным» знаком. Это означает, что «величина» не может быть отрицательной.

Т
Доказательство

Рассмотрим произвольное вещественное число . Если , то, по определению модуля , поэтому . Если , то, по определению модуля . Пусть тогда . Умножим обе части неравенства на : . По определению модуля , поэтому . Доказали, что вне зависимости от знака его модуль будет неотрицательным числом.

Помимо этого, было бы странно, если «величина» числа оказалсь бы больше, чем само это число. Отсюда еще одно очевидное своство:

Т
Доказательство

Докажем правую часть неравенства:

Если , то по определению получаем, что , а значит выполняется . Если , то неравенство выполняется, так как слева имеем отрицательное число, а число справа всегда неотрицательное.

Доказательство левой части неравенства проводится аналогично.

Вспоминаем геометрический смысл «величины» числа. Мы выяснили, что нет разницы: иди из влево метров или вправо метров. В обоих случаях придется идти метров. Это означает, что «величина» противоположных чисел совпадает, то есть:

Т

Следствие:

Доказательство

Если , то и , откуда получаем выполняющееся равенство .

Если , то и , откуда получаем также выполняющееся равенство .

Для доказательства следствия вынесем в правой части равенства за скобки :

По уже доказанному свойству это равенство выполняется.

Последнее свойство будет уже чуть менее очевидным. Пусть мы умножаем друг на друга два числа. Логично предположить, что «величина» произведения двух чисел будет равна произведению «величин» множителей.

Т
Доказательство

Из свойства равенства модулей противоположных чисел все равенства ниже выполняются:

Для дальнейших действий выбираем такое произведение, в котором оба числа под модулем являются неотрицательными числами. Пусть таким вариантом будет . Так как и — неотрицательные числа, то, по определению модуля и , то есть:

Произведение двух неотрицательных чисел есть число неторицательное. Поэтому, по определению модуля, можно записать следующее равенство:

Грубо говоря, тут мы воспользовались определением модуля «наоборот». Итак, получили следующую цепочку равенств:

Это очень важное свойство. Оно позволяет нам в любой момент разбивать большое выражение под модулем на несколько поменьше, либо, наоборот, объединять несколько модулей в один и выполнять внутри какие-то действия.

П
Пример

Связь с возведением в квадрат

Т
Доказательство

Воспользуемся свойством объединения произведения модулей:

Мы знаем, что квадрат любого числа есть число положительное, то есть , поэтому, по определению модуля, . Итак, доказали, что:

Это свойство часто позволяет очень сильно упростить решение уравнений и неравенств, так как мы избавляемся от модуля, возиться с которым можно долго, особенно в неравенствах.

П
Пример24

Решение

Возводим в квадрат обе части неравенства и пользуемся доказанным свойством:

Связь с корнем

Т
Модуль и корень

Доказательство

С помощью свойства связи модуля и квадрата произведем замену подкоренного выражения:

Модуль любого числа неотрицателен. Поэтому . Значит, арифметический корень от будет равняться (вариант отбрасывается по определению):

С помощью данного свойства часто получается свести различные сложные неравенства к неравенствам с модулем, которые мы подробно разберем ниже.

Неравенство треугольника

В геометрии у треугольников есть замечательное свойство, заключающееся в том, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух оставшихся. Это свойство называется «неравенством треугольника».

Например, пусть у нас есть какой-то треугольник . Тогда длина стороны меньше суммы длин сторон и :

В некоторых учебниках по геометрии различают сам отрезок (например, ) и его длину . Если пользоваться этими обозначениями, неравенство треугольника примет следующий вид:

Оказывается, в алгебре есть очень похожее неравенство, но связано оно не с отрезками и их длинами, а с числами и их модулями. Из-за внешнего сходства это неравенство тоже называют неравенством треугольника.

Т
Доказательство

Слева и справа имеем положительные числа, поэтому можно возвести в квадрат обе части неравенства и воспользоваться свойством связи модуля и квадрата:

Для правой части воспользуемся свойством произведения модулей:

Рассмотрим отдельно варианты неравенства с и :

Оба неравенства всегда выполняется. Первое выполняется, так как модуль всегда не меньше аргумента. Второе выполняется по этому же свойству, а также из-за того, что модули противоположных чисел равны.

С геометрией и треугольниками все понятно. А в чем смысл неравенства треугольника с модулями? А смысл в том, что оно задает максимально возможный результат, который можно получить с помощью сложения или вычитания двух чисел.

Например, пусть у нас есть два числа: и . Какой максимальный результат можно получить из этих двух чисел, пользуясь только сложением и вычатнием? Проверим все возможных варианта напрямую:

Видим, что максимальное значение равно . Такое же значение получаем и по доказанному выше неравенству. Итак, максимально возможное значение равно сумме модулей этих двух чисел. На самом деле, это кажется вполне логичным.

Есть также похожее неравенство, но с разностью модулей. Его называют обратным неравенством треугольника.

Т
Доказательство

Если меньше , то неравенство выполняется, так как модуль всегда неотрицателен.

Пусть тогда . Возведем обе части неравенства в квадрат и воспользуемся свойством связи модуля и квадрата:

Умножим обе части неравенства на с переменой знака неравенства:

Это неравенство всегда выполняется (см. доказательство неравенства треугольника).

По аналогии с предыдущим доказанным неравенством, обратное неравенство треугольника дает нам минимальное возможное значение, которое можно получить, рассматривая сумму или разность двух чисел.

Оба доказанных неравенства можно объединить в одно цепное. Так его проще запомнить и использовать:

Расстояние между точками

Представим числовую ось. Отметим на ней две точки, например и . Какое между ними расстояние? Ничего сложного, скажете вы, расстояние равно . И это правильный ответ. Сразу заметим, что , то есть при вычитании из меньшей точки большей получаем то же расстояние, но со знаком минус.

Расстояние между точками и равно . И опять, если мы поменяем местами числа в разности, то получим отрицательное расстояние

Расстояние между двумя точками

Общий посыл вы уловили. Для нахождения расстояния между двумя точками, надо из большей точки вычесть меньшую. Если сделать наоборот, то получим противоположное, отрицательное расстояние.

Вроде все ясно. Ну и причем здесь модуль? А вот представим, что у вас нет точных значений. Вам просто дали точки и , и попросили найти расстояние между ними. Какая-то из двух разностей ниже будет расстоянием:

Но какая именно? Тут к нам и приходит на помощь модуль. Расстояние между и обозначим так:

Если , то мы угадали с разностью и получим положительный результат. Взятие модуля никак на него не повлияет. Если , то мы не угадали и получаем отрицательное расстояние. Но, по определению модуля, в результате все-равно получим положительное расстояние.

О

Расстоянием между двумя точками и на числовой оси называется модуль их разности: .

Наконец, поговорим о модулях одного числа, например или . Их можно представить вот так:

В этом смысле модуль одного числа можно понимать как расстояние от до этого числа (до и до ) на числовой оси.

Функция модуля

До этого момента мы говорили о модуле, как о некотором свойстве, которым обладает число, о его беззнаковой «величине». На самом деле, это лишь один из подходов к определению модуля. Он хорош тем, что основные свойства модуля не берутся из ниоткуда, а логично (можно даже сказать, очевидным образом) вытекают из понятия о «величине» числа.

Более строгим подходом является определение модуля как функции. В этом случае модуль спускается с небес на землю и теряет свой статус «неотъемлемой части любого числа», но зато у нас появляется возможность использовать его в большом и наработанном аппарате математики (и математического анализа):

О

Модуль (функция) — кусочно-линейная функция, определенная на всей вещественной прямой следующим образом:

Видим, что механизм получения значения полностью совпадает с определением модуля числа, которое я дал в начале статьи. Никакой разницы в значениях между этими определениями нет. Это означает, что все выведенные выше свойства модуля числа прекрасно сохраняются и для функции модуля.

График функции модуля элементарный. От до это будет убывающая под углом в градусов прямая . От и далее это обычная прямая .

График функции модуля

Помимо рассмотренных ранее уникальных свойств модуля, можно также проанализировать его на предмет наличия общих свойств функций.

Т
Свойства модуля как функции
  • Область определения:
  • Область значений:
  • Функция четная
  • Строго убывает на и строго возрастает на
Доказательство

Любое вещественное число будет удовлетворять либо верхнему, либо нижнему неравенству из определения функции модуля. Другими словами, «величина» есть у любого числа. Поэтому область определения функции модуля равна .

Для любых неотрицательных чисел функция модуля будет равна самим этим числам. Значит, любое положительное число входит в область значений функции модуля. В то же время, модуль всегда неотрицателен, поэтому отрицательных чисел в области значений не может быть. Значит, область значений равна .

Доказанное ранее свойство равенства модулей противоположных чисел и означает четность функции модуля по определению.

Наконец, функция монотонно убывает, а монотонно возрастает на всей своей области определения. Поэтому функция модуля монотонно убывает на и возрастает на .

Все же, под модулем в литературе и других источниках информации чащее всего понимают именно функцию модуля. C этого момента мы тоже будем придерживаться этой логики. В дальнейших разделах вместо записей и я буду использовать записи и , чтобы подчеркнуть, что под знаком модуля может быть как число, так и какая-нибудь функция.

Уравнения с модулем

Научимся решать уравнения, в которых присутсвует модуль. В самом общем виде, их можно представить так: , причем под и могут оказать не только переменные, но и целые функции. Как решить это уравнение относительно ?

Т
Уравнения с модулем вида

Уравнение вида имеет два решения вида и , если и не имеет решений вовсе, если .

Доказательство

Докажем сначала для случая, когда . В этом случае, какое ни возьми, его модуль всегда будет положительным, поэтому не существует такого числа , при котором получили бы равенство .

Пусть теперь . Тогда мы можем возвести обе части равенства в квадрат и воспользоваться свойством связи модуля и квадрата:

В левой части равенства ноль можно получить только когда какая-то из скобок равна . Отсюда два возмножных решения:

П
Пример

Решите уравнение с параметром:

Решение

Определим, при каких решений у уравнения не будет. Решений у него не будет, когда его правая часть отрицательная, то есть при . Для исходное уравнение по доказанной выше теореме разбивается на два:

Откуда получаем два корня:

Обратите внимание, что левый корень не зависит от .

Неравенства с модулем

Сейчас мы выведем формулы для решения неравенств с модулями любых видов. Доказывать формулы мы будем строго аналитически, но это не страшно, ведь суть каждого вида неравенств я также поясню геометрически.

Далее я буду использовать знаки и , чтобы подчеркнуть, что формулы одинаково работают и для чисел, и для функций.

Неравенства вида

Т

Или, что то же самое:

Доказательство

Стоит сразу отметить, что если , то неравенство не выполняется вне зависимости от значения , ведь модуль всегда неотрицателен и мы получаем, что положительное число должно быть меньше, чем отрицательное , чего не может быть.

Получается, рассматривать неравенство имеет смысл только при . Тогда возведем обе части неравенства в квадрат и воспользуемся свойством связи модуля с квадратом:

Имеем произведение двух скобок друг на друга, которое должно быть меньше . Такое возможно в двух случаях: если первая скобка меньше нуля, а вторая больше, и наоборот:

Преобразуем превый случай:

Разберем второй случай:

Но мы рассматриваем только неотрицательные , поэтому второй случай всегда не выполняется. Значит, в рассмотрении остается только первый случай:

Важно отметить, что формула работает и для нестрогого случая. Тогда все «расшифровывающие» неравенства справа также становятся нестрогими.

Теперь подумаем над сутью неравенств вида . Мы уже поняли, что можно рассматривать как расстояние от до . В этом смысле решить неравенство означает найти все такие , чтобы расстояние между и было меньше . Геометрически это можно представить в виде симметричного относительно коридора со «стенками», равными и , между которыми «зажаты» все решения этого неравенства:

П
Пример

Решение

Решением этого неравенства будут все возможные расстояния между точкой и . Например, может равняться и так далее. Воспользуемся доказанной выше формулой:

Действительно, расстояние между любым числом из интервала и будет меньше .

Окрестность

Очень важную разновидность рассматриваемых нами неравенств представляют такие вот неравенства:

где и — константы. Воспользуемся доказанной формулой для получения цепного неравенства:

По смыслу от нас требуется найти такие точки на числовой прямой, чтобы расстояние между ними и числом не превышало . Геометрически это можно представить, как симметрический коридор с центром в точке и стенками в точках и .

а-окрестность точки C

Такие вот неравенства называют окрестностями. Если говорить точнее, неравенство задает -окрестность точки . Окрестности очень часто используются в высшей математике. Например, именно понятие окрестности точки является ключевым в определении предела последовательности и функции. А на пределах строится вообще весь математический анализ. Но об этом поговорим в соответствующих статьях. А сейчас решим пример:

П
Пример22

Решение

Запишем это неравенство немного в другом виде:

Сразу видим, что речь идет о -окрестности точки . Другими словами, в качестве подходят все точки из коридора от до с включением «стенок коридора» в качестве значений для .

Если строго, то пользуемся доказанной теоремой:

В полученном цепном неравенстве вычтем из всех частей :

Неравенства вида

Т

Если , то неравенство выполняется для любого . Если , то выполняется:

Доказательство

Сразу заметим, что если , то неравенство выполняется вообще всегда, вне зависимости от , ведь модуль всегда неотрицателен.

Разберем вариант, когда . Тогда мы, прямо как и для неравенств вида , можем возвести обе части неравенства в квадрат и воспользоваться свойством связи модуля с квадратом:

Имеем произведение двух скобок друг на друга, которое должно быть больше . Такое возможно в двух случаях: если обе скобки больше нуля, и наоборот, обе скобки меньше нуля:

В верхнем И-условии при выполнении автоматически выполняется , так как . Поэтому, из двух неравенств можно оставить только . Аналогично поступаем и с нижним И-условием:

Итоговое неравенство имеет вид:

Теорема работает также и для случая нестрогих неравенств. Тогда в правой части также будут нестрогие неравенства.

В чем заключается смысл неравенств этого вида? Вновь вспоминаем, что можно рассматривать, как расстояние от до . В этом смысле неравнству будут удовлетворять все такие , что расстояние между и больше, чем . По факту, мы строим все тот-же симметричный относительно коридор со стенками и , и все подходящие не должны попасть в этот коридор.

Легко заметить, что неравенства вида являются, по факту, отрицанием неравенств вида . Действительно, в обоих случаях мы строим симметричный коридор. Только в первом в случае с мы берем все числа вне этого коридора, а в случае с все числа внутри него.

Д
Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения задач из раздела «Модуль». Закрепите пройденную теорию практикой!